4001lem4 - Metamath Proof Explorer

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Theorem 4001lem4 15851

Description: Lemma for 4001prm 15852. Calculate the GCD of

with

. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
4001prm.1	;;;

**Assertion**
Ref	Expression
4001lem4	;;

**Proof of Theorem 4001lem4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 11185	. . . 4
2		8nn0 11315	. . . . . 6
3		0nn0 11307	. . . . . 6
4	2, 3	deccl 11512	. . . . 5 ;
5	4, 3	deccl 11512	. . . 4 ;;
6		nnexpcl 12873	. . . 4 $/\$ ;; ;;
7	1, 5, 6	mp2an 708	. . 3 ;;
8		nnm1nn0 11334	. . 3 ;; ;;
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 ;;
10		2nn0 11309	. . . . 5
11		3nn0 11310	. . . . 5
12	10, 11	deccl 11512	. . . 4 ;
13		1nn0 11308	. . . 4
14	12, 13	deccl 11512	. . 3 ;;
15	14, 3	deccl 11512	. 2 ;;;
16		4001prm.1	. . 3 ;;;
17		4nn0 11311	. . . . . 6
18	17, 3	deccl 11512	. . . . 5 ;
19	18, 3	deccl 11512	. . . 4 ;;
20		1nn 11031	. . . 4
21	19, 20	decnncl 11518	. . 3 ;;;
22	16, 21	eqeltri 2697	. 2
23	16	4001lem2 15849	. . 3 ;; ;;;
24		0p1e1 11132	. . . 4
25		eqid 2622	. . . 4 ;;; ;;;
26	14, 3, 24, 25	decsuc 11535	. . 3 ;;; ;;;
27	22, 7, 13, 15, 23, 26	modsubi 15776	. 2 ;; ;;;
28		6nn0 11313	. . . . . 6
29	13, 28	deccl 11512	. . . . 5 ;
30		9nn0 11316	. . . . 5
31	29, 30	deccl 11512	. . . 4 ;;
32	31, 13	deccl 11512	. . 3 ;;;
33	28, 13	deccl 11512	. . . . 5 ;
34	33, 30	deccl 11512	. . . 4 ;;
35		5nn0 11312	. . . . . . 7
36	17, 35	deccl 11512	. . . . . 6 ;
37	36, 11	deccl 11512	. . . . 5 ;;
38	29, 28	deccl 11512	. . . . . 6 ;;
39	13, 10	deccl 11512	. . . . . . . 8 ;
40	39, 13	deccl 11512	. . . . . . 7 ;;
41	11, 13	deccl 11512	. . . . . . . . 9 ;
42	13, 17	deccl 11512	. . . . . . . . . 10 ;
43	42	nn0zi 11402	. . . . . . . . . . . . 13 ;
44	11	nn0zi 11402	. . . . . . . . . . . . 13
45		gcdcom 15235	. . . . . . . . . . . . 13 ; $/\$ ; ;
46	43, 44, 45	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 ; ;
47		3nn 11186	. . . . . . . . . . . . . 14
48		4cn 11098	. . . . . . . . . . . . . . . 16
49		3cn 11095	. . . . . . . . . . . . . . . 16
50		4t3e12 11632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ;
51	48, 49, 50	mulcomli 10047	. . . . . . . . . . . . . . 15 ;
52		2p2e4 11144	. . . . . . . . . . . . . . 15
53	13, 10, 10, 51, 52	decaddi 11579	. . . . . . . . . . . . . 14 ;
54		2lt3 11195	. . . . . . . . . . . . . 14
55	47, 17, 1, 53, 54	ndvdsi 15136	. . . . . . . . . . . . 13 ;
56		3prm 15406	. . . . . . . . . . . . . 14
57		coprm 15423	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ; ; ;
58	56, 43, 57	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 ; ;
59	55, 58	mpbi 220	. . . . . . . . . . . 12 ;
60	46, 59	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 ;
61		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ; ;
62	11	dec0h 11522	. . . . . . . . . . . 12 ;
63		2t1e2 11176	. . . . . . . . . . . . . 14
