Theorem dvcmulf 23708

Description: The product rule when one argument is a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcmul.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvcmul.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvcmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
dvcmulf.df	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dvcmulf	⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = ((𝑆 × {𝐴}) ∘𝑓 · (𝑆 D 𝐹)))

Proof of Theorem dvcmulf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcmul.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		dvcmul.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		fconstg 6092	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑋 × {𝐴}):𝑋⟶{𝐴})
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {𝐴}):𝑋⟶{𝐴})
5	2	snssd 4340	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ ℂ)
6	4, 5	fssd 6057	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {𝐴}):𝑋⟶ℂ)
7		dvcmul.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
8		c0ex 10034	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
9	8	fconst 6091	. . . . 5 ⊢ (𝑋 × {0}):𝑋⟶{0}
10		recnprss 23668	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
11	1, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
12		fconstg 6092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶{𝐴})
13	2, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶{𝐴})
14	13, 5	fssd 6057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶ℂ)
15		ssid 3624	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝑆
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑆)
17		dvcmulf.df	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
18		dvbsss 23666	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆)
20	17, 19	eqsstr3d 3640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
21		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
22		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
23	21, 22	dvres 23675	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶ℂ) ∧ (𝑆 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ↾ 𝑋)) = ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) ↾ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋)))
24	11, 14, 16, 20, 23	syl22anc 1327	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ↾ 𝑋)) = ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) ↾ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋)))
25	20	resmptd 5452	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ↾ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
26		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 × {𝐴}) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)
27	26	reseq1i 5392	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 × {𝐴}) ↾ 𝑋) = ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ↾ 𝑋)
28		fconstmpt 5163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 × {𝐴}) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
29	25, 27, 28	3eqtr4g 2681	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴}) ↾ 𝑋) = (𝑋 × {𝐴}))
30	29	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ↾ 𝑋)) = (𝑆 D (𝑋 × {𝐴})))
31	20	resmptd 5452	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0) ↾ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
32		fconstg 6092	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶{𝐴})
33	2, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶{𝐴})
34	33, 5	fssd 6057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ)
35		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
37		dvconst 23680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
38	2, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
39	38	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = dom (ℂ × {0}))
40	8	fconst 6091	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℂ × {0}):ℂ⟶{0}
41	40	fdmi 6052	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom (ℂ × {0}) = ℂ
42	39, 41	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = ℂ)
43	11, 42	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))
44		dvres3 23677	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))) → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
45	1, 34, 36, 43, 44	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
46		xpssres 5434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
47	11, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
48	47	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})))
49	38	reseq1d 5395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆))
50		xpssres 5434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
51	11, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
52	49, 51	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
53	45, 48, 52	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))
54		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0)
55	53, 54	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0))
56	21	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
57		resttopon 20965	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
58	56, 11, 57	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
59		topontop 20718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top)
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top)
61		toponuni 20719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
62	58, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
63	20, 62	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
64		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
65	64	ntrss2 20861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
66	60, 63, 65	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
67	11, 7, 20, 22, 21	dvbssntr 23664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋))
68	17, 67	eqsstr3d 3640	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋))
69	66, 68	eqssd 3620	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) = 𝑋)
70	55, 69	reseq12d 5397	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) ↾ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋)) = ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0) ↾ 𝑋))
71		fconstmpt 5163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)
72	71	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
73	31, 70, 72	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) ↾ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋)) = (𝑋 × {0}))
74	24, 30, 73	3eqtr3d 2664	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) = (𝑋 × {0}))
75	74	feq1d 6030	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})):𝑋⟶{0} ↔ (𝑋 × {0}):𝑋⟶{0}))
76	9, 75	mpbiri 248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑋 × {𝐴})):𝑋⟶{0})
