Theorem lgamgulmlem3 24757

Description: Lemma for lgamgulm 24761. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgamgulm.r	|- ( ph -> R e. NN )
lgamgulm.u	|- U = { x e. CC | ( ( abs ` x ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( x + k ) ) ) }
lgamgulm.n	|- ( ph -> N e. NN )
lgamgulm.a	|- ( ph -> A e. U )
lgamgulm.l	|- ( ph -> ( 2 x. R ) <_ N )

Assertion

Ref	Expression
lgamgulmlem3	|- ( ph -> ( abs ` ( ( A x. ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) ) - ( log ` ( ( A / N ) + 1 ) ) ) ) <_ ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, N   x, k, R   A, k, x   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( k)   U( x, k)   N( k)

Proof of Theorem lgamgulmlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgamgulm.r	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. NN )
2		lgamgulm.u	. . . . . . . 8 |- U = { x e. CC | ( ( abs ` x ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( x + k ) ) ) }
3	1, 2	lgamgulmlem1 24755	. . . . . . 7 |- ( ph -> U C_ ( CC \ ( ZZ \ NN ) ) )
4		lgamgulm.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. U )
5	3, 4	sseldd 3604	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. ( CC \ ( ZZ \ NN ) ) )
6	5	eldifad 3586	. . . . 5 |- ( ph -> A e. CC )
7		lgamgulm.n	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. NN )
8	7	peano2nnd 11037	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN )
9	8	nnrpd 11870	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. RR+ )
10	7	nnrpd 11870	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. RR+ )
11	9, 10	rpdivcld 11889	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) / N ) e. RR+ )
12	11	relogcld 24369	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) e. RR )
13	12	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) e. CC )
14	6, 13	mulcld 10060	. . . 4 |- ( ph -> ( A x. ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) ) e. CC )
15	7	nncnd 11036	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. CC )
16	7	nnne0d 11065	. . . . . . 7 |- ( ph -> N =/= 0 )
17	6, 15, 16	divcld 10801	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A / N ) e. CC )
18		1cnd 10056	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. CC )
19	17, 18	addcld 10059	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A / N ) + 1 ) e. CC )
20	5, 7	dmgmdivn0 24754	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A / N ) + 1 ) =/= 0 )
21	19, 20	logcld 24317	. . . 4 |- ( ph -> ( log ` ( ( A / N ) + 1 ) ) e. CC )
22	14, 21	subcld 10392	. . 3 |- ( ph -> ( ( A x. ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) ) - ( log ` ( ( A / N ) + 1 ) ) ) e. CC )
23	22	abscld 14175	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( ( A x. ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) ) - ( log ` ( ( A / N ) + 1 ) ) ) ) e. RR )
24	14, 17	subcld 10392	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A x. ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) ) - ( A / N ) ) e. CC )
25	24	abscld 14175	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( A x. ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) ) - ( A / N ) ) ) e. RR )
26	17, 21	subcld 10392	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A / N ) - ( log ` ( ( A / N ) + 1 ) ) ) e. CC )
27	26	abscld 14175	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( A / N ) - ( log ` ( ( A / N ) + 1 ) ) ) ) e. RR )
28	25, 27	readdcld 10069	. 2 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( A x. ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) ) - ( A / N ) ) ) + ( abs ` ( ( A / N ) - ( log ` ( ( A / N ) + 1 ) ) ) ) ) e. RR )
29	1	nnred 11035	. . 3 |- ( ph -> R e. RR )
30		2re 11090	. . . . . 6 |- 2 e. RR
31	30	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. RR )
32		1red 10055	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
33	29, 32	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ph -> ( R + 1 ) e. RR )
34	31, 33	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ph -> ( 2 x. ( R + 1 ) ) e. RR )
35	7	nnsqcld 13029	. . . 4 |- ( ph -> ( N ^ 2 ) e. NN )
36	34, 35	nndivred 11069	. . 3 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) e. RR )
37	29, 36	remulcld 10070	. 2 |- ( ph -> ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) e. RR )
38	14, 21, 17	abs3difd 14199	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( ( A x. ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) ) - ( log ` ( ( A / N ) + 1 ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( ( A x. ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) ) - ( A / N ) ) ) + ( abs ` ( ( A / N ) - ( log ` ( ( A / N ) + 1 ) ) ) ) ) )
39	7	nnrecred 11066	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / N ) e. RR )
40	8	nnrecred 11066	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / ( N + 1 ) ) e. RR )
41	39, 40	resubcld 10458	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 / N ) - ( 1 / ( N + 1 ) ) ) e. RR )
42	29, 41	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ph -> ( R x. ( ( 1 / N ) - ( 1 / ( N + 1 ) ) ) ) e. RR )
43	31, 29	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. R ) e. RR )
44	7	nnred 11035	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. RR )
45	1	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. RR+ )
