Theorem rrxmet 23191

Description: Euclidean space is a metric space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxmval.1	|- X = { h e. ( RR ^m I ) | h finSupp 0 }
rrxmval.d	|- D = ( dist ` (ℝ^ ` I ) )

Assertion

Ref	Expression
rrxmet	|- ( I e. V -> D e. ( Met ` X ) )

Distinct variable groups:   h, I   h, V

Allowed substitution hints:   D( h)   X( h)

Proof of Theorem rrxmet

Dummy variables k x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxmval.1	. . . . . . . . 9 |- X = { h e. ( RR ^m I ) | h finSupp 0 }
2		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> x e. X )
3	1, 2	rrxfsupp 23185	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x supp 0 ) e. Fin )
4		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> y e. X )
5	1, 4	rrxfsupp 23185	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( y supp 0 ) e. Fin )
6		unfi 8227	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x supp 0 ) e. Fin /\ ( y supp 0 ) e. Fin ) -> ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) e. Fin )
7	3, 5, 6	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) e. Fin )
8	1, 2	rrxsuppss 23186	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x supp 0 ) C_ I )
9	1, 4	rrxsuppss 23186	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( y supp 0 ) C_ I )
10	8, 9	unssd 3789	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) C_ I )
11	10	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ) -> k e. I )
12	1, 2	rrxf 23184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> x : I --> RR )
13	12	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ k e. I ) -> ( x ` k ) e. RR )
14	1, 4	rrxf 23184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> y : I --> RR )
15	14	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ k e. I ) -> ( y ` k ) e. RR )
16	13, 15	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ k e. I ) -> ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) e. RR )
17	16	resqcld 13035	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ k e. I ) -> ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) e. RR )
18	11, 17	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ) -> ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) e. RR )
19	7, 18	fsumrecl 14465	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> sum_ k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) e. RR )
20	16	sqge0d 13036	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ k e. I ) -> 0 <_ ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) )
21	11, 20	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ) -> 0 <_ ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) )
22	7, 18, 21	fsumge0 14527	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> 0 <_ sum_ k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) )
23	19, 22	resqrtcld 14156	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( sqr ` sum_ k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
24	23	ralrimivva 2971	. . . 4 |- ( I e. V -> A. x e. X A. y e. X ( sqr ` sum_ k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
25		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. X , y e. X |-> ( sqr ` sum_ k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) ) = ( x e. X , y e. X |-> ( sqr ` sum_ k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) )
26	25	fmpt2 7237	. . . 4 |- ( A. x e. X A. y e. X ( sqr ` sum_ k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) e. RR <-> ( x e. X , y e. X |-> ( sqr ` sum_ k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) ) : ( X X. X ) --> RR )
27	24, 26	sylib 208	. . 3 |- ( I e. V -> ( x e. X , y e. X |-> ( sqr ` sum_ k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) ) : ( X X. X ) --> RR )
28		rrxmval.d	. . . . 5 |- D = ( dist ` (ℝ^ ` I ) )
29	1, 28	rrxmfval 23189	. . . 4 |- ( I e. V -> D = ( x e. X , y e. X |-> ( sqr ` sum_ k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) ) )
30	29	feq1d 6030	. . 3 |- ( I e. V -> ( D : ( X X. X ) --> RR <-> ( x e. X , y e. X |-> ( sqr ` sum_ k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) ) : ( X X. X ) --> RR ) )
31	27, 30	mpbird 247	. 2 |- ( I e. V -> D : ( X X. X ) --> RR )
32		sqrt00 14004	. . . . . . 7 |- ( ( sum_ k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ sum_ k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) -> ( ( sqr ` sum_ k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) = 0 <-> sum_ k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) = 0 ) )
33	19, 22, 32	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( sqr ` sum_ k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) = 0 <-> sum_ k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) = 0 ) )
34	7, 18, 21	fsum00 14530	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( sum_ k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) = 0 <-> A. k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) = 0 ) )
35	16	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ k e. I ) -> ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) e. CC )
36		sqeq0 12927	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) e. CC -> ( ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) = 0 <-> ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) = 0 ) )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ k e. I ) -> ( ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) = 0 <-> ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) = 0 ) )
38	13	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ k e. I ) -> ( x ` k ) e. CC )
39	15	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ k e. I ) -> ( y ` k ) e. CC )
40	38, 39	subeq0ad 10402	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ k e. I ) -> ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) = 0 <-> ( x ` k ) = ( y ` k ) ) )
41	37, 40	bitrd 268	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ k e. I ) -> ( ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) = 0 <-> ( x ` k ) = ( y ` k ) ) )
42	11, 41	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ) -> ( ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) = 0 <-> ( x ` k ) = ( y ` k ) ) )
43	42	ralbidva 2985	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( A. k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) = 0 <-> A. k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( x ` k ) = ( y ` k ) ) )
