Theorem subfaclim 31170

Description: The subfactorial converges rapidly to N ! / _e. This is part of Metamath 100 proof #88. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
derang.d	|- D = ( x e. Fin |-> ( # ` { f | ( f : x -1-1-onto-> x /\ A. y e. x ( f ` y ) =/= y ) } ) )
subfac.n	|- S = ( n e. NN0 |-> ( D ` ( 1 ... n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
subfaclim	|- ( N e. NN -> ( abs ` ( ( ( ! ` N ) / _e ) - ( S ` N ) ) ) < ( 1 / N ) )

Distinct variable groups:   f, n, x, y, N   D, n   S, n, x, y

Allowed substitution hints:   D( x, y, f)   S( f)

Proof of Theorem subfaclim

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 11299	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
2		faccl 13070	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ! ` N ) e. NN )
4	3	nncnd 11036	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ! ` N ) e. CC )
5		ere 14819	. . . . . . 7 |- _e e. RR
6	5	recni 10052	. . . . . 6 |- _e e. CC
7		epos 14935	. . . . . . 7 |- 0 < _e
8	5, 7	gt0ne0ii 10564	. . . . . 6 |- _e =/= 0
9		divcl 10691	. . . . . 6 |- ( ( ( ! ` N ) e. CC /\ _e e. CC /\ _e =/= 0 ) -> ( ( ! ` N ) / _e ) e. CC )
10	6, 8, 9	mp3an23 1416	. . . . 5 |- ( ( ! ` N ) e. CC -> ( ( ! ` N ) / _e ) e. CC )
11	4, 10	syl 17	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` N ) / _e ) e. CC )
12		derang.d	. . . . . . . 8 |- D = ( x e. Fin |-> ( # ` { f | ( f : x -1-1-onto-> x /\ A. y e. x ( f ` y ) =/= y ) } ) )
13		subfac.n	. . . . . . . 8 |- S = ( n e. NN0 |-> ( D ` ( 1 ... n ) ) )
14	12, 13	subfacf 31157	. . . . . . 7 |- S : NN0 --> NN0
15	14	ffvelrni 6358	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( S ` N ) e. NN0 )
16	1, 15	syl 17	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( S ` N ) e. NN0 )
17	16	nn0cnd 11353	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( S ` N ) e. CC )
18	11, 17	subcld 10392	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( ( ! ` N ) / _e ) - ( S ` N ) ) e. CC )
19	18	abscld 14175	. 2 |- ( N e. NN -> ( abs ` ( ( ( ! ` N ) / _e ) - ( S ` N ) ) ) e. RR )
20		peano2nn 11032	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. NN )
21	20	peano2nnd 11037	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( N + 1 ) + 1 ) e. NN )
22	21	nnred 11035	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( N + 1 ) + 1 ) e. RR )
23	20, 20	nnmulcld 11068	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) e. NN )
24	22, 23	nndivred 11069	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + 1 ) + 1 ) / ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) ) e. RR )
25		nnrecre 11057	. 2 |- ( N e. NN -> ( 1 / N ) e. RR )
26		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( n e. NN0 |-> ( ( -u 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( -u 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
27		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` -u 1 ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` -u 1 ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
28		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` -u 1 ) ^ ( N + 1 ) ) / ( ! ` ( N + 1 ) ) ) x. ( ( 1 / ( ( N + 1 ) + 1 ) ) ^ n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` -u 1 ) ^ ( N + 1 ) ) / ( ! ` ( N + 1 ) ) ) x. ( ( 1 / ( ( N + 1 ) + 1 ) ) ^ n ) ) )
29		neg1cn 11124	. . . . . . 7 |- -u 1 e. CC
30	29	a1i 11	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> -u 1 e. CC )
31		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
32	31	absnegi 14139	. . . . . . . . 9 |- ( abs ` -u 1 ) = ( abs ` 1 )
33		abs1 14037	. . . . . . . . 9 |- ( abs ` 1 ) = 1
34	32, 33	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- ( abs ` -u 1 ) = 1
35		1le1 10655	. . . . . . . 8 |- 1 <_ 1
36	34, 35	eqbrtri 4674	. . . . . . 7 |- ( abs ` -u 1 ) <_ 1
37	36	a1i 11	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( abs ` -u 1 ) <_ 1 )
38	26, 27, 28, 20, 30, 37	eftlub 14839	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( -u 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) <_ ( ( ( abs ` -u 1 ) ^ ( N + 1 ) ) x. ( ( ( N + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( N + 1 ) ) x. ( N + 1 ) ) ) ) )
39	20	nnnn0d 11351	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. NN0 )
40		eluznn0 11757	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
41	39, 40	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
42	26	eftval 14807	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( -u 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) = ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