64	63, 24	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . . 13
65		2p1e3 11151	. . . . . . . . . . . . 13
66	64, 65	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12
67		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . 15
68		4t2e8 11181	. . . . . . . . . . . . . . 15
69	48, 67, 68	mulcomli 10047	. . . . . . . . . . . . . 14
70	69	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13
71		8p3e11 11612	. . . . . . . . . . . . 13 ;
72	70, 71	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 ;
73	13, 17, 3, 11, 61, 62, 10, 13, 13, 66, 72	decma2c 11568	. . . . . . . . . . 11 ; ;
74	10, 11, 42, 60, 73	gcdi 15777	. . . . . . . . . 10 ; ;
75		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ; ;
76	49	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . . 13
77		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . 14
78	77	addid1i 10223	. . . . . . . . . . . . 13
79	76, 78	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . 12
80		3p1e4 11153	. . . . . . . . . . . 12
81	79, 80	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11
82		1t1e1 11175	. . . . . . . . . . . . 13
83	82	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12
84		4p1e5 11154	. . . . . . . . . . . . 13
85	48, 77, 84	addcomli 10228	. . . . . . . . . . . 12
86	35	dec0h 11522	. . . . . . . . . . . 12 ;
87	83, 85, 86	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . 11 ;
88	11, 13, 13, 17, 75, 61, 13, 35, 3, 81, 87	decma2c 11568	. . . . . . . . . 10 ; ; ;
89	13, 42, 41, 74, 88	gcdi 15777	. . . . . . . . 9 ; ;
90		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ; ;
91	69, 80	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . 11
92		8p4e12 11614	. . . . . . . . . . 11 ;
93	91, 92	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 ;
94		5cn 11100	. . . . . . . . . . . 12
95		5t2e10 11634	. . . . . . . . . . . 12 ;
96	94, 67, 95	mulcomli 10047	. . . . . . . . . . 11 ;
97	13, 3, 24, 96	decsuc 11535	. . . . . . . . . 10 ;
98	17, 35, 11, 13, 90, 75, 10, 13, 13, 93, 97	decma2c 11568	. . . . . . . . 9 ; ; ;;
99	10, 41, 36, 89, 98	gcdi 15777	. . . . . . . 8 ;; ;
100		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ;; ;;
101		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ; ;
102	48	addid1i 10223	. . . . . . . . . . 11
103	17	dec0h 11522	. . . . . . . . . . 11 ;
104	102, 103	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 ;
105		00id 10211	. . . . . . . . . . . 12
106	82, 105	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . 11
107	106, 78	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10
108	67	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . 12
109	108	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11
110		4p2e6 11162	. . . . . . . . . . . 12
111	48, 67, 110	addcomli 10228	. . . . . . . . . . 11
112	28	dec0h 11522	. . . . . . . . . . 11 ;
