Proof of Theorem fllog2
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | nn0z 11400 |
. . . 4
⊢ (𝐼 ∈ ℕ0
→ 𝐼 ∈
ℤ) |
2 | 1 | adantr 481 |
. . 3
⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ∈ ℤ) |
3 | | 2rp 11837 |
. . . . . 6
⊢ 2 ∈
ℝ+ |
4 | 3 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 2 ∈
ℝ+) |
5 | | elfzoelz 12470 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ) |
6 | 5 | zred 11482 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ) |
7 | 6 | adantl 482 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℝ) |
8 | | elfzo2 12473 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) ↔ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(𝐼 + 1)))) |
9 | | eluz2 11693 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ↔ ((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁)) |
10 | | 2re 11090 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 2 ∈
ℝ |
11 | 10 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐼 ∈ ℕ0
→ 2 ∈ ℝ) |
12 | | 2pos 11112 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 0 <
2 |
13 | 12 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐼 ∈ ℕ0
→ 0 < 2) |
14 | | expgt0 12893 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((2
∈ ℝ ∧ 𝐼
∈ ℤ ∧ 0 < 2) → 0 < (2↑𝐼)) |
15 | 11, 1, 13, 14 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐼 ∈ ℕ0
→ 0 < (2↑𝐼)) |
16 | 15 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((2↑𝐼) ∈
ℤ ∧ 𝑁 ∈
ℤ) ∧ 𝐼 ∈
ℕ0) → 0 < (2↑𝐼)) |
17 | | 0red 10041 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((2↑𝐼) ∈
ℤ ∧ 𝑁 ∈
ℤ) ∧ 𝐼 ∈
ℕ0) → 0 ∈ ℝ) |
18 | | zre 11381 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((2↑𝐼) ∈
ℤ → (2↑𝐼)
∈ ℝ) |
19 | 18 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((2↑𝐼) ∈
ℤ ∧ 𝑁 ∈
ℤ) → (2↑𝐼)
∈ ℝ) |
20 | 19 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((2↑𝐼) ∈
ℤ ∧ 𝑁 ∈
ℤ) ∧ 𝐼 ∈
ℕ0) → (2↑𝐼) ∈ ℝ) |
21 | | zre 11381 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈
ℝ) |
22 | 21 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((2↑𝐼) ∈
ℤ ∧ 𝑁 ∈
ℤ) ∧ 𝐼 ∈
ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ) |
23 | | ltletr 10129 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 <
(2↑𝐼) ∧
(2↑𝐼) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁)) |
24 | 17, 20, 22, 23 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((2↑𝐼) ∈
ℤ ∧ 𝑁 ∈
ℤ) ∧ 𝐼 ∈
ℕ0) → ((0 < (2↑𝐼) ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁)) |
25 | 16, 24 | mpand 711 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((2↑𝐼) ∈
ℤ ∧ 𝑁 ∈
ℤ) ∧ 𝐼 ∈
ℕ0) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁)) |
26 | 25 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((2↑𝐼) ∈
ℤ ∧ 𝑁 ∈
ℤ) → (𝐼 ∈
ℕ0 → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁))) |
27 | 26 | com23 86 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((2↑𝐼) ∈
ℤ ∧ 𝑁 ∈
ℤ) → ((2↑𝐼)
≤ 𝑁 → (𝐼 ∈ ℕ0
→ 0 < 𝑁))) |
28 | 27 | 3impia 1261 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((2↑𝐼) ∈
ℤ ∧ 𝑁 ∈
ℤ ∧ (2↑𝐼)
≤ 𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0
→ 0 < 𝑁)) |
29 | 9, 28 | sylbi 207 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 <
𝑁)) |
30 | 29 | 3ad2ant1 1082 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 <
𝑁)) |
31 | 8, 30 | sylbi 207 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 <
𝑁)) |
32 | 31 | impcom 446 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 0 < 𝑁) |
33 | 7, 32 | elrpd 11869 |
. . . . 5
⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝑁 ∈
ℝ+) |
34 | | 1ne2 11240 |
. . . . . . 7
⊢ 1 ≠
2 |
35 | 34 | necomi 2848 |
. . . . . 6
⊢ 2 ≠
1 |
36 | 35 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 2 ≠ 1) |
37 | | relogbcl 24511 |
. . . . 5
⊢ ((2
∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1)
→ (2 logb 𝑁) ∈ ℝ) |
38 | 4, 33, 36, 37 | syl3anc 1326 |
. . . 4
⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2 logb 𝑁) ∈
ℝ) |
39 | 38 | flcld 12599 |
