Theorem sincos6thpi 24267

Description: The sine and cosine of pi / 6. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.) Replace OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 24-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sincos6thpi	|- ( ( sin ` ( pi / 6 ) ) = ( 1 / 2 ) /\ ( cos ` ( pi / 6 ) ) = ( ( sqr ` 3 ) / 2 ) )

Proof of Theorem sincos6thpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 11091	. . 3 |- 2 e. CC
2		pire 24210	. . . . . 6 |- pi e. RR
3		6re 11101	. . . . . 6 |- 6 e. RR
4		6pos 11119	. . . . . . 7 |- 0 < 6
5	3, 4	gt0ne0ii 10564	. . . . . 6 |- 6 =/= 0
6	2, 3, 5	redivcli 10792	. . . . 5 |- ( pi / 6 ) e. RR
7	6	recni 10052	. . . 4 |- ( pi / 6 ) e. CC
8		sincl 14856	. . . 4 |- ( ( pi / 6 ) e. CC -> ( sin ` ( pi / 6 ) ) e. CC )
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 |- ( sin ` ( pi / 6 ) ) e. CC
10		2ne0 11113	. . 3 |- 2 =/= 0
11		recoscl 14871	. . . . . . . . . 10 |- ( ( pi / 6 ) e. RR -> ( cos ` ( pi / 6 ) ) e. RR )
12	6, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( cos ` ( pi / 6 ) ) e. RR
13	12	recni 10052	. . . . . . . 8 |- ( cos ` ( pi / 6 ) ) e. CC
14	1, 9, 13	mulassi 10049	. . . . . . 7 |- ( ( 2 x. ( sin ` ( pi / 6 ) ) ) x. ( cos ` ( pi / 6 ) ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 6 ) ) x. ( cos ` ( pi / 6 ) ) ) )
15		sin2t 14907	. . . . . . . 8 |- ( ( pi / 6 ) e. CC -> ( sin ` ( 2 x. ( pi / 6 ) ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 6 ) ) x. ( cos ` ( pi / 6 ) ) ) ) )
16	7, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( sin ` ( 2 x. ( pi / 6 ) ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( pi / 6 ) ) x. ( cos ` ( pi / 6 ) ) ) )
17	14, 16	eqtr4i 2647	. . . . . 6 |- ( ( 2 x. ( sin ` ( pi / 6 ) ) ) x. ( cos ` ( pi / 6 ) ) ) = ( sin ` ( 2 x. ( pi / 6 ) ) )
18		3cn 11095	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. CC
19		3ne0 11115	. . . . . . . . . 10 |- 3 =/= 0
20	1, 18, 19	divcli 10767	. . . . . . . . 9 |- ( 2 / 3 ) e. CC
21	18, 19	reccli 10755	. . . . . . . . 9 |- ( 1 / 3 ) e. CC
22		df-3 11080	. . . . . . . . . . 11 |- 3 = ( 2 + 1 )
23	22	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 |- ( 3 / 3 ) = ( ( 2 + 1 ) / 3 )
24	18, 19	dividi 10758	. . . . . . . . . 10 |- ( 3 / 3 ) = 1
25		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
26	1, 25, 18, 19	divdiri 10782	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 + 1 ) / 3 ) = ( ( 2 / 3 ) + ( 1 / 3 ) )
27	23, 24, 26	3eqtr3ri 2653	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 / 3 ) + ( 1 / 3 ) ) = 1
28		sincosq1eq 24264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 / 3 ) e. CC /\ ( 1 / 3 ) e. CC /\ ( ( 2 / 3 ) + ( 1 / 3 ) ) = 1 ) -> ( sin ` ( ( 2 / 3 ) x. ( pi / 2 ) ) ) = ( cos ` ( ( 1 / 3 ) x. ( pi / 2 ) ) ) )
29	20, 21, 27, 28	mp3an 1424	. . . . . . . 8 |- ( sin ` ( ( 2 / 3 ) x. ( pi / 2 ) ) ) = ( cos ` ( ( 1 / 3 ) x. ( pi / 2 ) ) )
30		picn 24211	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. CC
31	1, 18, 30, 1, 19, 10	divmuldivi 10785	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 / 3 ) x. ( pi / 2 ) ) = ( ( 2 x. pi ) / ( 3 x. 2 ) )