113	109, 111, 112	3eqtri 2648	. . . . . . . . . 10 ;
114	13, 10, 3, 17, 101, 104, 13, 28, 3, 107, 113	decma2c 11568	. . . . . . . . 9 ; ;
115	82	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10
116		5p1e6 11155	. . . . . . . . . . 11
117	94, 77, 116	addcomli 10228	. . . . . . . . . 10
118	115, 117, 112	3eqtri 2648	. . . . . . . . 9 ;
119	39, 13, 17, 35, 100, 90, 13, 28, 3, 114, 118	decma2c 11568	. . . . . . . 8 ;; ; ;;
120	13, 36, 40, 99, 119	gcdi 15777	. . . . . . 7 ;; ;;
121		eqid 2622	. . . . . . . 8 ;; ;;
122		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ; ;
123	13, 10, 65, 101	decsuc 11535	. . . . . . . . 9 ; ;
124		1p1e2 11134	. . . . . . . . . . 11
125	63, 124	oveq12i 6662	. . . . . . . . . 10
126	125, 52	eqtri 2644	. . . . . . . . 9
127		6cn 11102	. . . . . . . . . . 11
128		6t2e12 11641	. . . . . . . . . . 11 ;
129	127, 67, 128	mulcomli 10047	. . . . . . . . . 10 ;
130		3p2e5 11160	. . . . . . . . . . 11
131	49, 67, 130	addcomli 10228	. . . . . . . . . 10
132	13, 10, 11, 129, 131	decaddi 11579	. . . . . . . . 9 ;
133	13, 28, 13, 11, 122, 123, 10, 35, 13, 126, 132	decma2c 11568	. . . . . . . 8 ; ; ;
134	13, 10, 65, 129	decsuc 11535	. . . . . . . 8 ;
135	29, 28, 39, 13, 121, 100, 10, 11, 13, 133, 134	decma2c 11568	. . . . . . 7 ;; ;; ;;
136	10, 40, 38, 120, 135	gcdi 15777	. . . . . 6 ;; ;;
137		eqid 2622	. . . . . . 7 ;; ;;
138	29	nn0cni 11304	. . . . . . . . 9 ;
139	138	addid1i 10223	. . . . . . . 8 ; ;
140	48	mulid2i 10043	. . . . . . . . . 10
141	140, 124	oveq12i 6662	. . . . . . . . 9
142	141, 110	eqtri 2644	. . . . . . . 8
143	94	mulid2i 10043	. . . . . . . . . 10
144	143	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9
145		6p5e11 11600	. . . . . . . . . 10 ;
146	127, 94, 145	addcomli 10228	. . . . . . . . 9 ;
147	144, 146	eqtri 2644	. . . . . . . 8 ;
148	17, 35, 13, 28, 90, 139, 13, 13, 13, 142, 147	decma2c 11568	. . . . . . 7 ; ; ;
149	76	oveq1i 6660	. . . . . . . 8
150		6p3e9 11170	. . . . . . . . 9
151	127, 49, 150	addcomli 10228	. . . . . . . 8
152	30	dec0h 11522	. . . . . . . 8 ;
153	149, 151, 152	3eqtri 2648	. . . . . . 7 ;
154	36, 11, 29, 28, 137, 121, 13, 30, 3, 148, 153	decma2c 11568	. . . . . 6 ;; ;; ;;
155	13, 38, 37, 136, 154	gcdi 15777	. . . . 5 ;; ;;
156		eqid 2622	. . . . . 6 ;; ;;
157		7nn0 11314	. . . . . . 7
158		eqid 2622	. . . . . . 7 ; ;
159		5p2e7 11165	. . . . . . . 8
160	17, 35, 10, 90, 159	decaddi 11579	. . . . . . 7 ; ;
161	102	oveq2i 6661	. . . . . . . 8
162	13, 10, 17, 129, 111	decaddi 11579	. . . . . . . 8 ;
163	161, 162	eqtri 2644	. . . . . . 7 ;
164	63	oveq1i 6660	. . . . . . . 8
165		7cn 11104	. . . . . . . . 9
166		7p2e9 11172	. . . . . . . . 9
167	165, 67, 166	addcomli 10228	. . . . . . . 8
168	164, 167, 152	3eqtri 2648	. . . . . . 7 ;
169	28, 13, 17, 157, 158, 160, 10, 30, 3, 163, 168	decma2c 11568	. . . . . 6 ; ; ;;
170		9cn 11108	. . . . . . . 8