. . 3
⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘(2
logb 𝑁)) ∈
ℤ) |
40 | | eluzelz 11697 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) → 𝑁 ∈ ℤ) |
41 | | zltlem1 11430 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧
(2↑(𝐼 + 1)) ∈
ℤ) → (𝑁 <
(2↑(𝐼 + 1)) ↔
𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) −
1))) |
42 | 40, 41 | sylan 488 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2↑(𝐼 + 1)) ↔ 𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) |
43 | | 2z 11409 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 2 ∈
ℤ |
44 | | uzid 11702 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (2 ∈
ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2)) |
45 | 43, 44 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 2 ∈
(ℤ≥‘2) |
46 | 45 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)
→ 2 ∈ (ℤ≥‘2)) |
47 | | eluzelre 11698 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) → 𝑁 ∈ ℝ) |
48 | 47 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈
ℝ) |
49 | 11, 1, 13 | 3jca 1242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝐼 ∈ ℕ0
→ (2 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 0 <
2)) |
50 | 49 | 3ad2ant3 1084 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((2↑𝐼) ∈
ℤ ∧ 𝑁 ∈
ℤ ∧ 𝐼 ∈
ℕ0) → (2 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 0 <
2)) |
51 | 50, 14 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((2↑𝐼) ∈
ℤ ∧ 𝑁 ∈
ℤ ∧ 𝐼 ∈
ℕ0) → 0 < (2↑𝐼)) |
52 | | 0red 10041 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((2↑𝐼) ∈
ℤ ∧ 𝑁 ∈
ℤ ∧ 𝐼 ∈
ℕ0) → 0 ∈ ℝ) |
53 | 18 | 3ad2ant1 1082 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((2↑𝐼) ∈
ℤ ∧ 𝑁 ∈
ℤ ∧ 𝐼 ∈
ℕ0) → (2↑𝐼) ∈ ℝ) |
54 | 21 | 3ad2ant2 1083 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((2↑𝐼) ∈
ℤ ∧ 𝑁 ∈
ℤ ∧ 𝐼 ∈
ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ) |
55 | 52, 53, 54, 23 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((2↑𝐼) ∈
ℤ ∧ 𝑁 ∈
ℤ ∧ 𝐼 ∈
ℕ0) → ((0 < (2↑𝐼) ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁)) |
56 | 51, 55 | mpand 711 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((2↑𝐼) ∈
ℤ ∧ 𝑁 ∈
ℤ ∧ 𝐼 ∈
ℕ0) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁)) |
57 | 56 | 3exp 1264 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((2↑𝐼) ∈
ℤ → (𝑁 ∈
ℤ → (𝐼 ∈
ℕ0 → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁)))) |
58 | 57 | com34 91 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((2↑𝐼) ∈
ℤ → (𝑁 ∈
ℤ → ((2↑𝐼)
≤ 𝑁 → (𝐼 ∈ ℕ0
→ 0 < 𝑁)))) |
59 | 58 | 3imp 1256 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((2↑𝐼) ∈
ℤ ∧ 𝑁 ∈
ℤ ∧ (2↑𝐼)
≤ 𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0
→ 0 < 𝑁)) |
60 | 9, 59 | sylbi 207 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 <
𝑁)) |
61 | 60 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 <
𝑁) |
62 | 48, 61 | elrpd 11869 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈
ℝ+) |
63 | 62 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)
→ 𝑁 ∈
ℝ+) |
64 | 10 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)
→ 2 ∈ ℝ) |
65 | | peano2nn0 11333 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐼 ∈ ℕ0
→ (𝐼 + 1) ∈
ℕ0) |
66 | 65 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)
→ (𝐼 + 1) ∈
ℕ0) |
67 | 64, 66 | reexpcld 13025 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)
→ (2↑(𝐼 + 1))
∈ ℝ) |
68 | | peano2rem 10348 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((2↑(𝐼 + 1))
∈ ℝ → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈
ℝ) |
69 | 67, 68 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)
→ ((2↑(𝐼 + 1))
− 1) ∈ ℝ) |
70 | | nn0p1nn 11332 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐼 ∈ ℕ0
→ (𝐼 + 1) ∈
ℕ) |
71 | | 1lt2 11194 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 1 <
2 |
72 | 71 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐼 ∈ ℕ0
→ 1 < 2) |
73 | 11, 70, 72 | 3jca 1242 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐼 ∈ ℕ0
