Theorem aaliou3lem7 24104

Description: Lemma for aaliou3 24106. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aaliou3lem.c	|- F = ( a e. NN |-> ( 2 ^ -u ( ! ` a ) ) )
aaliou3lem.d	|- L = sum_ b e. NN ( F ` b )
aaliou3lem.e	|- H = ( c e. NN |-> sum_ b e. ( 1 ... c ) ( F ` b ) )

Assertion

Ref	Expression
aaliou3lem7	|- ( A e. NN -> ( ( H ` A ) =/= L /\ ( abs ` ( L - ( H ` A ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   a, b, c   F, b, c   L, c   A, a, b, c

Allowed substitution hints:   F( a)   H( a, b, c)   L( a, b)

Proof of Theorem aaliou3lem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn 11032	. . 3 |- ( A e. NN -> ( A + 1 ) e. NN )
2		eqid 2622	. . . 4 |- ( c e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) |-> ( ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - ( A + 1 ) ) ) ) ) = ( c e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) |-> ( ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - ( A + 1 ) ) ) ) )
3		aaliou3lem.c	. . . 4 |- F = ( a e. NN |-> ( 2 ^ -u ( ! ` a ) ) )
4	2, 3	aaliou3lem3 24099	. . 3 |- ( ( A + 1 ) e. NN -> ( seq ( A + 1 ) ( + , F ) e. dom ~~> /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )
5		3simpc 1060	. . 3 |- ( ( seq ( A + 1 ) ( + , F ) e. dom ~~> /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) -> ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )
6	1, 4, 5	3syl 18	. 2 |- ( A e. NN -> ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )
7		nncn 11028	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. NN -> A e. CC )
8		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
9		pncan 10287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( A + 1 ) - 1 ) = A )
10	7, 8, 9	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. NN -> ( ( A + 1 ) - 1 ) = A )
11	10	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN -> ( 1 ... ( ( A + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... A ) )
12	11	sumeq1d 14431	. . . . . . . . 9 |- ( A e. NN -> sum_ b e. ( 1 ... ( ( A + 1 ) - 1 ) ) ( F ` b ) = sum_ b e. ( 1 ... A ) ( F ` b ) )
13	12	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> ( sum_ b e. ( 1 ... ( ( A + 1 ) - 1 ) ) ( F ` b ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) = ( sum_ b e. ( 1 ... A ) ( F ` b ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) )
14		nnuz 11723	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
15		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( A + 1 ) )
16		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ b e. NN ) -> ( F ` b ) = ( F ` b ) )
17		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = b -> ( ! ` a ) = ( ! ` b ) )
18	17	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = b -> -u ( ! ` a ) = -u ( ! ` b ) )
19	18	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = b -> ( 2 ^ -u ( ! ` a ) ) = ( 2 ^ -u ( ! ` b ) ) )
20		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 ^ -u ( ! ` b ) ) e. _V
21	19, 3, 20	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. NN -> ( F ` b ) = ( 2 ^ -u ( ! ` b ) ) )
22		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR+
23		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b e. NN -> b e. NN0 )
24		faccl 13070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b e. NN0 -> ( ! ` b ) e. NN )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. NN -> ( ! ` b ) e. NN )
26	25	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. NN -> ( ! ` b ) e. ZZ )
27	26	znegcld 11484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. NN -> -u ( ! ` b ) e. ZZ )
28		rpexpcl 12879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. RR+ /\ -u ( ! ` b ) e. ZZ ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` b ) ) e. RR+ )
29	22, 27, 28	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. NN -> ( 2 ^ -u ( ! ` b ) ) e. RR+ )
30	29	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. NN -> ( 2 ^ -u ( ! ` b ) ) e. CC )
31	21, 30	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. NN -> ( F ` b ) e. CC )
32	31	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ b e. NN ) -> ( F ` b ) e. CC )
33		1nn 11031	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
34		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. ( ZZ>= ` 1 ) |-> ( ( 2 ^ -u ( ! ` 1 ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - 1 ) ) ) ) = ( c e. ( ZZ>= ` 1 ) |-> ( ( 2 ^ -u ( ! ` 1 ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - 1 ) ) ) )
35	34, 3	aaliou3lem3 24099	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. NN -> ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` 1 ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` 1 ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` 1 ) ) ) ) )
36	35	simp1d 1073	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. NN -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )
37	33, 36	mp1i 13	. . . . . . . . 9 |- ( A e. NN -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )
38	14, 15, 1, 16, 32, 37	isumsplit 14572	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> sum_ b e. NN ( F ` b ) = ( sum_ b e. ( 1 ... ( ( A + 1 ) - 1 ) ) ( F ` b ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) )
39		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = A -> ( 1 ... c ) = ( 1 ... A ) )
40	39	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . 10 |- ( c = A -> sum_ b e. ( 1 ... c ) ( F ` b ) = sum_ b e. ( 1 ... A ) ( F ` b ) )
41		aaliou3lem.e	. . . . . . . . . 10 |- H = ( c e. NN |-> sum_ b e. ( 1 ... c ) ( F ` b ) )
42		sumex 14418	. . . . . . . . . 10 |- sum_ b e. ( 1 ... A ) ( F ` b ) e. _V
43	40, 41, 42	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( A e. NN -> ( H ` A ) = sum_ b e. ( 1 ... A ) ( F ` b ) )
44	43	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> ( ( H ` A ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) = ( sum_ b e. ( 1 ... A ) ( F ` b ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) )
45	13, 38, 44	3eqtr4rd 2667	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> ( ( H ` A ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) = sum_ b e. NN ( F ` b ) )
46		aaliou3lem.d	. . . . . . 7 |- L = sum_ b e. NN ( F ` b )
47	45, 46	syl6eqr 2674	. . . . . 6 |- ( A e. NN -> ( ( H ` A ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) = L )
