Theorem stoweidlem60 40277

Description: This lemma proves that there exists a function g as in the proof in [BrosowskiDeutsh] p. 91 (this parte of the proof actually spans through pages 91-92): g is in the subalgebra, and for all t in T, there is a j such that (j-4/3)*ε < f(t) <= (j-1/3)*ε and (j-4/3)*ε < g(t) < (j+1/3)*ε. Here F is used to represent f in the paper, and E is used to represent ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem60.1	|- F/_ t F
stoweidlem60.2	|- F/ t ph
stoweidlem60.3	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem60.4	|- T = U. J
stoweidlem60.5	|- C = ( J Cn K )
stoweidlem60.6	|- D = ( j e. ( 0 ... n ) |-> { t e. T | ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) } )
stoweidlem60.7	|- B = ( j e. ( 0 ... n ) |-> { t e. T | ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) } )
stoweidlem60.8	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem60.9	|- ( ph -> T =/= (/) )
stoweidlem60.10	|- ( ph -> A C_ C )
stoweidlem60.11	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem60.12	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem60.13	|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( t e. T |-> y ) e. A )
stoweidlem60.14	|- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
stoweidlem60.15	|- ( ph -> F e. C )
stoweidlem60.16	|- ( ph -> A. t e. T 0 <_ ( F ` t ) )
stoweidlem60.17	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem60.18	|- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem60	|- ( ph -> E. g e. A A. t e. T E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( g ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( g ` t ) ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, j, n, t, A, q, r   y, f, j, n, q, r, t, A   B, f, g   D, f, g   f, E, g, j, n, t   f, J, g, r, t   T, f, g, j, n, t   ph, f, g, j, n   g, F, j, n   B, q, r, y   D, q, r, y   T, q, r, y   ph, q, r, y   E, r, y   t, K

Allowed substitution hints:   ph( t)   B( t, j, n)   C( y, t, f, g, j, n, r, q)   D( t, j, n)   E( q)   F( y, t, f, r, q)   J( y, j, n, q)   K( y, f, g, j, n, r, q)

Proof of Theorem stoweidlem60

Dummy variables x i m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> m e. RR )
2	1	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. RR )
3		stoweidlem60.17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> E e. RR+ )
4	3	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> E e. RR )
5	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> E e. RR )
6	3	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> E =/= 0 )
7	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> E =/= 0 )
8	2, 5, 7	redivcld 10853	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( m / E ) e. RR )
9		1red 10055	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> 1 e. RR )
10	8, 9	readdcld 10069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( m / E ) + 1 ) e. RR )
11	10	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) -> ( ( m / E ) + 1 ) e. RR )
12		arch 11289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( m / E ) + 1 ) e. RR -> E. n e. NN ( ( m / E ) + 1 ) < n )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) -> E. n e. NN ( ( m / E ) + 1 ) < n )
14		stoweidlem60.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ t ph
15		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ t m e. NN
16	14, 15	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ t ( ph /\ m e. NN )
17		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ t A. t e. T ( F ` t ) < m
18	16, 17	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ t ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m )
19		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ t n e. NN
20	18, 19	nfan 1828	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ t ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN )
21		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ t ( ( m / E ) + 1 ) < n
22	20, 21	nfan 1828	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n )
23		simp-5l 808	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) /\ t e. T ) -> ph )
24		stoweidlem60.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- K = ( topGen ` ran (,) )
25		stoweidlem60.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- T = U. J
26		stoweidlem60.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- C = ( J Cn K )
27		stoweidlem60.15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F e. C )
28	24, 25, 26, 27	fcnre 39184	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F : T --> RR )
29	28	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) e. RR )
30	23, 29	sylancom 701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) /\ t e. T ) -> ( F ` t ) e. RR )
31		simp-5r 809	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) /\ t e. T ) -> m e. NN )
32	31	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) /\ t e. T ) -> m e. RR )
33		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) /\ t e. T ) -> n e. NN )
34	33	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) /\ t e. T ) -> n e. RR )
35		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) /\ t e. T ) -> 1 e. RR )
36	34, 35	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) /\ t e. T ) -> ( n - 1 ) e. RR )
37	23, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) /\ t e. T ) -> E e. RR )
38	36, 37	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) /\ t e. T ) -> ( ( n - 1 ) x. E ) e. RR )
39		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> A. t e. T ( F ` t ) < m )
40	39	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) /\ t e. T ) -> ( F ` t ) < m )
41		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) /\ t e. T ) -> ( ( m / E ) + 1 ) < n )
42		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> ( ( m / E ) + 1 ) < n )
43		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. NN /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> ph )
44		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. NN /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> m e. NN )
45	43, 44, 8	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ m e. NN /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> ( m / E ) e. RR )
46		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ m e. NN /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> 1 e. RR )
47		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. NN /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> n e. NN )
48	47	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ m e. NN /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> n e. RR )
49	45, 46, 48	ltaddsubd 10627	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> ( ( ( m / E ) + 1 ) < n <-> ( m / E ) < ( n - 1 ) ) )
50	42, 49	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> ( m / E ) < ( n - 1 ) )
51	1	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ m e. NN /\ n e. NN ) -> m e. RR )
52	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> m e. RR )
53	48, 46	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> ( n - 1 ) e. RR )
54	4	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ m e. NN /\ n e. NN ) -> E e. RR )
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> E e. RR )
56	3	rpgt0d 11875	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 0 < E )
57	43, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> 0 < E )