46	29, 45	ltaddrpd 11905	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R < ( R + R ) )
47	1	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. CC )
48	47	2timesd 11275	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. R ) = ( R + R ) )
49	46, 48	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R < ( 2 x. R ) )
50		lgamgulm.l	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. R ) <_ N )
51	29, 43, 44, 49, 50	ltletrd 10197	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R < N )
52		difrp 11868	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR /\ N e. RR ) -> ( R < N <-> ( N - R ) e. RR+ ) )
53	29, 44, 52	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( R < N <-> ( N - R ) e. RR+ ) )
54	51, 53	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N - R ) e. RR+ )
55	54	rprecred 11883	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / ( N - R ) ) e. RR )
56	55, 39	resubcld 10458	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) e. RR )
57	29, 56	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ph -> ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) e. RR )
58	42, 57	readdcld 10069	. . 3 |- ( ph -> ( ( R x. ( ( 1 / N ) - ( 1 / ( N + 1 ) ) ) ) + ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) ) e. RR )
59	6, 15, 16	divrecd 10804	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A / N ) = ( A x. ( 1 / N ) ) )
60	59	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A x. ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) ) - ( A / N ) ) = ( ( A x. ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) ) - ( A x. ( 1 / N ) ) ) )
61	39	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 / N ) e. CC )
62	6, 13, 61	subdid 10486	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A x. ( ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) - ( 1 / N ) ) ) = ( ( A x. ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) ) - ( A x. ( 1 / N ) ) ) )
63	60, 62	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A x. ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) ) - ( A / N ) ) = ( A x. ( ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) - ( 1 / N ) ) ) )
64	63	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( ( A x. ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) ) - ( A / N ) ) ) = ( abs ` ( A x. ( ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) - ( 1 / N ) ) ) ) )
65	13, 61	subcld 10392	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) - ( 1 / N ) ) e. CC )
66	6, 65	absmuld 14193	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( A x. ( ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) - ( 1 / N ) ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` ( ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) - ( 1 / N ) ) ) ) )
67	64, 66	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( ( A x. ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) ) - ( A / N ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` ( ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) - ( 1 / N ) ) ) ) )
68	6	abscld 14175	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )
69	65	abscld 14175	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) - ( 1 / N ) ) ) e. RR )
70	6	absge0d 14183	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` A ) )
71	65	absge0d 14183	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` ( ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) - ( 1 / N ) ) ) )
72		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = A -> ( abs ` x ) = ( abs ` A ) )
73	72	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = A -> ( ( abs ` x ) <_ R <-> ( abs ` A ) <_ R ) )
74		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = A -> ( x + k ) = ( A + k ) )
75	74	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = A -> ( abs ` ( x + k ) ) = ( abs ` ( A + k ) ) )
76	75	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = A -> ( ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( x + k ) ) <-> ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( A + k ) ) ) )
77	76	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = A -> ( A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( x + k ) ) <-> A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( A + k ) ) ) )
78	73, 77	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( x = A -> ( ( ( abs ` x ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( x + k ) ) ) <-> ( ( abs ` A ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( A + k ) ) ) ) )
79	78, 2	elrab2 3366	. . . . . . . . 9 |- ( A e. U <-> ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( A + k ) ) ) ) )
80	79	simprbi 480	. . . . . . . 8 |- ( A e. U -> ( ( abs ` A ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( A + k ) ) ) )
81	4, 80	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( A + k ) ) ) )
82	81	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` A ) <_ R )
83	9, 10	relogdivd 24372	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) = ( ( log ` ( N + 1 ) ) - ( log ` N ) ) )
84		logdifbnd 24720	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. RR+ -> ( ( log ` ( N + 1 ) ) - ( log ` N ) ) <_ ( 1 / N ) )
85	10, 84	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( log ` ( N + 1 ) ) - ( log ` N ) ) <_ ( 1 / N ) )