77		fdm 6051	. . . 4 ⊢ ((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})):𝑋⟶{0} → dom (𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) = 𝑋)
78	76, 77	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) = 𝑋)
79	1, 6, 7, 78, 17	dvmulf 23706	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑋 × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + ((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · (𝑋 × {𝐴}))))
80		sseqin2 3817	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑆 ↔ (𝑆 ∩ 𝑋) = 𝑋)
81	20, 80	sylib 208	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑋) = 𝑋)
82	81	mpteq1d 4738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝑋) ↦ (𝐴 · (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · (𝐹‘𝑥))))
83		ffn 6045	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶{𝐴} → (𝑆 × {𝐴}) Fn 𝑆)
84	13, 83	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝐴}) Fn 𝑆)
85		ffn 6045	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝑋)
86	7, 85	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
87	1, 20	ssexd 4805	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
88		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∩ 𝑋) = (𝑆 ∩ 𝑋)
89		fvconst2g 6467	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑆 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
90	2, 89	sylan 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑆 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
91		eqidd 2623	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
92	84, 86, 1, 87, 88, 90, 91	offval 6904	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) = (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝑋) ↦ (𝐴 · (𝐹‘𝑥))))
93		ffn 6045	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 × {𝐴}):𝑋⟶{𝐴} → (𝑋 × {𝐴}) Fn 𝑋)
94	4, 93	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {𝐴}) Fn 𝑋)
95		inidm 3822	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
96		fvconst2g 6467	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑋 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
97	2, 96	sylan 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑋 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
98	94, 86, 87, 87, 95, 97, 91	offval 6904	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · (𝐹‘𝑥))))
99	82, 92, 98	3eqtr4d 2666	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) = ((𝑋 × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹))
100	99	oveq2d 6666	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (𝑆 D ((𝑋 × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)))
101	81	mpteq1d 4738	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝑋) ↦ (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))))
102		dvfg 23670	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
103	1, 102	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
104	17	feq2d 6031	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
105	103, 104	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
106		ffn 6045	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ → (𝑆 D 𝐹) Fn 𝑋)
107	105, 106	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) Fn 𝑋)
108		eqidd 2623	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
109	84, 107, 1, 87, 88, 90, 108	offval 6904	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴}) ∘𝑓 · (𝑆 D 𝐹)) = (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝑋) ↦ (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))))
110		0cnd 10033	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℂ)
111		ovexd 6680	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴) ∈ V)
112	74	oveq1d 6665	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘𝑓 · 𝐹) = ((𝑋 × {0}) ∘𝑓 · 𝐹))
113		0cnd 10033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
114		mul02 10214	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 · 𝑥) = 0)
115	114	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = 0)
116	87, 7, 113, 113, 115	caofid2 6928	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × {0}) ∘𝑓 · 𝐹) = (𝑋 × {0}))
117	112, 116	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘𝑓 · 𝐹) = (𝑋 × {0}))
118	117, 71	syl6eq 2672	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘𝑓 · 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
119		fvexd 6203	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) ∈ V)
120	2	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
121	105	feqmptd 6249	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
122	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {𝐴}) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
123	87, 119, 120, 121, 122	offval2 6914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · (𝑋 × {𝐴})) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴)))
124	87, 110, 111, 118, 123	offval2 6914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + ((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · (𝑋 × {𝐴}))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (0 + (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴))))
125	105	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
126	125, 120	mulcld 10060	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴) ∈ ℂ)
127	126	addid2d 10237	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 + (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴)) = (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴))
128	125, 120	mulcomd 10061	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
129	127, 128	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 + (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴)) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
130	129	mpteq2dva 4744	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (0 + (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))))
131	124, 130	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + ((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · (𝑋 × {𝐴}))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))))
132	101, 109, 131	3eqtr4d 2666	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴}) ∘𝑓 · (𝑆 D 𝐹)) = (((𝑆 D (𝑋 × {𝐴})) ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + ((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · (𝑋 × {𝐴}))))
133	79, 100, 132	3eqtr4d 2666	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = ((𝑆 × {𝐴}) ∘𝑓 · (𝑆 D 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  {csn 4177  {cpr 4179  ∪ cuni 4436   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112  dom cdm 5114   ↾ cres 5116   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936   + caddc 9939   · cmul 9941   ↾_t crest 16081  TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746  Topctop 20698  TopOnctopon 20715  intcnt 20821   D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  dvsinax  40127