58		ltdivmul2 10900	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. RR /\ ( n - 1 ) e. RR /\ ( E e. RR /\ 0 < E ) ) -> ( ( m / E ) < ( n - 1 ) <-> m < ( ( n - 1 ) x. E ) ) )
59	52, 53, 55, 57, 58	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> ( ( m / E ) < ( n - 1 ) <-> m < ( ( n - 1 ) x. E ) ) )
60	50, 59	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> m < ( ( n - 1 ) x. E ) )
61	23, 31, 33, 41, 60	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) /\ t e. T ) -> m < ( ( n - 1 ) x. E ) )
62	30, 32, 38, 40, 61	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) /\ t e. T ) -> ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) )
63	62	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> ( t e. T -> ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) )
64	22, 63	ralrimi 2957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) )
65	64	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( m / E ) + 1 ) < n -> A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) )
66	65	reximdva 3017	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) -> ( E. n e. NN ( ( m / E ) + 1 ) < n -> E. n e. NN A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) )
67	13, 66	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) -> E. n e. NN A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) )
68		stoweidlem60.1	. . . . . . . 8 |- F/_ t F
69		stoweidlem60.8	. . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. Comp )
70		stoweidlem60.9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T =/= (/) )
71	68, 14, 24, 69, 25, 70, 26, 27	rfcnnnub 39195	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. m e. NN A. t e. T ( F ` t ) < m )
72	67, 71	r19.29a 3078	. . . . . 6 |- ( ph -> E. n e. NN A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) )
73		df-rex 2918	. . . . . 6 |- ( E. n e. NN A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) <-> E. n ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) )
74	72, 73	sylib 208	. . . . 5 |- ( ph -> E. n ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) )
75		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) ) -> ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) )
76	14, 19	nfan 1828	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t ( ph /\ n e. NN )
77		stoweidlem60.6	. . . . . . . . . . 11 |- D = ( j e. ( 0 ... n ) |-> { t e. T | ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) } )
78		stoweidlem60.7	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( j e. ( 0 ... n ) |-> { t e. T | ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) } )
79		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- { y e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) } = { y e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) }
80		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... n ) |-> { y e. { y e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) } | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( y ` t ) ) } ) = ( j e. ( 0 ... n ) |-> { y e. { y e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) } | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( y ` t ) ) } )
81	69	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> J e. Comp )
82		stoweidlem60.10	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A C_ C )
83	82	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A C_ C )
84		stoweidlem60.11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
85	84	3adant1r 1319	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
86		stoweidlem60.12	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
87	86	3adant1r 1319	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
88		stoweidlem60.13	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( t e. T |-> y ) e. A )
89	88	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( t e. T |-> y ) e. A )
90		stoweidlem60.14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
91	90	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
92	27	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> F e. C )
93	3	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> E e. RR+ )
94		stoweidlem60.18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )
95	94	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> E < ( 1 / 3 ) )
96		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
97	68, 76, 24, 25, 26, 77, 78, 79, 80, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 92, 93, 95, 96	stoweidlem59 40276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> E. x ( x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) )
98	97	adantrr 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) ) -> E. x ( x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) )
99		19.42v 1918	. . . . . . . . 9 |- ( E. x ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ ( x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) <-> ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ E. x ( x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) )
100	75, 98, 99	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) ) -> E. x ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ ( x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) )
101		3anass 1042	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) <-> ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ ( x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) )
102	101	exbii 1774	. . . . . . . 8 |- ( E. x ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) <-> E. x ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ ( x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) )
103	100, 102	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) ) -> E. x ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) )
104	103	ex 450	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) -> E. x ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) )
105	104	eximdv 1846	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. n ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) -> E. n E. x ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) )
106	74, 105	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> E. n E. x ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) )
107		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) -> ph )
108		simpr1l 1118	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) -> n e. NN )
109		simpr2 1068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) -> x : ( 0 ... n ) --> A )
110		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ t x : ( 0 ... n ) --> A
111	14, 19, 110	nf3an 1831	. . . . . . . . 9 |- F/ t ( ph /\ n e. NN /\ x : ( 0 ... n ) --> A )
112		simp2 1062	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN /\ x : ( 0 ... n ) --> A ) -> n e. NN )
113		simp3 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN /\ x : ( 0 ... n ) --> A ) -> x : ( 0 ... n ) --> A )
114		simp1 1061	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN /\ x : ( 0 ... n ) --> A ) -> ph )
115	114, 84	syl3an1 1359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN /\ x : ( 0 ... n ) --> A ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
116	114, 86	syl3an1 1359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN /\ x : ( 0 ... n ) --> A ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
117	88	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN /\ x : ( 0 ... n ) --> A ) /\ y e. RR ) -> ( t e. T |-> y ) e. A )