48	3, 46, 41	aaliou3lem4 24101	. . . . . . . . 9 |- L e. RR
49	48	recni 10052	. . . . . . . 8 |- L e. CC
50	49	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> L e. CC )
51	3, 46, 41	aaliou3lem5 24102	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> ( H ` A ) e. RR )
52	51	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> ( H ` A ) e. CC )
53	4	simp2d 1074	. . . . . . . . 9 |- ( ( A + 1 ) e. NN -> sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ )
54	1, 53	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ )
55	54	rpcnd 11874	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. CC )
56	50, 52, 55	subaddd 10410	. . . . . 6 |- ( A e. NN -> ( ( L - ( H ` A ) ) = sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <-> ( ( H ` A ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) = L ) )
57	47, 56	mpbird 247	. . . . 5 |- ( A e. NN -> ( L - ( H ` A ) ) = sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) )
58	57	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( A e. NN -> sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) = ( L - ( H ` A ) ) )
59		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) = ( L - ( H ` A ) ) -> ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ <-> ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ ) )
60		breq1 4656	. . . . 5 |- ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) = ( L - ( H ` A ) ) -> ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) <-> ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )
61	59, 60	anbi12d 747	. . . 4 |- ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) = ( L - ( H ` A ) ) -> ( ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) <-> ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) )
62	58, 61	syl 17	. . 3 |- ( A e. NN -> ( ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) <-> ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) )
63	51	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( H ` A ) e. RR )
64		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ )
65		difrp 11868	. . . . . . . 8 |- ( ( ( H ` A ) e. RR /\ L e. RR ) -> ( ( H ` A ) < L <-> ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ ) )
66	63, 48, 65	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) < L <-> ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ ) )
67	64, 66	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( H ` A ) < L )
68	63, 67	ltned 10173	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( H ` A ) =/= L )
69		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A + 1 ) e. NN -> ( A + 1 ) e. NN0 )
70		faccl 13070	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A + 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( A + 1 ) ) e. NN )
71	1, 69, 70	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. NN -> ( ! ` ( A + 1 ) ) e. NN )
72	71	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. NN -> ( ! ` ( A + 1 ) ) e. ZZ )
73	72	znegcld 11484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. NN -> -u ( ! ` ( A + 1 ) ) e. ZZ )
74		rpexpcl 12879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. RR+ /\ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) e. ZZ ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) e. RR+ )
75	22, 73, 74	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. NN -> ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) e. RR+ )
76		rpmulcl 11855	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. RR+ /\ ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) e. RR+ ) -> ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) e. RR+ )
77	22, 75, 76	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN -> ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) e. RR+ )
78	77	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) e. RR+ )
79	78	rpred 11872	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) e. RR )
80	63, 79	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) - ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) e. RR )
81	48	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> L e. RR )
82	63, 78	ltsubrpd 11904	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) - ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) < ( H ` A ) )
83	80, 63, 81, 82, 67	lttrd 10198	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) - ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) < L )
84	80, 81, 83	ltled 10185	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) - ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) <_ L )
85		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) )
86	81, 63, 79	lesubadd2d 10626	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) <-> L <_ ( ( H ` A ) + ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) )
87	85, 86	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> L <_ ( ( H ` A ) + ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )
88	81, 63, 79	absdifled 14173	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( L - ( H ` A ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) <-> ( ( ( H ` A ) - ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) <_ L /\ L <_ ( ( H ` A ) + ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) ) )
89	84, 87, 88	mpbir2and 957	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( L - ( H ` A ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) )
90	68, 89	jca 554	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) =/= L /\ ( abs ` ( L - ( H ` A ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )
91	90	ex 450	. . 3 |- ( A e. NN -> ( ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) =/= L /\ ( abs ` ( L - ( H ` A ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) )
92	62, 91	sylbid 230	. 2 |- ( A e. NN -> ( ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) =/= L /\ ( abs ` ( L - ( H ` A ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) )
93	6, 92	mpd 15	1 |- ( A e. NN -> ( ( H ` A ) =/= L /\ ( abs ` ( L - ( H ` A ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   seqcseq 12801   ^cexp 12860   !cfa 13060   abscabs 13974   ~~> cli 14215   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  24105