Theorem mdsl1i 29180

Description: If the modular pair property holds in a sublattice, it holds in the whole lattice. Lemma 1.4 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 27-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdsl.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mdsl.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
mdsl1i	⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ↔ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem mdsl1i

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq2 3627	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
2		sseq1 3626	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
3	1, 2	anbi12d 747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
4		sseq1 3626	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵))
5		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝑥 ∨ℋ 𝐴) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴))
6	5	ineq1d 3813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))
7		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
8	6, 7	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ↔ (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
9	4, 8	imbi12d 334	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) ↔ ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
10	3, 9	imbi12d 334	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ↔ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))))
11	10	rspccv 3306	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))))
12		impexp 462	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵) → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) ↔ (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
13		impexp 462	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ↔ ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))))
14	12, 13	bitr2i 265	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))) ↔ ((((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵) → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
15		inss2 3834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
16		mdsl.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
17		mdsl.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
18	16, 17	chincli 28319	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
19		chlub 28368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵) ↔ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵))
20	18, 17, 19	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → ((𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵) ↔ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵))
21	20	biimpd 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → ((𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵) → (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵))
22	15, 21	mpan2i 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑦 ⊆ 𝐵 → (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵))
23	17, 16	chub2i 28329	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
24		sstr 3611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
25	23, 24	mpan2 707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵 → (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
26	22, 25	syl6 35	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑦 ⊆ 𝐵 → (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
27		chub2 28367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
28	18, 27	mpan 706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
29	26, 28	jctild 566	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑦 ⊆ 𝐵 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
30		chjcl 28216	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ) → (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ )
31	18, 30	mpan2 707	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ )
32	29, 31	jctild 566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑦 ⊆ 𝐵 → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
33	32, 22	jcad 555	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑦 ⊆ 𝐵 → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵)))
34		chjass 28392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) = (𝑦 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
35	18, 16, 34	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) = (𝑦 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
36	18, 16	chjcomi 28327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = (𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))
37	16, 17	chabs1i 28377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) = 𝐴
38	36, 37	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) = 𝐴
39	38	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)) = (𝑦 ∨ℋ 𝐴)
40	35, 39	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) = (𝑦 ∨ℋ 𝐴))
41	40	ineq1d 3813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))
42		chjass 28392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
43	18, 18, 42	mp3an23 1416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
44	18	chjidmi 28380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐴 ∩ 𝐵)
45	44	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∨ℋ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))
46	43, 45	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
47	41, 46	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → ((((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ↔ ((𝑦 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
48	47	biimpd 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → ((((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝑦 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
49	33, 48	imim12d 81	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (((((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵) → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑦 ⊆ 𝐵 → ((𝑦 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
50	14, 49	syl5bi 232	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ Cℋ → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))) → (𝑦 ⊆ 𝐵 → ((𝑦 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
51	11, 50	syl5com 31	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))) → (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑦 ⊆ 𝐵 → ((𝑦 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
52	51	ralrimiv 2965	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))) → ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐵 → ((𝑦 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
53		mdbr 29153	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐵 → ((𝑦 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
54	16, 17, 53	mp2an 708	. . 3 ⊢ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑦 ⊆ 𝐵 → ((𝑦 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
55	52, 54	sylibr 224	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))) → 𝐴 𝑀ℋ 𝐵)
56		mdbr 29153	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
57	16, 17, 56	mp2an 708	. . 3 ⊢ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))))
58		ax-1 6	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
59	58	ralimi 2952	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
60	57, 59	sylbi 207	. 2 ⊢ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
61	55, 60	impbii 199	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))) ↔ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   C_ℋ cch 27786   ∨_ℋ chj 27790   𝑀_ℋ cmd 27823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942  ax-hcompl 28059

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-lm 21033  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cfil 23053  df-cau 23054  df-cmet 23055  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-dip 27556  df-ssp 27577  df-ph 27668  df-cbn 27719  df-hnorm 27825  df-hba 27826  df-hvsub 27828  df-hlim 27829  df-hcau 27830  df-sh 28064  df-ch 28078  df-oc 28109  df-ch0 28110  df-shs 28167  df-chj 28169  df-md 29139

This theorem is referenced by:  mdsl2i  29181  cvmdi  29183