32		3t2e6 11179	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 x. 2 ) = 6
33	32	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. pi ) / ( 3 x. 2 ) ) = ( ( 2 x. pi ) / 6 )
34		6cn 11102	. . . . . . . . . . 11 |- 6 e. CC
35	1, 30, 34, 5	divassi 10781	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. pi ) / 6 ) = ( 2 x. ( pi / 6 ) )
36	31, 33, 35	3eqtri 2648	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 / 3 ) x. ( pi / 2 ) ) = ( 2 x. ( pi / 6 ) )
37	36	fveq2i 6194	. . . . . . . 8 |- ( sin ` ( ( 2 / 3 ) x. ( pi / 2 ) ) ) = ( sin ` ( 2 x. ( pi / 6 ) ) )
38	29, 37	eqtr3i 2646	. . . . . . 7 |- ( cos ` ( ( 1 / 3 ) x. ( pi / 2 ) ) ) = ( sin ` ( 2 x. ( pi / 6 ) ) )
39	25, 18, 30, 1, 19, 10	divmuldivi 10785	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 / 3 ) x. ( pi / 2 ) ) = ( ( 1 x. pi ) / ( 3 x. 2 ) )
40	30	mulid2i 10043	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 x. pi ) = pi
41	40, 32	oveq12i 6662	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 x. pi ) / ( 3 x. 2 ) ) = ( pi / 6 )
42	39, 41	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 / 3 ) x. ( pi / 2 ) ) = ( pi / 6 )
43	42	fveq2i 6194	. . . . . . 7 |- ( cos ` ( ( 1 / 3 ) x. ( pi / 2 ) ) ) = ( cos ` ( pi / 6 ) )
44	38, 43	eqtr3i 2646	. . . . . 6 |- ( sin ` ( 2 x. ( pi / 6 ) ) ) = ( cos ` ( pi / 6 ) )
45	17, 44	eqtri 2644	. . . . 5 |- ( ( 2 x. ( sin ` ( pi / 6 ) ) ) x. ( cos ` ( pi / 6 ) ) ) = ( cos ` ( pi / 6 ) )
46	13	mulid2i 10043	. . . . 5 |- ( 1 x. ( cos ` ( pi / 6 ) ) ) = ( cos ` ( pi / 6 ) )
47	45, 46	eqtr4i 2647	. . . 4 |- ( ( 2 x. ( sin ` ( pi / 6 ) ) ) x. ( cos ` ( pi / 6 ) ) ) = ( 1 x. ( cos ` ( pi / 6 ) ) )
48	1, 9	mulcli 10045	. . . . 5 |- ( 2 x. ( sin ` ( pi / 6 ) ) ) e. CC
49		pipos 24212	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < pi
50	2, 3, 49, 4	divgt0ii 10941	. . . . . . . . . 10 |- 0 < ( pi / 6 )
51		2lt6 11207	. . . . . . . . . . 11 |- 2 < 6
52		2re 11090	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
53		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 2
54	52, 53	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
55	3, 4	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 6 e. RR /\ 0 < 6 )
56	2, 49	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( pi e. RR /\ 0 < pi )
57		ltdiv2 10909	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) /\ ( 6 e. RR /\ 0 < 6 ) /\ ( pi e. RR /\ 0 < pi ) ) -> ( 2 < 6 <-> ( pi / 6 ) < ( pi / 2 ) ) )
58	54, 55, 56, 57	mp3an 1424	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 < 6 <-> ( pi / 6 ) < ( pi / 2 ) )
59	51, 58	mpbi 220	. . . . . . . . . 10 |- ( pi / 6 ) < ( pi / 2 )
60		0re 10040	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
61		halfpire 24216	. . . . . . . . . . 11 |- ( pi / 2 ) e. RR
62		rexr 10085	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. RR -> 0 e. RR* )
63		rexr 10085	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( pi / 2 ) e. RR -> ( pi / 2 ) e. RR* )
64		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( pi / 2 ) e. RR* ) -> ( ( pi / 6 ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( ( pi / 6 ) e. RR /\ 0 < ( pi / 6 ) /\ ( pi / 6 ) < ( pi / 2 ) ) ) )