43	41, 42	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( -u 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) = ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
44	43	sumeq2dv 14433	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( -u 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
45	44	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( n e. NN0 |-> ( ( -u 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) )
46	34	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 |- ( ( abs ` -u 1 ) ^ ( N + 1 ) ) = ( 1 ^ ( N + 1 ) )
47	20	nnzd 11481	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. ZZ )
48		1exp 12889	. . . . . . . . 9 |- ( ( N + 1 ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( N + 1 ) ) = 1 )
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 1 ^ ( N + 1 ) ) = 1 )
50	46, 49	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( abs ` -u 1 ) ^ ( N + 1 ) ) = 1 )
51	50	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( abs ` -u 1 ) ^ ( N + 1 ) ) x. ( ( ( N + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( N + 1 ) ) x. ( N + 1 ) ) ) ) = ( 1 x. ( ( ( N + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( N + 1 ) ) x. ( N + 1 ) ) ) ) )
52		faccl 13070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N + 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( N + 1 ) ) e. NN )
53	39, 52	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( ! ` ( N + 1 ) ) e. NN )
54	53, 20	nnmulcld 11068	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` ( N + 1 ) ) x. ( N + 1 ) ) e. NN )
55	22, 54	nndivred 11069	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( N + 1 ) ) x. ( N + 1 ) ) ) e. RR )
56	55	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( N + 1 ) ) x. ( N + 1 ) ) ) e. CC )
57	56	mulid2d 10058	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 x. ( ( ( N + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( N + 1 ) ) x. ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( ( N + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( N + 1 ) ) x. ( N + 1 ) ) ) )
58	51, 57	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( abs ` -u 1 ) ^ ( N + 1 ) ) x. ( ( ( N + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( N + 1 ) ) x. ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( ( N + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( N + 1 ) ) x. ( N + 1 ) ) ) )
59	38, 45, 58	3brtr3d 4684	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) <_ ( ( ( N + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( N + 1 ) ) x. ( N + 1 ) ) ) )
60		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( N + 1 ) )
61		eftcl 14804	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u 1 e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
62	29, 61	mpan 706	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
63	41, 62	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
64	26	eftlcvg 14836	. . . . . . . 8 |- ( ( -u 1 e. CC /\ ( N + 1 ) e. NN0 ) -> seq ( N + 1 ) ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( -u 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
65	29, 39, 64	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> seq ( N + 1 ) ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( -u 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
66	60, 47, 43, 63, 65	isumcl 14492	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
67	66	abscld 14175	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) e. RR )
68	3	nnred 11035	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ! ` N ) e. RR )
69	3	nngt0d 11064	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 0 < ( ! ` N ) )
70		lemul2 10876	. . . . 5 |- ( ( ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) e. RR /\ ( ( ( N + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( N + 1 ) ) x. ( N + 1 ) ) ) e. RR /\ ( ( ! ` N ) e. RR /\ 0 < ( ! ` N ) ) ) -> ( ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) <_ ( ( ( N + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( N + 1 ) ) x. ( N + 1 ) ) ) <-> ( ( ! ` N ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) <_ ( ( ! ` N ) x. ( ( ( N + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( N + 1 ) ) x. ( N + 1 ) ) ) ) ) )
71	67, 55, 68, 69, 70	syl112anc 1330	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) <_ ( ( ( N + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( N + 1 ) ) x. ( N + 1 ) ) ) <-> ( ( ! ` N ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) <_ ( ( ! ` N ) x. ( ( ( N + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( N + 1 ) ) x. ( N + 1 ) ) ) ) ) )
