logdivbnd - Metamath Proof Explorer

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Theorem logdivbnd 25245

Description: A bound on a sum of logs, used in pntlemk 25295. This is not as precise as logdivsum 25222 in its asymptotic behavior, but it is valid for all

and does not require a limit value. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
logdivbnd

Distinct variable group:

Proof of Theorem logdivbnd Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 11090	. . . 4
2		fzfid 12772	. . . . 5
3		elfzuz 12338	. . . . . . . . . 10
4	3	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$
5		nnuz 11723	. . . . . . . . 9
6	4, 5	syl6eleqr 2712	. . . . . . . 8 $/\$
7	6	nnrpd 11870	. . . . . . 7 $/\$
8	7	relogcld 24369	. . . . . 6 $/\$
9	8, 6	nndivred 11069	. . . . 5 $/\$
10	2, 9	fsumrecl 14465	. . . 4
11		remulcl 10021	. . . 4 $/\$
12	1, 10, 11	sylancr 695	. . 3
13		elfznn 12370	. . . . . . 7
14	13	adantl 482	. . . . . 6 $/\$
15	14	nnrecred 11066	. . . . 5 $/\$
16	2, 15	fsumrecl 14465	. . . 4
17	16	resqcld 13035	. . 3
18		nnrp 11842	. . . . . 6
19	18	relogcld 24369	. . . . 5
20		peano2re 10209	. . . . 5
21	19, 20	syl 17	. . . 4
22	21	resqcld 13035	. . 3
23	10	recnd 10068	. . . . 5
24	23	2timesd 11275	. . . 4
25		fzfid 12772	. . . . . . . . 9 $/\$
26		elfznn 12370	. . . . . . . . . . 11
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
28	27	nnrecred 11066	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
29	25, 28	fsumrecl 14465	. . . . . . . 8 $/\$
30	29, 6	nndivred 11069	. . . . . . 7 $/\$
31	2, 30	fsumrecl 14465	. . . . . 6
32		fzfid 12772	. . . . . . . . 9 $/\$
33		elfznn 12370	. . . . . . . . . . 11
34	33	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
35	34	nnrecred 11066	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
36	32, 35	fsumrecl 14465	. . . . . . . 8 $/\$
37	36, 6	nndivred 11069	. . . . . . 7 $/\$
38	2, 37	fsumrecl 14465	. . . . . 6
39	6	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
40		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . 15
41		npcan 10290	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
42	39, 40, 41	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
43	42	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
44	43	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
45		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . 13
46		harmonicbnd3 24734	. . . . . . . . . . . . 13
47	6, 45, 46	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
48	44, 47	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . 11 $/\$
49		0re 10040	. . . . . . . . . . . . 13
50		emre 24732	. . . . . . . . . . . . 13
51	49, 50	elicc2i 12239	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
52	51	simp2bi 1077	. . . . . . . . . . 11
53	48, 52	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
54	36, 8	subge0d 10617	. . . . . . . . . 10 $/\$
55	53, 54	mpbid 222	. . . . . . . . 9 $/\$
56	8, 36, 7, 55	lediv1dd 11930	. . . . . . . 8 $/\$
57	27	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
58	57	rpreccld 11882	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
59	58	rpge0d 11876	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
60		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . 14
61	60	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
62		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . 13
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
64	6	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
65	64	lem1d 10957	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
66		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
67	63, 61, 65, 66	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . 11 $/\$
68		fzss2 12381	. . . . . . . . . . 11
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
70	25, 28, 59, 69	fsumless 14528	. . . . . . . . 9 $/\$
71	6	nngt0d 11064	. . . . . . . . . 10 $/\$
72		lediv1 10888	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
73	36, 29, 64, 71, 72	syl112anc 1330	. . . . . . . . 9 $/\$
74	70, 73	mpbid 222	. . . . . . . 8 $/\$
75	9, 37, 30, 56, 74	letrd 10194	. . . . . . 7 $/\$
76	2, 9, 30, 75	fsumle 14531	. . . . . 6
77	2, 9, 37, 56	fsumle 14531	. . . . . 6
78	10, 10, 31, 38, 76, 77	le2addd 10646	. . . . 5
79		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11
80	79	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10
81	80	sumeq1d 14431	. . . . . . . . 9
82	81, 81	jca 554	. . . . . . . 8 $/\$
83		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11
84	83	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10
85	84	sumeq1d 14431	. . . . . . . . 9
86	85, 85	jca 554	. . . . . . . 8 $/\$
87		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14
88		1m1e0 11089	. . . . . . . . . . . . . 14
89	87, 88	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13
90	89	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12
91		fz10 12362	. . . . . . . . . . . 12
92	90, 91	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11
93	92	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . 10
94		sum0 14452	. . . . . . . . . 10
95	93, 94	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9
96	95, 95	jca 554	. . . . . . . 8 $/\$
