Theorem pjclem1 29054

Description: Lemma for projection commutation theorem. (Contributed by NM, 16-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjclem1.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjclem1.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjclem1	⊢ (𝐺 𝐶ℋ 𝐻 → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))

Proof of Theorem pjclem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjclem1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
2		pjclem1.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
3	1, 2	cmbri 28449	. . . . 5 ⊢ (𝐺 𝐶ℋ 𝐻 ↔ 𝐺 = ((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
4		fveq2 6191	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = ((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) → (projℎ‘𝐺) = (projℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
5	3, 4	sylbi 207	. . . 4 ⊢ (𝐺 𝐶ℋ 𝐻 → (projℎ‘𝐺) = (projℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
6		inss2 3834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ 𝐻
7	1	choccli 28166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊥‘𝐺) ∈ Cℋ
8	2, 7	chub2i 28329	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 ⊆ ((⊥‘𝐺) ∨ℋ 𝐻)
9	1, 2	chdmm3i 28338	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) = ((⊥‘𝐺) ∨ℋ 𝐻)
10	8, 9	sseqtr4i 3638	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))
11	6, 10	sstri 3612	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))
12	1, 2	chincli 28319	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ∈ Cℋ
13	2	choccli 28166	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘𝐻) ∈ Cℋ
14	1, 13	chincli 28319	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)) ∈ Cℋ
15	12, 14	pjscji 29029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) → (projℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
16	11, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (projℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
17	16	eqeq2i 2634	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝐺) = (projℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) ↔ (projℎ‘𝐺) = ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
18		coeq2 5280	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘𝐺) = ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))))
19	12	pjfi 28563	. . . . . . . . . 10 ⊢ (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)): ℋ⟶ ℋ
20	14	pjfi 28563	. . . . . . . . . 10 ⊢ (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))): ℋ⟶ ℋ
21	2, 19, 20	pjsdii 29014	. . . . . . . . 9 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
22	12, 2	pjss1coi 29022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
23	6, 22	mpbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))
24	2, 14	pjorthcoi 29028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻 ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) → ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = 0hop )
25	10, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = 0hop
26	23, 25	oveq12i 6662	. . . . . . . . 9 ⊢ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) = ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +op 0hop )
27	19	hoaddid1i 28645	. . . . . . . . 9 ⊢ ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +op 0hop ) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))
28	21, 26, 27	3eqtri 2648	. . . . . . . 8 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))
29	28	eqeq2i 2634	. . . . . . 7 ⊢ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) ↔ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
30		coeq2 5280	. . . . . . . 8 ⊢ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) → ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))) = ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))))
31		inss1 3833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ 𝐺
32	12, 1	pjss1coi 29022	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ 𝐺 ↔ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
33	31, 32	mpbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))
34	30, 33	syl6eq 2672	. . . . . . 7 ⊢ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) → ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
35	29, 34	sylbi 207	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) → ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
36	18, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝐺) = ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
37	17, 36	sylbi 207	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘𝐺) = (projℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
38	5, 37	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 𝐶ℋ 𝐻 → ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
39	1, 2	cmcm3i 28453	. . . . 5 ⊢ (𝐺 𝐶ℋ 𝐻 ↔ (⊥‘𝐺) 𝐶ℋ 𝐻)
40	7, 2	cmbri 28449	. . . . 5 ⊢ ((⊥‘𝐺) 𝐶ℋ 𝐻 ↔ (⊥‘𝐺) = (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))
41	39, 40	bitri 264	. . . 4 ⊢ (𝐺 𝐶ℋ 𝐻 ↔ (⊥‘𝐺) = (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))
42		fveq2 6191	. . . . 5 ⊢ ((⊥‘𝐺) = (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) → (projℎ‘(⊥‘𝐺)) = (projℎ‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))))
43		inss2 3834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ 𝐻
44	2, 1	chub2i 28329	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 ⊆ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)
45	1, 2	chdmm4i 28339	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) = (𝐺 ∨ℋ 𝐻)
46	44, 45	sseqtr4i 3638	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))
47	43, 46	sstri 3612	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))
48	7, 2	chincli 28319	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∈ Cℋ
49	7, 13	chincli 28319	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)) ∈ Cℋ
50	48, 49	pjscji 29029	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) → (projℎ‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))))
51	47, 50	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (projℎ‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))
52	51	eqeq2i 2634	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘𝐺)) = (projℎ‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) ↔ (projℎ‘(⊥‘𝐺)) = ((projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))))
53		coeq2 5280	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘𝐺)) = ((projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺))) = ((projℎ‘𝐻) ∘ ((projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))))
54	48	pjfi 28563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)): ℋ⟶ ℋ