72	59, 71	mpbid 222	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` N ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) <_ ( ( ! ` N ) x. ( ( ( N + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( N + 1 ) ) x. ( N + 1 ) ) ) ) )
73	12, 13	subfacval2 31169	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( S ` N ) = ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) )
74	1, 73	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( S ` N ) = ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) )
75		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> N e. CC )
76		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
77	75, 31, 76	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
78	77	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
79	78	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> sum_ k e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
80	79	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) )
81	74, 80	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( S ` N ) = ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) )
82	81	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( S ` N ) + ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) = ( ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) + ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) )
83		divrec 10701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ! ` N ) e. CC /\ _e e. CC /\ _e =/= 0 ) -> ( ( ! ` N ) / _e ) = ( ( ! ` N ) x. ( 1 / _e ) ) )
84	6, 8, 83	mp3an23 1416	. . . . . . . . 9 |- ( ( ! ` N ) e. CC -> ( ( ! ` N ) / _e ) = ( ( ! ` N ) x. ( 1 / _e ) ) )
85	4, 84	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` N ) / _e ) = ( ( ! ` N ) x. ( 1 / _e ) ) )
86		df-e 14799	. . . . . . . . . . . 12 |- _e = ( exp ` 1 )
87	86	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / _e ) = ( 1 / ( exp ` 1 ) )
88		efneg 14828	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. CC -> ( exp ` -u 1 ) = ( 1 / ( exp ` 1 ) ) )
89	31, 88	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( exp ` -u 1 ) = ( 1 / ( exp ` 1 ) )
90		efval 14810	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u 1 e. CC -> ( exp ` -u 1 ) = sum_ k e. NN0 ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
91	29, 90	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( exp ` -u 1 ) = sum_ k e. NN0 ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) )
92	87, 89, 91	3eqtr2i 2650	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / _e ) = sum_ k e. NN0 ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) )
93		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . 11 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
94	42	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( -u 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` k ) = ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
95	62	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
96		0nn0 11307	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. NN0
97	26	eftlcvg 14836	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u 1 e. CC /\ 0 e. NN0 ) -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( -u 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
98	29, 96, 97	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( -u 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) e. dom ~~>
99	98	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( -u 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
100	93, 60, 39, 94, 95, 99	isumsplit 14572	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> sum_ k e. NN0 ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) )
101	92, 100	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( 1 / _e ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) )
102	101	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` N ) x. ( 1 / _e ) ) = ( ( ! ` N ) x. ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) )
103		fzfid 12772	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) e. Fin )
104		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) -> k e. NN0 )
105	104	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
106	29, 105, 61	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
107	103, 106	fsumcl 14464	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> sum_ k e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
108	4, 107, 66	adddid 10064	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` N ) x. ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) = ( ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) + ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) )
109	85, 102, 108	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` N ) / _e ) = ( ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) + ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) )