→ (2 ∈ ℝ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 <
2)) |
74 | 73 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)
→ (2 ∈ ℝ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 <
2)) |
75 | | expgt1 12898 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((2
∈ ℝ ∧ (𝐼 +
1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → 1 < (2↑(𝐼 + 1))) |
76 | 74, 75 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)
→ 1 < (2↑(𝐼 +
1))) |
77 | | 1red 10055 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)
→ 1 ∈ ℝ) |
78 | | zre 11381 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((2↑(𝐼 + 1))
∈ ℤ → (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) |
79 | 78 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)
→ (2↑(𝐼 + 1))
∈ ℝ) |
80 | 77, 79 | posdifd 10614 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)
→ (1 < (2↑(𝐼 +
1)) ↔ 0 < ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) |
81 | 76, 80 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)
→ 0 < ((2↑(𝐼 +
1)) − 1)) |
82 | 69, 81 | elrpd 11869 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)
→ ((2↑(𝐼 + 1))
− 1) ∈ ℝ+) |
83 | | logbleb 24521 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((2
∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧
((2↑(𝐼 + 1)) −
1) ∈ ℝ+) → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ↔ (2 logb
𝑁) ≤ (2 logb
((2↑(𝐼 + 1)) −
1)))) |
84 | 46, 63, 82, 83 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)
→ (𝑁 ≤
((2↑(𝐼 + 1)) −
1) ↔ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) −
1)))) |
85 | 3 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)
→ 2 ∈ ℝ+) |
86 | 47 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → 𝑁 ∈
ℝ) |
87 | 86 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)
→ 𝑁 ∈
ℝ) |
88 | 61 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)
→ 0 < 𝑁) |
89 | 87, 88 | elrpd 11869 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)
→ 𝑁 ∈
ℝ+) |
90 | 35 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)
→ 2 ≠ 1) |
91 | 85, 89, 90, 37 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)
→ (2 logb 𝑁) ∈ ℝ) |
92 | 91 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)
∧ (2 logb 𝑁)
≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (2
logb 𝑁) ∈
ℝ) |
93 | 45 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐼 ∈ ℕ0
→ 2 ∈ (ℤ≥‘2)) |
94 | 11, 65 | reexpcld 13025 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝐼 ∈ ℕ0
→ (2↑(𝐼 + 1))
∈ ℝ) |
95 | 94, 68 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝐼 ∈ ℕ0
→ ((2↑(𝐼 + 1))
− 1) ∈ ℝ) |
96 | 11, 70, 72, 75 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝐼 ∈ ℕ0
→ 1 < (2↑(𝐼 +
1))) |
97 | | 1red 10055 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝐼 ∈ ℕ0
→ 1 ∈ ℝ) |
98 | 97, 94 | posdifd 10614 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝐼 ∈ ℕ0
→ (1 < (2↑(𝐼 +
1)) ↔ 0 < ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) |
99 | 96, 98 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝐼 ∈ ℕ0
→ 0 < ((2↑(𝐼 +
1)) − 1)) |
100 | 95, 99 | elrpd 11869 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐼 ∈ ℕ0
→ ((2↑(𝐼 + 1))
− 1) ∈ ℝ+) |
101 | 93, 100 | jca 554 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐼 ∈ ℕ0
→ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈
ℝ+)) |
102 | 101 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)
→ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈
ℝ+)) |
103 | | relogbzcl 24512 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((2
∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈
ℝ+) → (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) ∈
ℝ) |
104 | 102, 103 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)
→ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) ∈
ℝ) |
105 | 104 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)
∧ (2 logb 𝑁)
≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (2
logb ((2↑(𝐼
+ 1)) − 1)) ∈ ℝ) |
106 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)
∧ (2 logb 𝑁)
≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (2
logb 𝑁) ≤ (2
logb ((2↑(𝐼
+ 1)) − 1))) |
107 | | flwordi 12613 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((2
logb 𝑁) ∈
ℝ ∧ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) ∈ ℝ ∧ (2
logb 𝑁) ≤ (2
logb ((2↑(𝐼
+ 1)) − 1))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (⌊‘(2 logb
((2↑(𝐼 + 1)) −
1)))) |
108 | 92, 105, 106, 107 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)
∧ (2 logb 𝑁)
≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (⌊‘(2
logb 𝑁)) ≤
(⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))) |
109 | 108 | ex 450 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)
→ ((2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) →
(⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (⌊‘(2 logb
((2↑(𝐼 + 1)) −
1))))) |
110 | 70 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)
→ (𝐼 + 1) ∈
ℕ) |
111 | | logbpw2m1 42361 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐼 + 1) ∈ ℕ →
(⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) = ((𝐼 + 1) − 1)) |
112 | 110, 111 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)
→ (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) = ((𝐼 + 1) − 1)) |
113 | | nn0cn 11302 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐼 ∈ ℕ0
→ 𝐼 ∈
ℂ) |
114 | | pncan1 10454 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 + 1) − 1) = 𝐼) |
115 | 113, 114 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐼 ∈ ℕ0
→ ((𝐼 + 1) − 1)
= 𝐼) |
116 | 115 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)
→ ((𝐼 + 1) − 1)
= 𝐼) |
117 | 112, 116 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)
→ (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) = 𝐼) |
118 | 117 | breq2d 4665 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)
→ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (⌊‘(2 logb
((2↑(𝐼 + 1)) −
1))) ↔ (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)) |
119 | 109, 118 | sylibd 229 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)
→ ((2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) →
(⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)) |
120 | 84, 119 | sylbid 230 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)
→ (𝑁 ≤
((2↑(𝐼 + 1)) −
1) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)) |
121 | 120 | ex 450 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ ℕ0
→ (𝑁 ≤
((2↑(𝐼 + 1)) −
1) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))) |
122 | 121 | com23 86 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) → (𝐼 ∈ ℕ0
→ (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))) |
123 | 42, 122 | sylbid 230 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2↑(𝐼 + 1)) → (𝐼 ∈ ℕ0 →
(⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))) |
124 | 123 | 3impia 1261 |
. . . . 5
⊢ ((𝑁 ∈
(ℤ≥‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 →
(⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)) |
125 | 8, 124 | sylbi 207 |
. . . 4
⊢ (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 →
(⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)) |
126 | 125 | impcom 446 |
. . 3
⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘(2
logb 𝑁)) ≤
𝐼) |
127 | | nn0re 11301 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐼 ∈ ℕ0
→ 𝐼 ∈
ℝ) |
128 | | nn0ge0 11318 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐼 ∈ ℕ0
→ 0 ≤ 𝐼) |
129 | | flge0nn0 12621 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 0 ≤
𝐼) →
(⌊‘𝐼) ∈
ℕ0) |
130 | 127, 128,
129 | syl2anc 693 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐼 ∈ ℕ0
→ (⌊‘𝐼)
∈ ℕ0) |
131 | 130 | nn0red 11352 |
. . . . . 6
⊢ (𝐼 ∈ ℕ0
→ (⌊‘𝐼)
∈ ℝ) |
132 | 131 | adantr 481 |
. . . . 5
⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘𝐼) ∈