118	3	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN /\ x : ( 0 ... n ) --> A ) -> E e. RR+ )
119	118	rpred 11872	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN /\ x : ( 0 ... n ) --> A ) -> E e. RR )
120	82	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f e. C )
121	24, 25, 26, 120	fcnre 39184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
122	121	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN /\ x : ( 0 ... n ) --> A ) /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
123	111, 112, 113, 115, 116, 117, 119, 122	stoweidlem17 40234	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN /\ x : ( 0 ... n ) --> A ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) e. A )
124	107, 108, 109, 123	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) e. A )
125		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ j ph
126		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ j ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) )
127		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ j x : ( 0 ... n ) --> A
128		nfra1 2941	. . . . . . . . . 10 |- F/ j A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) )
129	126, 127, 128	nf3an 1831	. . . . . . . . 9 |- F/ j ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) )
130	125, 129	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ j ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) )
131		nfra1 2941	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E )
132	19, 131	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ t ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) )
133		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ t ( 0 ... n )
134		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ t A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 )
135		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ t A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n )
136		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ t A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t )
137	134, 135, 136	nf3an 1831	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) )
138	133, 137	nfral 2945	. . . . . . . . . 10 |- F/ t A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) )
139	132, 110, 138	nf3an 1831	. . . . . . . . 9 |- F/ t ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) )
140	14, 139	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ t ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) )
141		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( t e. T |-> { j e. ( 1 ... n ) | t e. ( D ` j ) } ) = ( t e. T |-> { j e. ( 1 ... n ) | t e. ( D ` j ) } )
142		uniexg 6955	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. Comp -> U. J e. _V )
143	69, 142	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U. J e. _V )
144	25, 143	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T e. _V )
145	144	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) -> T e. _V )
146	28	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) -> F : T --> RR )
147		stoweidlem60.16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. t e. T 0 <_ ( F ` t ) )
148	147	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( F ` t ) )
149	148	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ t e. T ) -> 0 <_ ( F ` t ) )
150		simpr1r 1119	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) -> A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) )
151	150	r19.21bi 2932	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ t e. T ) -> ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) )
152	3	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) -> E e. RR+ )
153	94	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) -> E < ( 1 / 3 ) )
154		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ph )
155		simplr2 1104	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> x : ( 0 ... n ) --> A )
156		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> j e. ( 0 ... n ) )
157		simp1 1061	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ph )
158		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x : ( 0 ... n ) --> A /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( x ` j ) e. A )
159	158	3adant1 1079	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( x ` j ) e. A )
160	82	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x ` j ) e. A ) -> ( x ` j ) e. C )
161	24, 25, 26, 160	fcnre 39184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x ` j ) e. A ) -> ( x ` j ) : T --> RR )
162	157, 159, 161	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( x ` j ) : T --> RR )
163	154, 155, 156, 162	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( x ` j ) : T --> RR )
164		simp1r3 1159	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) /\ t e. T ) -> A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) )
165		r19.26-3 3066	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) <-> ( A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) )
166	165	simp1bi 1076	. . . . . . . . . 10 |- ( A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) -> A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) )
167		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) -> 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) )
168	167	2ralimi 2953	. . . . . . . . . 10 |- ( A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) -> A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. T 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) )
169	164, 166, 168	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) /\ t e. T ) -> A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. T 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) )
170		simp2 1062	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) /\ t e. T ) -> j e. ( 0 ... n ) )
171		simp3 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) /\ t e. T ) -> t e. T )
172		rspa 2930	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. T 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> A. t e. T 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) )
173	172	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. T 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) /\ t e. T ) -> 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) )
174	169, 170, 171, 173	syl21anc 1325	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) /\ t e. T ) -> 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) )
175		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) -> ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 )
176	175	2ralimi 2953	. . . . . . . . . 10 |- ( A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) -> A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. T ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 )
177	164, 166, 176	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) /\ t e. T ) -> A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. T ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 )
178		rspa 2930	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. T ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> A. t e. T ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 )
179	178	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. T ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 /\ j e. ( 0 ... n ) ) /\ t e. T ) -> ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 )