44	33, 34, 43	3bitrd 294	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( sqr ` sum_ k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) = 0 <-> A. k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( x ` k ) = ( y ` k ) ) )
45	1, 28	rrxmval 23188	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x D y ) = ( sqr ` sum_ k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) )
46	45	3expb 1266	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x D y ) = ( sqr ` sum_ k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) )
47	46	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> ( sqr ` sum_ k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) = 0 ) )
48	12	ffnd 6046	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> x Fn I )
49	14	ffnd 6046	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> y Fn I )
50		eqfnfv 6311	. . . . . . 7 |- ( ( x Fn I /\ y Fn I ) -> ( x = y <-> A. k e. I ( x ` k ) = ( y ` k ) ) )
51	48, 49, 50	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x = y <-> A. k e. I ( x ` k ) = ( y ` k ) ) )
52		ssun1 3776	. . . . . . . . . . 11 |- ( x supp 0 ) C_ ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) )
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x supp 0 ) C_ ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) )
54		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> I e. V )
55		0red 10041	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> 0 e. RR )
56	12, 53, 54, 55	suppssr 7326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ k e. ( I \ ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ) ) -> ( x ` k ) = 0 )
57		ssun2 3777	. . . . . . . . . . 11 |- ( y supp 0 ) C_ ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) )
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( y supp 0 ) C_ ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) )
59	14, 58, 54, 55	suppssr 7326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ k e. ( I \ ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ) ) -> ( y ` k ) = 0 )
60	56, 59	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ k e. ( I \ ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ) ) -> ( x ` k ) = ( y ` k ) )
61	60	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> A. k e. ( I \ ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ) ( x ` k ) = ( y ` k ) )
62	10, 61	raldifeq 4059	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( A. k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( x ` k ) = ( y ` k ) <-> A. k e. I ( x ` k ) = ( y ` k ) ) )
63	51, 62	bitr4d 271	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x = y <-> A. k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( x ` k ) = ( y ` k ) ) )
64	44, 47, 63	3bitr4d 300	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) )
65	7	3adant2 1080	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ z e. X /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) e. Fin )
66		simp2 1062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ z e. X /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> z e. X )
67	1, 66	rrxfsupp 23185	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ z e. X /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( z supp 0 ) e. Fin )
68		unfi 8227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) e. Fin /\ ( z supp 0 ) e. Fin ) -> ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) e. Fin )
69	65, 67, 68	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ z e. X /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) e. Fin )
70	69	3expa 1265	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ z e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) e. Fin )
71	70	an32s 846	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) e. Fin )
72	10	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) C_ I )
73		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> z e. X )
74	1, 73	rrxsuppss 23186	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> ( z supp 0 ) C_ I )
75	72, 74	unssd 3789	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) C_ I )
76	75	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) /\ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ) -> k e. I )
77	13	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) /\ k e. I ) -> ( x ` k ) e. RR )
78	1, 73	rrxf 23184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> z : I --> RR )
79	78	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) /\ k e. I ) -> ( z ` k ) e. RR )
80	77, 79	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) /\ k e. I ) -> ( ( x ` k ) - ( z ` k ) ) e. RR )
81	76, 80	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) /\ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ) -> ( ( x ` k ) - ( z ` k ) ) e. RR )
82	15	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) /\ k e. I ) -> ( y ` k ) e. RR )
83	79, 82	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) /\ k e. I ) -> ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) e. RR )
84	76, 83	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) /\ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ) -> ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) e. RR )
85	71, 81, 84	trirn 23183	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> ( sqr ` sum_ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ( ( ( ( x ` k ) - ( z ` k ) ) + ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ) ^ 2 ) ) <_ ( ( sqr ` sum_ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( z ` k ) ) ^ 2 ) ) + ( sqr ` sum_ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ( ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) ) )
86	38	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) /\ k e. I ) -> ( x ` k ) e. CC )
87	79	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) /\ k e. I ) -> ( z ` k ) e. CC )
88	39	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) /\ k e. I ) -> ( y ` k ) e. CC )
89	86, 87, 88	npncand 10416	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) /\ k e. I ) -> ( ( ( x ` k ) - ( z ` k ) ) + ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ) = ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) )
90	89	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) /\ k e. I ) -> ( ( ( ( x ` k ) - ( z ` k ) ) + ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) )