97		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11
98	97	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10
99	98	sumeq1d 14431	. . . . . . . . 9
100	99, 99	jca 554	. . . . . . . 8 $/\$
101		peano2nn 11032	. . . . . . . . 9
102	101, 5	syl6eleq 2711	. . . . . . . 8
103		fzfid 12772	. . . . . . . . . 10 $/\$
104		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . 12
105	104	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
106	105	nnrecred 11066	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
107	103, 106	fsumrecl 14465	. . . . . . . . 9 $/\$
108	107	recnd 10068	. . . . . . . 8 $/\$
109	82, 86, 96, 100, 102, 108, 108	fsumparts 14538	. . . . . . 7 ..^ ..^
110		nnz 11399	. . . . . . . . . 10
111		fzval3 12536	. . . . . . . . . 10 ..^
112	110, 111	syl 17	. . . . . . . . 9 ..^
113	112	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 ..^
114		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
115	39, 40, 114	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
116	115	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
117	116	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
118	28	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
119		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14
120	4, 118, 119	fsumm1 14480	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
121	117, 120	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
122	121	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 $/\$
123	36	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
124	6	nnrecred 11066	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
125	124	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
126	123, 125	pncan2d 10394	. . . . . . . . . . 11 $/\$
127	122, 126	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$
128	127	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 $/\$
129	6	nnne0d 11065	. . . . . . . . . 10 $/\$
130	123, 39, 129	divrecd 10804	. . . . . . . . 9 $/\$
131	128, 130	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 $/\$
132	113, 131	sumeq12rdv 14438	. . . . . . 7 ..^
133		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . 15
134		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
135	133, 40, 134	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14
136	135	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13
137	136	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . 12
138	137, 137	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11
139	16	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12
140	139	sqvald 13005	. . . . . . . . . . 11
141	138, 140	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10
142		0cn 10032	. . . . . . . . . . . 12
143	142	mul01i 10226	. . . . . . . . . . 11
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . 10
145	141, 144	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9
146	139	sqcld 13006	. . . . . . . . . 10
147	146	subid1d 10381	. . . . . . . . 9
148	145, 147	eqtrd 2656	. . . . . . . 8
149	127, 117	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 $/\$
150	29	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 $/\$
151	150, 39, 129	divrec2d 10805	. . . . . . . . . 10 $/\$
152	149, 151	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 $/\$
153	113, 152	sumeq12rdv 14438	. . . . . . . 8 ..^
154	148, 153	oveq12d 6668	. . . . . . 7 ..^
155	109, 132, 154	3eqtr3rd 2665	. . . . . 6
156	31	recnd 10068	. . . . . . 7
157	38	recnd 10068	. . . . . . 7
158	146, 156, 157	subaddd 10410	. . . . . 6
159	155, 158	mpbid 222	. . . . 5
160	78, 159	breqtrd 4679	. . . 4
161	24, 160	eqbrtrd 4675	. . 3
162		flid 12609	. . . . . . . 8
163	110, 162	syl 17	. . . . . . 7
164	163	oveq2d 6666	. . . . . 6
165	164	sumeq1d 14431	. . . . 5
166		nnre 11027	. . . . . 6
167		nnge1 11046	. . . . . 6
168		harmonicubnd 24736	. . . . . 6 $/\$
169	166, 167, 168	syl2anc 693	. . . . 5
170	165, 169	eqbrtrrd 4677	. . . 4
171	14	nnrpd 11870	. . . . . . . 8 $/\$
172	171	rpreccld 11882	. . . . . . 7 $/\$
173	172	rpge0d 11876	. . . . . 6 $/\$
174	2, 15, 173	fsumge0 14527	. . . . 5
175	49	a1i 11	. . . . . 6
176		log1 24332	. . . . . . 7
177		1rp 11836	. . . . . . . . 9
178		logleb 24349	. . . . . . . . 9 $/\$
179	177, 18, 178	sylancr 695	. . . . . . . 8
180	167, 179	mpbid 222	. . . . . . 7
181	176, 180	syl5eqbrr 4689	. . . . . 6
182	19	lep1d 10955	. . . . . 6
183	175, 19, 21, 181, 182	letrd 10194	. . . . 5
184	16, 21, 174, 183	le2sqd 13044	. . . 4
185	170, 184	mpbid 222	. . 3
186	12, 17, 22, 161, 185	letrd 10194	. 2
187	1	a1i 11	. . 3
188		2pos 11112	. . . 4
189	188	a1i 11	. . 3
190		lemuldiv2 10904	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
191	10, 22, 187, 189, 190	syl112anc 1330	. 2
192	186, 191	mpbid 222	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wss 3574

c0 3915 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

crp 11832

cicc 12178

cfz 12326 ..^cfzo 12465

cfl 12591

cexp 12860

csu 14416

clog 24301

cem 24718

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-e 14799 df-sin 14800 df-cos 14801 df-pi 14803 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631 df-log 24303 df-em 24719

This theorem is referenced by: pntlemk 25295

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