65	62, 63, 64	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( ( pi / 6 ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( ( pi / 6 ) e. RR /\ 0 < ( pi / 6 ) /\ ( pi / 6 ) < ( pi / 2 ) ) ) )
66	60, 61, 65	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( ( pi / 6 ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) <-> ( ( pi / 6 ) e. RR /\ 0 < ( pi / 6 ) /\ ( pi / 6 ) < ( pi / 2 ) ) )
67	6, 50, 59, 66	mpbir3an 1244	. . . . . . . . 9 |- ( pi / 6 ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) )
68		sincosq1sgn 24250	. . . . . . . . 9 |- ( ( pi / 6 ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( sin ` ( pi / 6 ) ) /\ 0 < ( cos ` ( pi / 6 ) ) ) )
69	67, 68	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 0 < ( sin ` ( pi / 6 ) ) /\ 0 < ( cos ` ( pi / 6 ) ) )
70	69	simpri 478	. . . . . . 7 |- 0 < ( cos ` ( pi / 6 ) )
71	12, 70	gt0ne0ii 10564	. . . . . 6 |- ( cos ` ( pi / 6 ) ) =/= 0
72	13, 71	pm3.2i 471	. . . . 5 |- ( ( cos ` ( pi / 6 ) ) e. CC /\ ( cos ` ( pi / 6 ) ) =/= 0 )
73		mulcan2 10665	. . . . 5 |- ( ( ( 2 x. ( sin ` ( pi / 6 ) ) ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( ( cos ` ( pi / 6 ) ) e. CC /\ ( cos ` ( pi / 6 ) ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. ( sin ` ( pi / 6 ) ) ) x. ( cos ` ( pi / 6 ) ) ) = ( 1 x. ( cos ` ( pi / 6 ) ) ) <-> ( 2 x. ( sin ` ( pi / 6 ) ) ) = 1 ) )
74	48, 25, 72, 73	mp3an 1424	. . . 4 |- ( ( ( 2 x. ( sin ` ( pi / 6 ) ) ) x. ( cos ` ( pi / 6 ) ) ) = ( 1 x. ( cos ` ( pi / 6 ) ) ) <-> ( 2 x. ( sin ` ( pi / 6 ) ) ) = 1 )
75	47, 74	mpbi 220	. . 3 |- ( 2 x. ( sin ` ( pi / 6 ) ) ) = 1
76	1, 9, 10, 75	mvllmuli 10858	. 2 |- ( sin ` ( pi / 6 ) ) = ( 1 / 2 )
77		3re 11094	. . . . . . . 8 |- 3 e. RR
78		3pos 11114	. . . . . . . 8 |- 0 < 3
79	77, 78	sqrtpclii 14122	. . . . . . 7 |- ( sqr ` 3 ) e. RR
80	79	recni 10052	. . . . . 6 |- ( sqr ` 3 ) e. CC
81	80, 1, 10	sqdivi 12948	. . . . 5 |- ( ( ( sqr ` 3 ) / 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( sqr ` 3 ) ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) )
82	60, 77, 78	ltleii 10160	. . . . . . 7 |- 0 <_ 3
83	77	sqsqrti 14115	. . . . . . 7 |- ( 0 <_ 3 -> ( ( sqr ` 3 ) ^ 2 ) = 3 )
84	82, 83	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( sqr ` 3 ) ^ 2 ) = 3
85		sq2 12960	. . . . . 6 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
86	84, 85	oveq12i 6662	. . . . 5 |- ( ( ( sqr ` 3 ) ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) = ( 3 / 4 )
87	81, 86	eqtri 2644	. . . 4 |- ( ( ( sqr ` 3 ) / 2 ) ^ 2 ) = ( 3 / 4 )
88	87	fveq2i 6194	. . 3 |- ( sqr ` ( ( ( sqr ` 3 ) / 2 ) ^ 2 ) ) = ( sqr ` ( 3 / 4 ) )
89	77	sqrtge0i 14116	. . . . . 6 |- ( 0 <_ 3 -> 0 <_ ( sqr ` 3 ) )
90	82, 89	ax-mp 5	. . . . 5 |- 0 <_ ( sqr ` 3 )
91	79, 52	divge0i 10933	. . . . 5 |- ( ( 0 <_ ( sqr ` 3 ) /\ 0 < 2 ) -> 0 <_ ( ( sqr ` 3 ) / 2 ) )
92	90, 53, 91	mp2an 708	. . . 4 |- 0 <_ ( ( sqr ` 3 ) / 2 )
93	79, 52, 10	redivcli 10792	. . . . 5 |- ( ( sqr ` 3 ) / 2 ) e. RR
94	93	sqrtsqi 14114	. . . 4 |- ( 0 <_ ( ( sqr ` 3 ) / 2 ) -> ( sqr ` ( ( ( sqr ` 3 ) / 2 ) ^ 2 ) ) = ( ( sqr ` 3 ) / 2 ) )
95	92, 94	ax-mp 5	. . 3 |- ( sqr ` ( ( ( sqr ` 3 ) / 2 ) ^ 2 ) ) = ( ( sqr ` 3 ) / 2 )