110	82, 109	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( S ` N ) + ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) = ( ( ! ` N ) / _e ) )
111	4, 66	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) e. CC )
112	11, 17, 111	subaddd 10410	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( ! ` N ) / _e ) - ( S ` N ) ) = ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) <-> ( ( S ` N ) + ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) = ( ( ! ` N ) / _e ) ) )
113	110, 112	mpbird 247	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( ! ` N ) / _e ) - ( S ` N ) ) = ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) )
114	113	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( abs ` ( ( ( ! ` N ) / _e ) - ( S ` N ) ) ) = ( abs ` ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) )
115	4, 66	absmuld 14193	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( abs ` ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) = ( ( abs ` ( ! ` N ) ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) )
116	3	nnnn0d 11351	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ! ` N ) e. NN0 )
117	116	nn0ge0d 11354	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 0 <_ ( ! ` N ) )
118	68, 117	absidd 14161	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( abs ` ( ! ` N ) ) = ( ! ` N ) )
119	118	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( abs ` ( ! ` N ) ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) = ( ( ! ` N ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) )
120	114, 115, 119	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( N e. NN -> ( abs ` ( ( ( ! ` N ) / _e ) - ( S ` N ) ) ) = ( ( ! ` N ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ( ( -u 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) )
121		facp1 13065	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` ( N + 1 ) ) = ( ( ! ` N ) x. ( N + 1 ) ) )
122	1, 121	syl 17	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ! ` ( N + 1 ) ) = ( ( ! ` N ) x. ( N + 1 ) ) )
123	122	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` ( N + 1 ) ) x. ( N + 1 ) ) = ( ( ( ! ` N ) x. ( N + 1 ) ) x. ( N + 1 ) ) )
124	20	nncnd 11036	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. CC )
125	4, 124, 124	mulassd 10063	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( ! ` N ) x. ( N + 1 ) ) x. ( N + 1 ) ) = ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) ) )
126	123, 125	eqtr2d 2657	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) ) = ( ( ! ` ( N + 1 ) ) x. ( N + 1 ) ) )
127	126	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) + 1 ) ) / ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) + 1 ) ) / ( ( ! ` ( N + 1 ) ) x. ( N + 1 ) ) ) )
128	21	nncnd 11036	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( N + 1 ) + 1 ) e. CC )
129	23	nncnd 11036	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) e. CC )
130	23	nnne0d 11065	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) =/= 0 )
131	3	nnne0d 11065	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ! ` N ) =/= 0 )
132	128, 129, 4, 130, 131	divcan5d 10827	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) + 1 ) ) / ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( ( N + 1 ) + 1 ) / ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) ) )
133	54	nncnd 11036	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` ( N + 1 ) ) x. ( N + 1 ) ) e. CC )
134	54	nnne0d 11065	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` ( N + 1 ) ) x. ( N + 1 ) ) =/= 0 )
135	4, 128, 133, 134	divassd 10836	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ( ! ` N ) x. ( ( N + 1 ) + 1 ) ) / ( ( ! ` ( N + 1 ) ) x. ( N + 1 ) ) ) = ( ( ! ` N ) x. ( ( ( N + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( N + 1 ) ) x. ( N + 1 ) ) ) ) )
136	127, 132, 135	3eqtr3d 2664	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + 1 ) + 1 ) / ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) ) = ( ( ! ` N ) x. ( ( ( N + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( N + 1 ) ) x. ( N + 1 ) ) ) ) )
137	72, 120, 136	3brtr4d 4685	. 2 |- ( N e. NN -> ( abs ` ( ( ( ! ` N ) / _e ) - ( S ` N ) ) ) <_ ( ( ( N + 1 ) + 1 ) / ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) ) )
138		nnmulcl 11043	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N + 1 ) + 1 ) e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( N + 1 ) + 1 ) x. N ) e. NN )
139	21, 138	mpancom 703	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + 1 ) + 1 ) x. N ) e. NN )
