Theorem pntlemn 25289

Description: Lemma for pnt 25303. The "naive" base bound, which we will slightly improve. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntlem1.a	|- ( ph -> A e. RR+ )
pntlem1.b	|- ( ph -> B e. RR+ )
pntlem1.l	|- ( ph -> L e. ( 0 (,) 1 ) )
pntlem1.d	|- D = ( A + 1 )
pntlem1.f	|- F = ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) )
pntlem1.u	|- ( ph -> U e. RR+ )
pntlem1.u2	|- ( ph -> U <_ A )
pntlem1.e	|- E = ( U / D )
pntlem1.k	|- K = ( exp ` ( B / E ) )
pntlem1.y	|- ( ph -> ( Y e. RR+ /\ 1 <_ Y ) )
pntlem1.x	|- ( ph -> ( X e. RR+ /\ Y < X ) )
pntlem1.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
pntlem1.w	|- W = ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) + ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) )
pntlem1.z	|- ( ph -> Z e. ( W [,) +oo ) )
pntlem1.m	|- M = ( ( |_ ` ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) ) + 1 )
pntlem1.n	|- N = ( |_ ` ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 2 ) )
pntlem1.U	|- ( ph -> A. z e. ( Y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ U )

Assertion

Ref	Expression
pntlemn	|- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> 0 <_ ( ( ( U / J ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / J ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` J ) ) )

Distinct variable groups:   z, C   z, J   z, L   z, K   z, M   z, N   z, R   z, U   z, W   z, X   z, Y   z, a, E   z, Z

Allowed substitution hints:   ph( z, a)   A( z, a)   B( z, a)   C( a)   D( z, a)   R( a)   U( a)   F( z, a)   J( a)   K( a)   L( a)   M( a)   N( a)   W( a)   X( a)   Y( a)   Z( a)