ℝ) |
133 | 127 | adantr 481 |
. . . . 5
⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ∈ ℝ) |
134 | | flle 12600 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐼 ∈ ℝ →
(⌊‘𝐼) ≤
𝐼) |
135 | 127, 134 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (𝐼 ∈ ℕ0
→ (⌊‘𝐼)
≤ 𝐼) |
136 | 135 | adantr 481 |
. . . . 5
⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘𝐼) ≤ 𝐼) |
137 | 3 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐼 ∈ ℕ0
→ 2 ∈ ℝ+) |
138 | 137, 1 | rpexpcld 13032 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐼 ∈ ℕ0
→ (2↑𝐼) ∈
ℝ+) |
139 | 35 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐼 ∈ ℕ0
→ 2 ≠ 1) |
140 | | relogbcl 24511 |
. . . . . . . 8
⊢ ((2
∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1)
→ (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ) |
141 | 137, 138,
139, 140 | syl3anc 1326 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐼 ∈ ℕ0
→ (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ) |
142 | 141 | adantr 481 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2 logb
(2↑𝐼)) ∈
ℝ) |
143 | 127 | leidd 10594 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐼 ∈ ℕ0
→ 𝐼 ≤ 𝐼) |
144 | | nnlogbexp 24519 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((2
∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (2 logb
(2↑𝐼)) = 𝐼) |
145 | 93, 1, 144 | syl2anc 693 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐼 ∈ ℕ0
→ (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼) |
146 | 143, 145 | breqtrrd 4681 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐼 ∈ ℕ0
→ 𝐼 ≤ (2
logb (2↑𝐼))) |
147 | 146 | adantr 481 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ≤ (2 logb (2↑𝐼))) |
148 | | elfzole1 12478 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → (2↑𝐼) ≤ 𝑁) |
149 | 148 | adantl 482 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2↑𝐼) ≤ 𝑁) |
150 | 45 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 2 ∈
(ℤ≥‘2)) |
151 | 138 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2↑𝐼) ∈
ℝ+) |
152 | | logbleb 24521 |
. . . . . . . 8
⊢ ((2
∈ (ℤ≥‘2) ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)
→ ((2↑𝐼) ≤
𝑁 ↔ (2 logb
(2↑𝐼)) ≤ (2
logb 𝑁))) |
153 | 150, 151,
33, 152 | syl3anc 1326 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 ↔ (2 logb (2↑𝐼)) ≤ (2 logb 𝑁))) |
154 | 149, 153 | mpbid 222 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2 logb
(2↑𝐼)) ≤ (2
logb 𝑁)) |
155 | 133, 142,
38, 147, 154 | letrd 10194 |
. . . . 5
⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ≤ (2 logb 𝑁)) |
156 | 132, 133,
38, 136, 155 | letrd 10194 |
. . . 4
⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘𝐼) ≤ (2 logb 𝑁)) |
157 | | flflp1 12608 |
. . . . 5
⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ (2
logb 𝑁) ∈
ℝ) → ((⌊‘𝐼) ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 𝐼 < ((⌊‘(2 logb
𝑁)) + 1))) |
158 | 133, 38, 157 | syl2anc 693 |
. . . 4
⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → ((⌊‘𝐼) ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 𝐼 < ((⌊‘(2 logb
𝑁)) + 1))) |
159 | 156, 158 | mpbid 222 |
. . 3
⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 < ((⌊‘(2 logb
𝑁)) + 1)) |
160 | | zgeltp1eq 41318 |
. . . 4
⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧
(⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ) →
(((⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < ((⌊‘(2 logb
𝑁)) + 1)) → 𝐼 = (⌊‘(2
logb 𝑁)))) |
161 | 160 | imp 445 |
. . 3
⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧
(⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ) ∧ ((⌊‘(2
logb 𝑁)) ≤
𝐼 ∧ 𝐼 < ((⌊‘(2 logb
𝑁)) + 1))) → 𝐼 = (⌊‘(2
logb 𝑁))) |
162 | 2, 39, 126, 159, 161 | syl22anc 1327 |
. 2
⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 = (⌊‘(2 logb 𝑁))) |
163 | 162 | eqcomd 2628 |
1
⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘(2
logb 𝑁)) = 𝐼) |