86	83, 85	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) <_ ( 1 / N ) )
87	12, 39, 86	abssuble0d 14171	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) - ( 1 / N ) ) ) = ( ( 1 / N ) - ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) ) )
88		logdiflbnd 24721	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. RR+ -> ( 1 / ( N + 1 ) ) <_ ( ( log ` ( N + 1 ) ) - ( log ` N ) ) )
89	10, 88	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 / ( N + 1 ) ) <_ ( ( log ` ( N + 1 ) ) - ( log ` N ) ) )
90	89, 83	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / ( N + 1 ) ) <_ ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) )
91	40, 12, 39, 90	lesub2dd 10644	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / N ) - ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) ) <_ ( ( 1 / N ) - ( 1 / ( N + 1 ) ) ) )
92	87, 91	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) - ( 1 / N ) ) ) <_ ( ( 1 / N ) - ( 1 / ( N + 1 ) ) ) )
93	68, 29, 69, 41, 70, 71, 82, 92	lemul12ad 10966	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` ( ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) - ( 1 / N ) ) ) ) <_ ( R x. ( ( 1 / N ) - ( 1 / ( N + 1 ) ) ) ) )
94	67, 93	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( ( A x. ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) ) - ( A / N ) ) ) <_ ( R x. ( ( 1 / N ) - ( 1 / ( N + 1 ) ) ) ) )
95	1, 2, 7, 4, 50	lgamgulmlem2 24756	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( ( A / N ) - ( log ` ( ( A / N ) + 1 ) ) ) ) <_ ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) )
96	25, 27, 42, 57, 94, 95	le2addd 10646	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( A x. ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) ) - ( A / N ) ) ) + ( abs ` ( ( A / N ) - ( log ` ( ( A / N ) + 1 ) ) ) ) ) <_ ( ( R x. ( ( 1 / N ) - ( 1 / ( N + 1 ) ) ) ) + ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) ) )
97	15, 47	subcld 10392	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N - R ) e. CC )
98	15, 18	addcld 10059	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. CC )
99	29, 51	gtned 10172	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N =/= R )
100	15, 47, 99	subne0d 10401	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N - R ) =/= 0 )
101	8	nnne0d 11065	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N + 1 ) =/= 0 )
102	97, 98, 100, 101	subrecd 10856	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / ( N + 1 ) ) ) = ( ( ( N + 1 ) - ( N - R ) ) / ( ( N - R ) x. ( N + 1 ) ) ) )
103	15, 18, 47	pnncand 10431	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) - ( N - R ) ) = ( 1 + R ) )
104	18, 47	addcomd 10238	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 + R ) = ( R + 1 ) )
105	103, 104	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) - ( N - R ) ) = ( R + 1 ) )
106	105	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( N + 1 ) - ( N - R ) ) / ( ( N - R ) x. ( N + 1 ) ) ) = ( ( R + 1 ) / ( ( N - R ) x. ( N + 1 ) ) ) )
107	102, 106	eqtr2d 2657	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( R + 1 ) / ( ( N - R ) x. ( N + 1 ) ) ) = ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / ( N + 1 ) ) ) )
108	107	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ph -> ( R x. ( ( R + 1 ) / ( ( N - R ) x. ( N + 1 ) ) ) ) = ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / ( N + 1 ) ) ) ) )
109	98, 101	reccld 10794	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / ( N + 1 ) ) e. CC )
110	97, 100	reccld 10794	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / ( N - R ) ) e. CC )
111	61, 109, 110	npncan3d 10428	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( 1 / N ) - ( 1 / ( N + 1 ) ) ) + ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) = ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / ( N + 1 ) ) ) )
112	111	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / ( N + 1 ) ) ) = ( ( ( 1 / N ) - ( 1 / ( N + 1 ) ) ) + ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) )
113	112	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ph -> ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / ( N + 1 ) ) ) ) = ( R x. ( ( ( 1 / N ) - ( 1 / ( N + 1 ) ) ) + ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) ) )
114	41	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 / N ) - ( 1 / ( N + 1 ) ) ) e. CC )
115	56	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) e. CC )
116	47, 114, 115	adddid 10064	. . . . 5 |- ( ph -> ( R x. ( ( ( 1 / N ) - ( 1 / ( N + 1 ) ) ) + ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) ) = ( ( R x. ( ( 1 / N ) - ( 1 / ( N + 1 ) ) ) ) + ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) ) )
117	108, 113, 116	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ph -> ( R x. ( ( R + 1 ) / ( ( N - R ) x. ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( R x. ( ( 1 / N ) - ( 1 / ( N + 1 ) ) ) ) + ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) ) )
118	54, 9	rpmulcld 11888	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N - R ) x. ( N + 1 ) ) e. RR+ )
119	33, 118	rerpdivcld 11903	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( R + 1 ) / ( ( N - R ) x. ( N + 1 ) ) ) e. RR )
120	45	rpge0d 11876	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ R )