96		4cn 11098	. . . . . . . 8 |- 4 e. CC
97		4ne0 11117	. . . . . . . 8 |- 4 =/= 0
98	96, 97	dividi 10758	. . . . . . 7 |- ( 4 / 4 ) = 1
99	98	oveq1i 6660	. . . . . 6 |- ( ( 4 / 4 ) - ( 1 / 4 ) ) = ( 1 - ( 1 / 4 ) )
100	96, 97	pm3.2i 471	. . . . . . . 8 |- ( 4 e. CC /\ 4 =/= 0 )
101		divsubdir 10721	. . . . . . . 8 |- ( ( 4 e. CC /\ 1 e. CC /\ ( 4 e. CC /\ 4 =/= 0 ) ) -> ( ( 4 - 1 ) / 4 ) = ( ( 4 / 4 ) - ( 1 / 4 ) ) )
102	96, 25, 100, 101	mp3an 1424	. . . . . . 7 |- ( ( 4 - 1 ) / 4 ) = ( ( 4 / 4 ) - ( 1 / 4 ) )
103		3p1e4 11153	. . . . . . . . 9 |- ( 3 + 1 ) = 4
104	96, 25, 18	subadd2i 10369	. . . . . . . . 9 |- ( ( 4 - 1 ) = 3 <-> ( 3 + 1 ) = 4 )
105	103, 104	mpbir 221	. . . . . . . 8 |- ( 4 - 1 ) = 3
106	105	oveq1i 6660	. . . . . . 7 |- ( ( 4 - 1 ) / 4 ) = ( 3 / 4 )
107	102, 106	eqtr3i 2646	. . . . . 6 |- ( ( 4 / 4 ) - ( 1 / 4 ) ) = ( 3 / 4 )
108	96, 97	reccli 10755	. . . . . . 7 |- ( 1 / 4 ) e. CC
109	13	sqcli 12944	. . . . . . 7 |- ( ( cos ` ( pi / 6 ) ) ^ 2 ) e. CC
110	76	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( sin ` ( pi / 6 ) ) ^ 2 ) = ( ( 1 / 2 ) ^ 2 )
111	1, 10	sqrecii 12946	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 / 2 ) ^ 2 ) = ( 1 / ( 2 ^ 2 ) )
112	85	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / ( 2 ^ 2 ) ) = ( 1 / 4 )
113	110, 111, 112	3eqtri 2648	. . . . . . . . 9 |- ( ( sin ` ( pi / 6 ) ) ^ 2 ) = ( 1 / 4 )
114	113	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 |- ( ( ( sin ` ( pi / 6 ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( pi / 6 ) ) ^ 2 ) ) = ( ( 1 / 4 ) + ( ( cos ` ( pi / 6 ) ) ^ 2 ) )
115		sincossq 14906	. . . . . . . . 9 |- ( ( pi / 6 ) e. CC -> ( ( ( sin ` ( pi / 6 ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( pi / 6 ) ) ^ 2 ) ) = 1 )
116	7, 115	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( ( sin ` ( pi / 6 ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( pi / 6 ) ) ^ 2 ) ) = 1
117	114, 116	eqtr3i 2646	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / 4 ) + ( ( cos ` ( pi / 6 ) ) ^ 2 ) ) = 1
118	25, 108, 109, 117	subaddrii 10370	. . . . . 6 |- ( 1 - ( 1 / 4 ) ) = ( ( cos ` ( pi / 6 ) ) ^ 2 )
119	99, 107, 118	3eqtr3ri 2653	. . . . 5 |- ( ( cos ` ( pi / 6 ) ) ^ 2 ) = ( 3 / 4 )
120	119	fveq2i 6194	. . . 4 |- ( sqr ` ( ( cos ` ( pi / 6 ) ) ^ 2 ) ) = ( sqr ` ( 3 / 4 ) )
121	60, 12, 70	ltleii 10160	. . . . 5 |- 0 <_ ( cos ` ( pi / 6 ) )
122	12	sqrtsqi 14114	. . . . 5 |- ( 0 <_ ( cos ` ( pi / 6 ) ) -> ( sqr ` ( ( cos ` ( pi / 6 ) ) ^ 2 ) ) = ( cos ` ( pi / 6 ) ) )
123	121, 122	ax-mp 5	. . . 4 |- ( sqr ` ( ( cos ` ( pi / 6 ) ) ^ 2 ) ) = ( cos ` ( pi / 6 ) )
124	120, 123	eqtr3i 2646	. . 3 |- ( sqr ` ( 3 / 4 ) ) = ( cos ` ( pi / 6 ) )
125	88, 95, 124	3eqtr3ri 2653	. 2 |- ( cos ` ( pi / 6 ) ) = ( ( sqr ` 3 ) / 2 )
126	76, 125	pm3.2i 471	1 |- ( ( sin ` ( pi / 6 ) ) = ( 1 / 2 ) /\ ( cos ` ( pi / 6 ) ) = ( ( sqr ` 3 ) / 2 ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   6c6 11074   (,)cioo 12175   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973   sincsin 14794   cosccos 14795   picpi 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  sincos3rdpi  24268  1cubrlem  24568  pigt3  33402