171		9t2e18 11663	. . . . . . . 8 ;
172	170, 67, 171	mulcomli 10047	. . . . . . 7 ;
173	13, 2, 11, 172, 124, 13, 71	decaddci 11580	. . . . . 6 ;
174	33, 30, 36, 11, 156, 137, 10, 13, 10, 169, 173	decma2c 11568	. . . . 5 ;; ;; ;;;
175	10, 37, 34, 155, 174	gcdi 15777	. . . 4 ;;; ;;
176		eqid 2622	. . . . 5 ;;; ;;;
177		eqid 2622	. . . . . 6 ;; ;;
178	28, 13, 124, 158	decsuc 11535	. . . . . 6 ; ;
179		6p1e7 11156	. . . . . . . 8
180	157	dec0h 11522	. . . . . . . 8 ;
181	179, 180	eqtri 2644	. . . . . . 7 ;
182	82, 24	oveq12i 6662	. . . . . . . 8
183	182, 124	eqtri 2644	. . . . . . 7
184	127	mulid2i 10043	. . . . . . . . 9
185	184	oveq1i 6660	. . . . . . . 8
186		7p6e13 11608	. . . . . . . . 9 ;
187	165, 127, 186	addcomli 10228	. . . . . . . 8 ;
188	185, 187	eqtri 2644	. . . . . . 7 ;
189	13, 28, 3, 157, 122, 181, 13, 11, 13, 183, 188	decma2c 11568	. . . . . 6 ; ;
190	170	mulid2i 10043	. . . . . . . 8
191	190	oveq1i 6660	. . . . . . 7
192		9p2e11 11619	. . . . . . 7 ;
193	191, 192	eqtri 2644	. . . . . 6 ;
194	29, 30, 28, 10, 177, 178, 13, 13, 13, 189, 193	decma2c 11568	. . . . 5 ;; ; ;;
195	82	oveq1i 6660	. . . . . 6
196		9p1e10 11496	. . . . . . 7 ;
197	170, 77, 196	addcomli 10228	. . . . . 6 ;
198	195, 197	eqtri 2644	. . . . 5 ;
199	31, 13, 33, 30, 176, 156, 13, 3, 13, 194, 198	decma2c 11568	. . . 4 ;;; ;; ;;;
200	13, 34, 32, 175, 199	gcdi 15777	. . 3 ;;; ;;;
201		eqid 2622	. . . . . 6 ;; ;;
202	31	nn0cni 11304	. . . . . . 7 ;;
203	202	addid1i 10223	. . . . . 6 ;; ;;
204		eqid 2622	. . . . . . 7 ; ;
205	13, 28, 179, 122	decsuc 11535	. . . . . . 7 ; ;
206	108, 124	oveq12i 6662	. . . . . . . 8
207	206, 52	eqtri 2644	. . . . . . 7
208	76	oveq1i 6660	. . . . . . . 8
209		7p3e10 11603	. . . . . . . . 9 ;
210	165, 49, 209	addcomli 10228	. . . . . . . 8 ;
211	208, 210	eqtri 2644	. . . . . . 7 ;
212	10, 11, 13, 157, 204, 205, 13, 3, 13, 207, 211	decma2c 11568	. . . . . 6 ; ; ;
213	12, 13, 29, 30, 201, 203, 13, 3, 13, 212, 198	decma2c 11568	. . . . 5 ;; ;; ;;
214	77	mul01i 10226	. . . . . . 7
215	214	oveq1i 6660	. . . . . 6
216	13	dec0h 11522	. . . . . 6 ;
217	215, 24, 216	3eqtri 2648	. . . . 5 ;
218	14, 3, 31, 13, 25, 176, 13, 13, 3, 213, 217	decma2c 11568	. . . 4 ;;; ;;; ;;;
219	218, 16	eqtr4i 2647	. . 3 ;;; ;;;
220	13, 32, 15, 200, 219	gcdi 15777	. 2 ;;;
221	9, 15, 22, 27, 220	gcdmodi 15778	1 ;;

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wb 196

wceq 1483

wcel 1990 class class class wbr 4653 (class class class)co 6650

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cmin 10266

cn 11020

c2 11070

c3 11071

c4 11072

c5 11073

c6 11074

c7 11075

c8 11076

c9 11077

cn0 11292

cz 11377 ;cdc 11493

cexp 12860

cdvds 14983

cgcd 15216

cprime 15385

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386

This theorem is referenced by: 4001prm 15852

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