91	76, 90	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) /\ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ) -> ( ( ( ( x ` k ) - ( z ` k ) ) + ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) )
92	91	sumeq2dv 14433	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> sum_ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ( ( ( ( x ` k ) - ( z ` k ) ) + ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ) ^ 2 ) = sum_ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) )
93	92	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> ( sqr ` sum_ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ( ( ( ( x ` k ) - ( z ` k ) ) + ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ) ^ 2 ) ) = ( sqr ` sum_ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) )
94		sqsubswap 12924	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x ` k ) e. CC /\ ( z ` k ) e. CC ) -> ( ( ( x ` k ) - ( z ` k ) ) ^ 2 ) = ( ( ( z ` k ) - ( x ` k ) ) ^ 2 ) )
95	86, 87, 94	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) /\ k e. I ) -> ( ( ( x ` k ) - ( z ` k ) ) ^ 2 ) = ( ( ( z ` k ) - ( x ` k ) ) ^ 2 ) )
96	76, 95	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) /\ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ) -> ( ( ( x ` k ) - ( z ` k ) ) ^ 2 ) = ( ( ( z ` k ) - ( x ` k ) ) ^ 2 ) )
97	96	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> sum_ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( z ` k ) ) ^ 2 ) = sum_ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ( ( ( z ` k ) - ( x ` k ) ) ^ 2 ) )
98	97	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> ( sqr ` sum_ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( z ` k ) ) ^ 2 ) ) = ( sqr ` sum_ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ( ( ( z ` k ) - ( x ` k ) ) ^ 2 ) ) )
99	98	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> ( ( sqr ` sum_ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( z ` k ) ) ^ 2 ) ) + ( sqr ` sum_ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ( ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( sqr ` sum_ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ( ( ( z ` k ) - ( x ` k ) ) ^ 2 ) ) + ( sqr ` sum_ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ( ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) ) )
100	85, 93, 99	3brtr3d 4684	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> ( sqr ` sum_ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) <_ ( ( sqr ` sum_ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ( ( ( z ` k ) - ( x ` k ) ) ^ 2 ) ) + ( sqr ` sum_ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ( ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) ) )
101	46	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> ( x D y ) = ( sqr ` sum_ k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) )
102		simp1 1061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ z e. X /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> I e. V )
103	2	3adant2 1080	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ z e. X /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> x e. X )
104	4	3adant2 1080	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ z e. X /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> y e. X )
105	1, 103	rrxsuppss 23186	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I e. V /\ z e. X /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x supp 0 ) C_ I )
106	1, 104	rrxsuppss 23186	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I e. V /\ z e. X /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( y supp 0 ) C_ I )
107	105, 106	unssd 3789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ z e. X /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) C_ I )
108	1, 66	rrxsuppss 23186	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ z e. X /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( z supp 0 ) C_ I )
109	107, 108	unssd 3789	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ z e. X /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) C_ I )
110		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) C_ ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) )
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ z e. X /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) C_ ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) )
112	1, 28, 102, 103, 104, 109, 69, 111	rrxmetlem 23190	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ z e. X /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> sum_ k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) = sum_ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) )
113	112	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ z e. X /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( sqr ` sum_ k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) = ( sqr ` sum_ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) )
114	113	3expa 1265	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ z e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( sqr ` sum_ k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) = ( sqr ` sum_ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) )
115	114	an32s 846	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> ( sqr ` sum_ k e. ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) = ( sqr ` sum_ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) )
116	101, 115	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> ( x D y ) = ( sqr ` sum_ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ( ( ( x ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) )
117	1, 28	rrxmval 23188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ z e. X /\ x e. X ) -> ( z D x ) = ( sqr ` sum_ k e. ( ( z supp 0 ) u. ( x supp 0 ) ) ( ( ( z ` k ) - ( x ` k ) ) ^ 2 ) ) )
118	117	3adant3r 1323	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ z e. X /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( z D x ) = ( sqr ` sum_ k e. ( ( z supp 0 ) u. ( x supp 0 ) ) ( ( ( z ` k ) - ( x ` k ) ) ^ 2 ) ) )
119	1, 28	rrxmval 23188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ z e. X /\ y e. X ) -> ( z D y ) = ( sqr ` sum_ k e. ( ( z supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) )