121		2z 11409	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
122	121	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
123	10, 122	rpexpcld 13032	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N ^ 2 ) e. RR+ )
124	123	rphalfcld 11884	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. RR+ )
125		0le1 10551	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 1
126	125	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ 1 )
127	29, 32, 120, 126	addge0d 10603	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( R + 1 ) )
128	15	sqvald 13005	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N ^ 2 ) = ( N x. N ) )
129	128	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N ^ 2 ) / 2 ) = ( ( N x. N ) / 2 ) )
130	31	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 e. CC )
131		2ne0 11113	. . . . . . . . . . 11 |- 2 =/= 0
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 =/= 0 )
133	15, 15, 130, 132	div23d 10838	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N x. N ) / 2 ) = ( ( N / 2 ) x. N ) )
134	129, 133	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( N ^ 2 ) / 2 ) = ( ( N / 2 ) x. N ) )
135	44	rehalfcld 11279	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N / 2 ) e. RR )
136	44, 29	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N - R ) e. RR )
137	44, 32	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. RR )
138		2rp 11837	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR+
139	138	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
140	10	rpge0d 11876	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ N )
141	44, 139, 140	divge0d 11912	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( N / 2 ) )
142	29, 44, 139	lemuldiv2d 11922	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. R ) <_ N <-> R <_ ( N / 2 ) ) )
143	50, 142	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R <_ ( N / 2 ) )
144	15	2halvesd 11278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( N / 2 ) + ( N / 2 ) ) = N )
145	135	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N / 2 ) e. CC )
146	15, 145, 145	subaddd 10410	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( N - ( N / 2 ) ) = ( N / 2 ) <-> ( ( N / 2 ) + ( N / 2 ) ) = N ) )
147	144, 146	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N - ( N / 2 ) ) = ( N / 2 ) )
148	143, 147	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R <_ ( N - ( N / 2 ) ) )
149	29, 44, 135, 148	lesubd 10631	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N / 2 ) <_ ( N - R ) )
150	44	lep1d 10955	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N <_ ( N + 1 ) )
151	135, 136, 44, 137, 141, 140, 149, 150	lemul12ad 10966	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( N / 2 ) x. N ) <_ ( ( N - R ) x. ( N + 1 ) ) )
152	134, 151	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( N ^ 2 ) / 2 ) <_ ( ( N - R ) x. ( N + 1 ) ) )
153	124, 118, 33, 127, 152	lediv2ad 11894	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( R + 1 ) / ( ( N - R ) x. ( N + 1 ) ) ) <_ ( ( R + 1 ) / ( ( N ^ 2 ) / 2 ) ) )
154	1	peano2nnd 11037	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( R + 1 ) e. NN )
155	154	nncnd 11036	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( R + 1 ) e. CC )
156	35	nncnd 11036	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N ^ 2 ) e. CC )
157	35	nnne0d 11065	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N ^ 2 ) =/= 0 )
158	155, 156, 130, 157, 132	divdiv2d 10833	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( R + 1 ) / ( ( N ^ 2 ) / 2 ) ) = ( ( ( R + 1 ) x. 2 ) / ( N ^ 2 ) ) )
159	155, 130	mulcomd 10061	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( R + 1 ) x. 2 ) = ( 2 x. ( R + 1 ) ) )
160	159	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( R + 1 ) x. 2 ) / ( N ^ 2 ) ) = ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) )
161	158, 160	eqtr2d 2657	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) = ( ( R + 1 ) / ( ( N ^ 2 ) / 2 ) ) )
162	153, 161	breqtrrd 4681	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( R + 1 ) / ( ( N - R ) x. ( N + 1 ) ) ) <_ ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) )
163	119, 36, 29, 120, 162	lemul2ad 10964	. . . 4 |- ( ph -> ( R x. ( ( R + 1 ) / ( ( N - R ) x. ( N + 1 ) ) ) ) <_ ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) )
164	117, 163	eqbrtrrd 4677	. . 3 |- ( ph -> ( ( R x. ( ( 1 / N ) - ( 1 / ( N + 1 ) ) ) ) + ( R x. ( ( 1 / ( N - R ) ) - ( 1 / N ) ) ) ) <_ ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) )
165	28, 58, 37, 96, 164	letrd 10194	. 2 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( A x. ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) ) - ( A / N ) ) ) + ( abs ` ( ( A / N ) - ( log ` ( ( A / N ) + 1 ) ) ) ) ) <_ ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) )
166	23, 28, 37, 38, 165	letrd 10194	1 |- ( ph -> ( abs ` ( ( A x. ( log ` ( ( N + 1 ) / N ) ) ) - ( log ` ( ( A / N ) + 1 ) ) ) ) <_ ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   \ cdif 3571   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   RR+crp 11832   ^cexp 12860   abscabs 13974   logclog 24301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303

This theorem is referenced by:  lgamgulmlem5  24759