acongeq - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem acongeq 37550

Description: Two numbers in the fundamental domain are alternating-congruent iff they are equal. TODO: could be used to shorten jm2.26 37569. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
acongeq	$/\$ $/\$ $\/$

**Proof of Theorem acongeq**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 11409	. . . . . . 7
2		nnz 11399	. . . . . . . 8
3	2	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
4		zmulcl 11426	. . . . . . 7 $/\$
5	1, 3, 4	sylancr 695	. . . . . 6 $/\$ $/\$
6		elfzelz 12342	. . . . . . 7
7	6	3ad2ant2 1083	. . . . . 6 $/\$ $/\$
8		congid 37538	. . . . . 6 $/\$
9	5, 7, 8	syl2anc 693	. . . . 5 $/\$ $/\$
10	9	adantr 481	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
11		oveq2 6658	. . . . 5
12	11	adantl 482	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
13	10, 12	breqtrd 4679	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
14	13	orcd 407	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
15		elfzelz 12342	. . . . . . . . . 10
16	15	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
17	7, 16	zsubcld 11487	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
18	17	zcnd 11483	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
19	18	abscld 14175	. . . . . 6 $/\$ $/\$
20		nnre 11027	. . . . . . . 8
21	20	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
22		0re 10040	. . . . . . 7
23		resubcl 10345	. . . . . . 7 $/\$
24	21, 22, 23	sylancl 694	. . . . . 6 $/\$ $/\$
25		2re 11090	. . . . . . 7
26		remulcl 10021	. . . . . . 7 $/\$
27	25, 21, 26	sylancr 695	. . . . . 6 $/\$ $/\$
28		simp2 1062	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
29		simp3 1063	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
30	24	leidd 10594	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
31		fzmaxdif 37548	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32	3, 28, 3, 29, 30, 31	syl221anc 1337	. . . . . 6 $/\$ $/\$
33		nnrp 11842	. . . . . . . . 9
34	33	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
35	21, 34	ltaddrpd 11905	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
36	21	recnd 10068	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
37	36	subid1d 10381	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
38	36	2timesd 11275	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
39	35, 37, 38	3brtr4d 4685	. . . . . 6 $/\$ $/\$
40	19, 24, 27, 32, 39	lelttrd 10195	. . . . 5 $/\$ $/\$
41	40	adantr 481	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
42		2nn 11185	. . . . . 6
43		simpl1 1064	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
44		nnmulcl 11043	. . . . . 6 $/\$
45	42, 43, 44	sylancr 695	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
46		simpl2 1065	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
47	46, 6	syl 17	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
48		simpl3 1066	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
49	48, 15	syl 17	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
50		simpr 477	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
51		congabseq 37541	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
52	45, 47, 49, 50, 51	syl31anc 1329	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
53	41, 52	mpbid 222	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
54		simpll2 1101	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . 11
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	7	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
58	16	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
59	58	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
60	57, 59	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
61	60	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
62	61	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
63	62	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . 16
65		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
66	21, 64, 65	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
67	66	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
68	21, 67	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
69	68	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70	27	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	71	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	16	znegcld 11484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
74	73	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	74	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	72, 75	abssubd 14192	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77		0zd 11389	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79		0zd 11389	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
80		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
81		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
82	3, 80, 81	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
83		fzneg 37549	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
84	16, 79, 82, 83	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
85	84	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	78, 85	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87		neg0 10327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	88	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	86, 89	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
93	42, 92, 44	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
94		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
96	95	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
97		0m0e0 11130	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
98	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
99		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
100	36, 36, 99	addsubassd 10412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
101	38	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
102		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
103		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
104	36, 102, 103	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
105	36, 104	subnegd 10399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
106	100, 101, 105	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
107	96, 98, 106	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
108	107	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109		fzmaxdif 37548	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	77, 90, 91, 54, 108, 109	syl221anc 1337	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	76, 110	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	27	ltm1d 10956	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
113	106, 112	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
114	113	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	63, 69, 70, 111, 114	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	93	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118		congabseq 37541	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
119	116, 71, 74, 117, 118	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	115, 119	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	56, 120	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . 12
123	122	zred 11482	. . . . . . . . . . 11
124	123	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125	124	le0neg1d 10599	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	121, 125	mpbird 247	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127		elfzle1 12344	. . . . . . . . 9
128	127	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129		letri3 10123	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
130	124, 22, 129	sylancl 694	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	126, 128, 130	mpbir2and 957	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	131	negeqd 10275	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133	132, 88	eqtrd 2656	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134	133, 120, 131	3eqtr4d 2666	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135		oveq2 6658	. . . . . . . . 9
136	135	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
137	136	fveq2d 6195	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138	40	ad2antrr 762	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	137, 138	eqbrtrrd 4677	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	93	ad2antrr 762	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	7	ad2antrr 762	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142	3	ad2antrr 762	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143		simplr 792	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	7	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
145	36, 36, 144	ppncand 10432	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
146	36, 144	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
147	145, 146	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
148	147	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
149		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12
150	149	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
151	148, 150	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
152	38	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
153	152	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
154	16	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
155	144, 154	subnegd 10399	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
156	155	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
157	151, 153, 156	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
158	143, 157	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
159	5	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
160	7, 3	zsubcld 11487	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
161	160	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
162		dvdsadd 15024	. . . . . . . . 9 $/\$
163	159, 161, 162	syl2anc 693	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
164	158, 163	mpbird 247	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
165		congabseq 37541	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
166	140, 141, 142, 164, 165	syl31anc 1329	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
167	139, 166	mpbid 222	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168		simpr 477	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
169	167, 168	eqtr4d 2659	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
170		nnnn0 11299	. . . . . . . 8
171	170	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
172		nn0uz 11722	. . . . . . 7
173	171, 172	syl6eleq 2711	. . . . . 6 $/\$ $/\$
174		fzm1 12420	. . . . . . 7 $\/$
175	174	biimpa 501	. . . . . 6 $/\$ $\/$
176	173, 29, 175	syl2anc 693	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$
177	176	adantr 481	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
178	134, 169, 177	mpjaodan 827	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
179	53, 178	jaodan 826	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
180	14, 179	impbida 877	1 $/\$ $/\$ $\/$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

crp 11832

cfz 12326

cabs 13974

cdvds 14983

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-dvds 14984

This theorem is referenced by: jm2.27a 37572

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