120	119	3adant3l 1322	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ z e. X /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( z D y ) = ( sqr ` sum_ k e. ( ( z supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) )
121	118, 120	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ z e. X /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( z D x ) + ( z D y ) ) = ( ( sqr ` sum_ k e. ( ( z supp 0 ) u. ( x supp 0 ) ) ( ( ( z ` k ) - ( x ` k ) ) ^ 2 ) ) + ( sqr ` sum_ k e. ( ( z supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) ) )
122		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z supp 0 ) C_ ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) )
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I e. V /\ z e. X /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( z supp 0 ) C_ ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) )
124	52, 110	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x supp 0 ) C_ ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) )
125	124	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I e. V /\ z e. X /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x supp 0 ) C_ ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) )
126	123, 125	unssd 3789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ z e. X /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( z supp 0 ) u. ( x supp 0 ) ) C_ ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) )
127	1, 28, 102, 66, 103, 109, 69, 126	rrxmetlem 23190	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ z e. X /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> sum_ k e. ( ( z supp 0 ) u. ( x supp 0 ) ) ( ( ( z ` k ) - ( x ` k ) ) ^ 2 ) = sum_ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ( ( ( z ` k ) - ( x ` k ) ) ^ 2 ) )
128	127	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ z e. X /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( sqr ` sum_ k e. ( ( z supp 0 ) u. ( x supp 0 ) ) ( ( ( z ` k ) - ( x ` k ) ) ^ 2 ) ) = ( sqr ` sum_ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ( ( ( z ` k ) - ( x ` k ) ) ^ 2 ) ) )
129	57, 110	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y supp 0 ) C_ ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) )
130	129	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I e. V /\ z e. X /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( y supp 0 ) C_ ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) )
131	123, 130	unssd 3789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ z e. X /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( z supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) C_ ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) )
132	1, 28, 102, 66, 104, 109, 69, 131	rrxmetlem 23190	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ z e. X /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> sum_ k e. ( ( z supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) = sum_ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ( ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) )
133	132	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ z e. X /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( sqr ` sum_ k e. ( ( z supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) = ( sqr ` sum_ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ( ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) )
134	128, 133	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ z e. X /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( sqr ` sum_ k e. ( ( z supp 0 ) u. ( x supp 0 ) ) ( ( ( z ` k ) - ( x ` k ) ) ^ 2 ) ) + ( sqr ` sum_ k e. ( ( z supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) ( ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( sqr ` sum_ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ( ( ( z ` k ) - ( x ` k ) ) ^ 2 ) ) + ( sqr ` sum_ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ( ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) ) )
135	121, 134	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ z e. X /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( z D x ) + ( z D y ) ) = ( ( sqr ` sum_ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ( ( ( z ` k ) - ( x ` k ) ) ^ 2 ) ) + ( sqr ` sum_ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ( ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) ) )
136	135	3expa 1265	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ z e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( z D x ) + ( z D y ) ) = ( ( sqr ` sum_ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ( ( ( z ` k ) - ( x ` k ) ) ^ 2 ) ) + ( sqr ` sum_ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ( ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) ) )
137	136	an32s 846	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> ( ( z D x ) + ( z D y ) ) = ( ( sqr ` sum_ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ( ( ( z ` k ) - ( x ` k ) ) ^ 2 ) ) + ( sqr ` sum_ k e. ( ( ( x supp 0 ) u. ( y supp 0 ) ) u. ( z supp 0 ) ) ( ( ( z ` k ) - ( y ` k ) ) ^ 2 ) ) ) )
138	100, 116, 137	3brtr4d 4685	. . . . 5 |- ( ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
139	138	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
140	64, 139	jca 554	. . 3 |- ( ( I e. V /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) )
141	140	ralrimivva 2971	. 2 |- ( I e. V -> A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) )
142		ovex 6678	. . . 4 |- ( RR ^m I ) e. _V
143	1, 142	rabex2 4815	. . 3 |- X e. _V
144		ismet 22128	. . 3 |- ( X e. _V -> ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) ) )
145	143, 144	ax-mp 5	. 2 |- ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) )
146	31, 141, 145	sylanbrc 698	1 |- ( I e. V -> D e. ( Met ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   <_ cle 10075   - cmin 10266   2c2 11070   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973   sum_csu 14416   distcds 15950   Metcme 19732  ℝ^crrx 23171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-field 18750  df-subrg 18778  df-staf 18845  df-srng 18846  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-met 19740  df-cnfld 19747  df-refld 19951  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-nm 22387  df-tng 22389  df-tch 22969  df-rrx 23173

This theorem is referenced by:  rrxdstprj1  23192  rrxmetfi  40507