140	139	nnred 11035	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + 1 ) + 1 ) x. N ) e. RR )
141	140	ltp1d 10954	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + 1 ) + 1 ) x. N ) < ( ( ( ( N + 1 ) + 1 ) x. N ) + 1 ) )
142	129	mulid2d 10058	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 x. ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) )
143	31	a1i 11	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 e. CC )
144	75, 143, 124	adddird 10065	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) = ( ( N x. ( N + 1 ) ) + ( 1 x. ( N + 1 ) ) ) )
145	75, 124	mulcomd 10061	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N x. ( N + 1 ) ) = ( ( N + 1 ) x. N ) )
146	124	mulid2d 10058	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 1 x. ( N + 1 ) ) = ( N + 1 ) )
147	145, 146	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( N x. ( N + 1 ) ) + ( 1 x. ( N + 1 ) ) ) = ( ( ( N + 1 ) x. N ) + ( N + 1 ) ) )
148	124, 143, 75	adddird 10065	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + 1 ) + 1 ) x. N ) = ( ( ( N + 1 ) x. N ) + ( 1 x. N ) ) )
149	148	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( N + 1 ) + 1 ) x. N ) + 1 ) = ( ( ( ( N + 1 ) x. N ) + ( 1 x. N ) ) + 1 ) )
150	75	mulid2d 10058	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( 1 x. N ) = N )
151	150	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + 1 ) x. N ) + ( 1 x. N ) ) = ( ( ( N + 1 ) x. N ) + N ) )
152	151	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( N + 1 ) x. N ) + ( 1 x. N ) ) + 1 ) = ( ( ( ( N + 1 ) x. N ) + N ) + 1 ) )
153	124, 75	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( N + 1 ) x. N ) e. CC )
154	153, 75, 143	addassd 10062	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( N + 1 ) x. N ) + N ) + 1 ) = ( ( ( N + 1 ) x. N ) + ( N + 1 ) ) )
155	149, 152, 154	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( N + 1 ) + 1 ) x. N ) + 1 ) = ( ( ( N + 1 ) x. N ) + ( N + 1 ) ) )
156	147, 155	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( N x. ( N + 1 ) ) + ( 1 x. ( N + 1 ) ) ) = ( ( ( ( N + 1 ) + 1 ) x. N ) + 1 ) )
157	142, 144, 156	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( 1 x. ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) ) = ( ( ( ( N + 1 ) + 1 ) x. N ) + 1 ) )
158	141, 157	breqtrrd 4681	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + 1 ) + 1 ) x. N ) < ( 1 x. ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) ) )
159		nnre 11027	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. RR )
160		nngt0 11049	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 0 < N )
161	159, 160	jca 554	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
162		1red 10055	. . . 4 |- ( N e. NN -> 1 e. RR )
163		nnre 11027	. . . . . 6 |- ( ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) e. NN -> ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) e. RR )
164		nngt0 11049	. . . . . 6 |- ( ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) e. NN -> 0 < ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) )
165	163, 164	jca 554	. . . . 5 |- ( ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) e. NN -> ( ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) e. RR /\ 0 < ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) ) )
166	23, 165	syl 17	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) e. RR /\ 0 < ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) ) )
167		lt2mul2div 10901	. . . 4 |- ( ( ( ( ( N + 1 ) + 1 ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) /\ ( 1 e. RR /\ ( ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) e. RR /\ 0 < ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( N + 1 ) + 1 ) x. N ) < ( 1 x. ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) ) <-> ( ( ( N + 1 ) + 1 ) / ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) ) < ( 1 / N ) ) )
168	22, 161, 162, 166, 167	syl22anc 1327	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( N + 1 ) + 1 ) x. N ) < ( 1 x. ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) ) <-> ( ( ( N + 1 ) + 1 ) / ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) ) < ( 1 / N ) ) )
169	158, 168	mpbid 222	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + 1 ) + 1 ) / ( ( N + 1 ) x. ( N + 1 ) ) ) < ( 1 / N ) )
170	19, 24, 25, 137, 169	lelttrd 10195	1 |- ( N e. NN -> ( abs ` ( ( ( ! ` N ) / _e ) - ( S ` N ) ) ) < ( 1 / N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801   ^cexp 12860   !cfa 13060   #chash 13117   abscabs 13974   ~~> cli 14215   sum_csu 14416   expce 14792   _eceu 14793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799

This theorem is referenced by:  subfacval3  31171