180	177, 170, 171, 179	syl21anc 1325	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) /\ t e. T ) -> ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 )
181		simp1r3 1159	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) /\ t e. ( D ` j ) ) -> A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) )
182	165	simp2bi 1077	. . . . . . . . . 10 |- ( A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) -> A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) )
183	181, 182	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) /\ t e. ( D ` j ) ) -> A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) )
184		simp2 1062	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) /\ t e. ( D ` j ) ) -> j e. ( 0 ... n ) )
185		simp3 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) /\ t e. ( D ` j ) ) -> t e. ( D ` j ) )
186		rspa 2930	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) )
187	186	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) /\ t e. ( D ` j ) ) -> ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) )
188	183, 184, 185, 187	syl21anc 1325	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) /\ t e. ( D ` j ) ) -> ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) )
189		simp1r3 1159	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) )
190	165	simp3bi 1078	. . . . . . . . . 10 |- ( A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) -> A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) )
191	189, 190	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) )
192		simp2 1062	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> j e. ( 0 ... n ) )
193		simp3 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> t e. ( B ` j ) )
194		rspa 2930	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) )
195	194	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) )
196	191, 192, 193, 195	syl21anc 1325	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) )
197	68, 130, 140, 77, 78, 141, 108, 145, 146, 149, 151, 152, 153, 163, 174, 180, 188, 196	stoweidlem34 40251	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) -> A. t e. T E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) )
198		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) )
199	198	nfeq2 2780	. . . . . . . . 9 |- F/ t g = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) )
200		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) -> ( g ` t ) = ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ` t ) )
201	200	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) -> ( ( g ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <-> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) )
202	200	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) -> ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( g ` t ) <-> ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ` t ) ) )
203	201, 202	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) -> ( ( ( g ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( g ` t ) ) <-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) )
204	203	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( g = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) -> ( ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( g ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( g ` t ) ) ) <-> ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) ) )
205	204	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( g = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) -> ( E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( g ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( g ` t ) ) ) <-> E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) ) )
206	199, 205	ralbid 2983	. . . . . . . 8 |- ( g = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) -> ( A. t e. T E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( g ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( g ` t ) ) ) <-> A. t e. T E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) ) )
207	206	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) e. A /\ A. t e. T E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) ) -> E. g e. A A. t e. T E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( g ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( g ` t ) ) ) )
208	124, 197, 207	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) -> E. g e. A A. t e. T E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( g ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( g ` t ) ) ) )
209	208	ex 450	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) -> E. g e. A A. t e. T E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( g ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( g ` t ) ) ) ) )
210	209	2eximdv 1848	. . . 4 |- ( ph -> ( E. n E. x ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) -> E. n E. x E. g e. A A. t e. T E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( g ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( g ` t ) ) ) ) )
211	106, 210	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> E. n E. x E. g e. A A. t e. T E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( g ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( g ` t ) ) ) )
212		idd 24	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x E. g e. A A. t e. T E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( g ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( g ` t ) ) ) -> E. x E. g e. A A. t e. T E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( g ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( g ` t ) ) ) ) )
213	212	exlimdv 1861	. . 3 |- ( ph -> ( E. n E. x E. g e. A A. t e. T E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( g ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( g ` t ) ) ) -> E. x E. g e. A A. t e. T E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( g ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( g ` t ) ) ) ) )
214	211, 213	mpd 15	. 2 |- ( ph -> E. x E. g e. A A. t e. T E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( g ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( g ` t ) ) ) )
215		idd 24	. . 3 |- ( ph -> ( E. g e. A A. t e. T E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( g ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( g ` t ) ) ) -> E. g e. A A. t e. T E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( g ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( g ` t ) ) ) ) )
216	215	exlimdv 1861	. 2 |- ( ph -> ( E. x E. g e. A A. t e. T E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( g ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( g ` t ) ) ) -> E. g e. A A. t e. T E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( g ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( g ` t ) ) ) ) )
217	214, 216	mpd 15	1 |- ( ph -> E. g e. A A. t e. T E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( g ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( g ` t ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   3c3 11071   4c4 11072   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   ...cfz 12326   sum_csu 14416   topGenctg 16098   Cn ccn 21028   Compccmp 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127

This theorem is referenced by:  stoweidlem61  40278