Proof of Theorem pntlemn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntlem1.u	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. RR+ )
2	1	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> U e. RR+ )
3	2	rpred 11872	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> U e. RR )
4		simprl 794	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> J e. NN )
5	3, 4	nndivred 11069	. . 3 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> ( U / J ) e. RR )
6		pntlem1.r	. . . . . . . . . . 11 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
7		pntlem1.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR+ )
8		pntlem1.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. RR+ )
9		pntlem1.l	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> L e. ( 0 (,) 1 ) )
10		pntlem1.d	. . . . . . . . . . 11 |- D = ( A + 1 )
11		pntlem1.f	. . . . . . . . . . 11 |- F = ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) )
12		pntlem1.u2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U <_ A )
13		pntlem1.e	. . . . . . . . . . 11 |- E = ( U / D )
14		pntlem1.k	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( exp ` ( B / E ) )
15		pntlem1.y	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Y e. RR+ /\ 1 <_ Y ) )
16		pntlem1.x	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X e. RR+ /\ Y < X ) )
17		pntlem1.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. RR+ )
18		pntlem1.w	. . . . . . . . . . 11 |- W = ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) + ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) )
19		pntlem1.z	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Z e. ( W [,) +oo ) )
20	6, 7, 8, 9, 10, 11, 1, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19	pntlemb 25286	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Z e. RR+ /\ ( 1 < Z /\ _e <_ ( sqr ` Z ) /\ ( sqr ` Z ) <_ ( Z / Y ) ) /\ ( ( 4 / ( L x. E ) ) <_ ( sqr ` Z ) /\ ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) <_ ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) /\ ( ( U x. 3 ) + C ) <_ ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) )
21	20	simp1d 1073	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Z e. RR+ )
22	21	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> Z e. RR+ )
23	4	nnrpd 11870	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> J e. RR+ )
24	22, 23	rpdivcld 11889	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> ( Z / J ) e. RR+ )
25	6	pntrf 25252	. . . . . . . 8 |- R : RR+ --> RR
26	25	ffvelrni 6358	. . . . . . 7 |- ( ( Z / J ) e. RR+ -> ( R ` ( Z / J ) ) e. RR )
27	24, 26	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> ( R ` ( Z / J ) ) e. RR )
28	27, 22	rerpdivcld 11903	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> ( ( R ` ( Z / J ) ) / Z ) e. RR )
29	28	recnd 10068	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> ( ( R ` ( Z / J ) ) / Z ) e. CC )
30	29	abscld 14175	. . 3 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( Z / J ) ) / Z ) ) e. RR )
31	5, 30	resubcld 10458	. 2 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> ( ( U / J ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / J ) ) / Z ) ) ) e. RR )
32	23	relogcld 24369	. 2 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> ( log ` J ) e. RR )
33	27	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> ( R ` ( Z / J ) ) e. CC )
34	22	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> ( Z e. CC /\ Z =/= 0 ) )
35	23	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> ( J e. CC /\ J =/= 0 ) )
36		divdiv2 10737	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R ` ( Z / J ) ) e. CC /\ ( Z e. CC /\ Z =/= 0 ) /\ ( J e. CC /\ J =/= 0 ) ) -> ( ( R ` ( Z / J ) ) / ( Z / J ) ) = ( ( ( R ` ( Z / J ) ) x. J ) / Z ) )
37	33, 34, 35, 36	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> ( ( R ` ( Z / J ) ) / ( Z / J ) ) = ( ( ( R ` ( Z / J ) ) x. J ) / Z ) )
38	4	nncnd 11036	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> J e. CC )
39		div23 10704	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R ` ( Z / J ) ) e. CC /\ J e. CC /\ ( Z e. CC /\ Z =/= 0 ) ) -> ( ( ( R ` ( Z / J ) ) x. J ) / Z ) = ( ( ( R ` ( Z / J ) ) / Z ) x. J ) )
40	33, 38, 34, 39	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> ( ( ( R ` ( Z / J ) ) x. J ) / Z ) = ( ( ( R ` ( Z / J ) ) / Z ) x. J ) )
41	37, 40	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> ( ( R ` ( Z / J ) ) / ( Z / J ) ) = ( ( ( R ` ( Z / J ) ) / Z ) x. J ) )
42	41	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( Z / J ) ) / ( Z / J ) ) ) = ( abs ` ( ( ( R ` ( Z / J ) ) / Z ) x. J ) ) )
43	29, 38	absmuld 14193	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( R ` ( Z / J ) ) / Z ) x. J ) ) = ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / J ) ) / Z ) ) x. ( abs ` J ) ) )
44	23	rprege0d 11879	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> ( J e. RR /\ 0 <_ J ) )
45		absid 14036	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. RR /\ 0 <_ J ) -> ( abs ` J ) = J )
46	44, 45	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> ( abs ` J ) = J )
47	46	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / J ) ) / Z ) ) x. ( abs ` J ) ) = ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / J ) ) / Z ) ) x. J ) )
48	42, 43, 47	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( Z / J ) ) / ( Z / J ) ) ) = ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / J ) ) / Z ) ) x. J ) )
49	24	rpred 11872	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> ( Z / J ) e. RR )
50		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> J <_ ( Z / Y ) )
51	23	rpred 11872	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> J e. RR )
52	22	rpred 11872	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> Z e. RR )
53	15	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y e. RR+ )
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> Y e. RR+ )
55	51, 52, 54	lemuldiv2d 11922	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> ( ( Y x. J ) <_ Z <-> J <_ ( Z / Y ) ) )
56	50, 55	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> ( Y x. J ) <_ Z )
57	54	rpred 11872	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> Y e. RR )
58	57, 52, 23	lemuldivd 11921	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> ( ( Y x. J ) <_ Z <-> Y <_ ( Z / J ) ) )
59	56, 58	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> Y <_ ( Z / J ) )
60		elicopnf 12269	. . . . . . . 8 |- ( Y e. RR -> ( ( Z / J ) e. ( Y [,) +oo ) <-> ( ( Z / J ) e. RR /\ Y <_ ( Z / J ) ) ) )
61	57, 60	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> ( ( Z / J ) e. ( Y [,) +oo ) <-> ( ( Z / J ) e. RR /\ Y <_ ( Z / J ) ) ) )
62	49, 59, 61	mpbir2and 957	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> ( Z / J ) e. ( Y [,) +oo ) )
63		pntlem1.U	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. z e. ( Y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ U )
64	63	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> A. z e. ( Y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ U )
65		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( Z / J ) -> ( R ` z ) = ( R ` ( Z / J ) ) )
66		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( Z / J ) -> z = ( Z / J ) )
67	65, 66	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( Z / J ) -> ( ( R ` z ) / z ) = ( ( R ` ( Z / J ) ) / ( Z / J ) ) )
68	67	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( z = ( Z / J ) -> ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) = ( abs ` ( ( R ` ( Z / J ) ) / ( Z / J ) ) ) )
69	68	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( z = ( Z / J ) -> ( ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ U <-> ( abs ` ( ( R ` ( Z / J ) ) / ( Z / J ) ) ) <_ U ) )
70	69	rspcv 3305	. . . . . 6 |- ( ( Z / J ) e. ( Y [,) +oo ) -> ( A. z e. ( Y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ U -> ( abs ` ( ( R ` ( Z / J ) ) / ( Z / J ) ) ) <_ U ) )
71	62, 64, 70	sylc 65	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( Z / J ) ) / ( Z / J ) ) ) <_ U )
72	48, 71	eqbrtrrd 4677	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / J ) ) / Z ) ) x. J ) <_ U )
73	30, 3, 23	lemuldivd 11921	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / J ) ) / Z ) ) x. J ) <_ U <-> ( abs ` ( ( R ` ( Z / J ) ) / Z ) ) <_ ( U / J ) ) )
74	72, 73	mpbid 222	. . 3 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( Z / J ) ) / Z ) ) <_ ( U / J ) )
75	5, 30	subge0d 10617	. . 3 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> ( 0 <_ ( ( U / J ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / J ) ) / Z ) ) ) <-> ( abs ` ( ( R ` ( Z / J ) ) / Z ) ) <_ ( U / J ) ) )
76	74, 75	mpbird 247	. 2 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> 0 <_ ( ( U / J ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / J ) ) / Z ) ) ) )
77		log1 24332	. . 3 |- ( log ` 1 ) = 0
78		nnge1 11046	. . . . 5 |- ( J e. NN -> 1 <_ J )
79	78	ad2antrl 764	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> 1 <_ J )
80		1rp 11836	. . . . 5 |- 1 e. RR+
81		logleb 24349	. . . . 5 |- ( ( 1 e. RR+ /\ J e. RR+ ) -> ( 1 <_ J <-> ( log ` 1 ) <_ ( log ` J ) ) )
82	80, 23, 81	sylancr 695	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> ( 1 <_ J <-> ( log ` 1 ) <_ ( log ` J ) ) )
83	79, 82	mpbid 222	. . 3 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> ( log ` 1 ) <_ ( log ` J ) )
84	77, 83	syl5eqbrr 4689	. 2 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> 0 <_ ( log ` J ) )
85	31, 32, 76, 84	mulge0d 10604	1 |- ( ( ph /\ ( J e. NN /\ J <_ ( Z / Y ) ) ) -> 0 <_ ( ( ( U / J ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / J ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072  ;cdc 11493   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   |_cfl 12591   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973   abscabs 13974   expce 14792   _eceu 14793   logclog 24301  ψcchp 24819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-vma 24824  df-chp 24825

This theorem is referenced by:  pntlemj  25292  pntlemf  25294