55	49	pjfi 28563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))): ℋ⟶ ℋ
56	2, 54, 55	pjsdii 29014	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ ((projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))))
57	48, 2	pjss1coi 29022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) = (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)))
58	43, 57	mpbi 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) = (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))
59	2, 49	pjorthcoi 29028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐻 ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) → ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) = 0hop )
60	46, 59	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) = 0hop
61	58, 60	oveq12i 6662	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) = ((projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op 0hop )
62	54	hoaddid1i 28645	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op 0hop ) = (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))
63	56, 61, 62	3eqtri 2648	. . . . . . . . 9 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ ((projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) = (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))
64	63	eqeq2i 2634	. . . . . . . 8 ⊢ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺))) = ((projℎ‘𝐻) ∘ ((projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) ↔ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺))) = (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)))
65		coeq2 5280	. . . . . . . . 9 ⊢ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺))) = (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) → ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺)))) = ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))))
66	1, 13	chub1i 28328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 ⊆ (𝐺 ∨ℋ (⊥‘𝐻))
67	1, 2	chdmm2i 28337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) = (𝐺 ∨ℋ (⊥‘𝐻))
68	66, 67	sseqtr4i 3638	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))
69	1, 48	pjorthcoi 29028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) = 0hop )
70	68, 69	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) = 0hop
71	65, 70	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 ⊢ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺))) = (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) → ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺)))) = 0hop )
72	64, 71	sylbi 207	. . . . . . 7 ⊢ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺))) = ((projℎ‘𝐻) ∘ ((projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) → ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺)))) = 0hop )
73	53, 72	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘𝐺)) = ((projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺)))) = 0hop )
74	52, 73	sylbi 207	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘𝐺)) = (projℎ‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺)))) = 0hop )
75	42, 74	syl 17	. . . 4 ⊢ ((⊥‘𝐺) = (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ℋ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) → ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺)))) = 0hop )
76	41, 75	sylbi 207	. . 3 ⊢ (𝐺 𝐶ℋ 𝐻 → ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺)))) = 0hop )
77	38, 76	oveq12d 6668	. 2 ⊢ (𝐺 𝐶ℋ 𝐻 → (((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))) +op ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺))))) = ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +op 0hop ))
78		df-iop 28608	. . . . . . 7 ⊢ Iop = (projℎ‘ ℋ)
79	78	coeq2i 5282	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ Iop ) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘ ℋ))
80	2	pjfi 28563	. . . . . . 7 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
81	80	hoid1i 28648	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ Iop ) = (projℎ‘𝐻)
82	79, 81	eqtr3i 2646	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘ ℋ)) = (projℎ‘𝐻)
83	1	pjtoi 29038	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘𝐺) +op (projℎ‘(⊥‘𝐺))) = (projℎ‘ ℋ)
84	83	coeq2i 5282	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ ((projℎ‘𝐺) +op (projℎ‘(⊥‘𝐺)))) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘ ℋ))
85	1	pjfi 28563	. . . . . . 7 ⊢ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ
86	7	pjfi 28563	. . . . . . 7 ⊢ (projℎ‘(⊥‘𝐺)): ℋ⟶ ℋ
87	2, 85, 86	pjsdii 29014	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ ((projℎ‘𝐺) +op (projℎ‘(⊥‘𝐺)))) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺))))
88	84, 87	eqtr3i 2646	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘ ℋ)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺))))
89	82, 88	eqtr3i 2646	. . . 4 ⊢ (projℎ‘𝐻) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺))))
90	89	coeq2i 5282	. . 3 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐺) ∘ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺)))))
91	80, 85	hocofi 28625	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)): ℋ⟶ ℋ
92	80, 86	hocofi 28625	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺))): ℋ⟶ ℋ
93	1, 91, 92	pjsdii 29014	. . 3 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺))))) = (((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))) +op ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺)))))
94	90, 93	eqtr2i 2645	. 2 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))) +op ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐺))))) = ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))
95	77, 94, 27	3eqtr3g 2679	1 ⊢ (𝐺 𝐶ℋ 𝐻 → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653   ∘ ccom 5118  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ℋchil 27776   C_ℋ cch 27786  ⊥cort 27787   ∨_ℋ chj 27790   𝐶_ℋ ccm 27793  proj_ℎcpjh 27794   +_op chos 27795   0_hop ch0o 27800   I_op chio 27801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942  ax-hcompl 28059

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-lm 21033  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cfil 23053  df-cau 23054  df-cmet 23055  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-dip 27556  df-ssp 27577  df-ph 27668  df-cbn 27719  df-hnorm 27825  df-hba 27826  df-hvsub 27828  df-hlim 27829  df-hcau 27830  df-sh 28064  df-ch 28078  df-oc 28109  df-ch0 28110  df-shs 28167  df-chj 28169  df-pjh 28254  df-cm 28442  df-hosum 28589  df-h0op 28607  df-iop 28608

This theorem is referenced by:  pjclem2  29055