Theorem c1lip1 23760

Description: C1 functions are Lipschitz continuous on closed intervals. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
c1lip1.a	|- ( ph -> A e. RR )
c1lip1.b	|- ( ph -> B e. RR )
c1lip1.f	|- ( ph -> F e. ( CC ^pm RR ) )
c1lip1.dv	|- ( ph -> ( ( RR _D F ) |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
c1lip1.cn	|- ( ph -> ( F |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )

Assertion

Ref	Expression
c1lip1	|- ( ph -> E. k e. RR A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x, y, k   x, A, y, k   x, B, y, k   x, F, y, k

Proof of Theorem c1lip1

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10040	. . . 4 |- 0 e. RR
2	1	ne0ii 3923	. . 3 |- RR =/= (/)
3		ral0 4076	. . . . 5 |- A. x e. (/) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) )
4		c1lip1.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR )
5	4	rexrd 10089	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR* )
6		c1lip1.b	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. RR )
7	6	rexrd 10089	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR* )
8		icc0 12223	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A [,] B ) = (/) <-> B < A ) )
9	5, 7, 8	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A [,] B ) = (/) <-> B < A ) )
10	9	biimpar 502	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( A [,] B ) = (/) )
11	10	raleqdv 3144	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) <-> A. x e. (/) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
12	3, 11	mpbiri 248	. . . 4 |- ( ( ph /\ B < A ) -> A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
13	12	ralrimivw 2967	. . 3 |- ( ( ph /\ B < A ) -> A. k e. RR A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
14		r19.2z 4060	. . 3 |- ( ( RR =/= (/) /\ A. k e. RR A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) -> E. k e. RR A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
15	2, 13, 14	sylancr 695	. 2 |- ( ( ph /\ B < A ) -> E. k e. RR A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
16	4	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> A e. RR )
17	6	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> B e. RR )
18		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> A <_ B )
19		c1lip1.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. ( CC ^pm RR ) )
20	19	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> F e. ( CC ^pm RR ) )
21		c1lip1.dv	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
22	21	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> ( ( RR _D F ) |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
23		c1lip1.cn	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
24	23	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> ( F |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
25		eqid 2622	. . . . 5 |- sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) = sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < )
26	16, 17, 18, 20, 22, 24, 25	c1liplem1 23759	. . . 4 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> ( sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) e. RR /\ A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) ) )
27		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( k = sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) -> ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) = ( sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) x. ( abs ` ( b - a ) ) ) )
28	27	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( k = sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) -> ( ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) <-> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) )
29	28	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( k = sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) -> ( ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) <-> ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) ) )
30	29	2ralbidv 2989	. . . . 5 |- ( k = sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) <-> A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) ) )
31	30	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) e. RR /\ A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( sup ( ( abs " ( ( RR _D F ) " ( A [,] B ) ) ) , RR , < ) x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) ) -> E. k e. RR A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) )
32	26, 31	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> E. k e. RR A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) )
33		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 |- ( a = x -> ( a < b <-> x < b ) )
34		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = x -> ( F ` a ) = ( F ` x ) )
35	34	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = x -> ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) = ( ( F ` b ) - ( F ` x ) ) )
36	35	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = x -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` x ) ) ) )
37		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = x -> ( b - a ) = ( b - x ) )
38	37	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = x -> ( abs ` ( b - a ) ) = ( abs ` ( b - x ) ) )
39	38	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = x -> ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) = ( k x. ( abs ` ( b - x ) ) ) )
40	36, 39	breq12d 4666	. . . . . . . . . 10 |- ( a = x -> ( ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) <-> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - x ) ) ) ) )
41	33, 40	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( a = x -> ( ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) <-> ( x < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - x ) ) ) ) ) )
42		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( b = y -> ( x < b <-> x < y ) )
43		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = y -> ( F ` b ) = ( F ` y ) )
44	43	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = y -> ( ( F ` b ) - ( F ` x ) ) = ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) )
45	44	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = y -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` x ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) )
46		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = y -> ( b - x ) = ( y - x ) )
47	46	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = y -> ( abs ` ( b - x ) ) = ( abs ` ( y - x ) ) )
48	47	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = y -> ( k x. ( abs ` ( b - x ) ) ) = ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
49	45, 48	breq12d 4666	. . . . . . . . . 10 |- ( b = y -> ( ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - x ) ) ) <-> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
50	42, 49	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( b = y -> ( ( x < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - x ) ) ) ) <-> ( x < y -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) ) )
51	41, 50	rspc2v 3322	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( x < y -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) ) )
52	51	ad2antlr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x < y ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( x < y -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) ) )
53		pm2.27 42	. . . . . . . 8 |- ( x < y -> ( ( x < y -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
54	53	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x < y ) -> ( ( x < y -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
55	52, 54	syld 47	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x < y ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
56		0le0 11110	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ 0
57		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( A [,] B ) -> ( ( F |` ( A [,] B ) ) ` x ) = ( F ` x ) )
58	57	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( ( F |` ( A [,] B ) ) ` x ) = ( F ` x ) )
59		cncff 22696	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) -> ( F |` ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR )
60	23, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( F |` ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR )
61	60	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) -> ( F |` ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR )
62		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
63		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F |` ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( ( F |` ( A [,] B ) ) ` x ) e. RR )
64	61, 62, 63	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( ( F |` ( A [,] B ) ) ` x ) e. RR )
65	58, 64	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
66	65	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
67	66	subidd 10380	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( ( F ` x ) - ( F ` x ) ) = 0 )
68	67	abs00bd 14031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` x ) ) ) = 0 )
69		iccssre 12255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
70	4, 6, 69	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
71	70	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
72		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
73	71, 72	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> x e. RR )
74	73	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> x e. CC )
75	74	subidd 10380	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( x - x ) = 0 )
76	75	abs00bd 14031	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( abs ` ( x - x ) ) = 0 )
77	76	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( k x. ( abs ` ( x - x ) ) ) = ( k x. 0 ) )
78		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> k e. RR )
79	78	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> k e. CC )
80	79	mul01d 10235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( k x. 0 ) = 0 )
81	77, 80	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( k x. ( abs ` ( x - x ) ) ) = 0 )
82	68, 81	breq12d 4666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - x ) ) ) <-> 0 <_ 0 ) )
83	56, 82	mpbiri 248	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - x ) ) ) )
84		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
85	84	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( F ` x ) - ( F ` x ) ) = ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) )
86	85	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` x ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) )
87		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( x - x ) = ( y - x ) )
88	87	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( abs ` ( x - x ) ) = ( abs ` ( y - x ) ) )
89	88	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( k x. ( abs ` ( x - x ) ) ) = ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
90	86, 89	breq12d 4666	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - x ) ) ) <-> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
91	83, 90	syl5ibcom 235	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( x = y -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
92	91	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x = y ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
93	92	a1d 25	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x = y ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
94		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = y -> ( a < b <-> y < b ) )
95		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = y -> ( F ` a ) = ( F ` y ) )
96	95	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = y -> ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) = ( ( F ` b ) - ( F ` y ) ) )
97	96	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = y -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` y ) ) ) )
98		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = y -> ( b - a ) = ( b - y ) )
99	98	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = y -> ( abs ` ( b - a ) ) = ( abs ` ( b - y ) ) )
100	99	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = y -> ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) = ( k x. ( abs ` ( b - y ) ) ) )
101	97, 100	breq12d 4666	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = y -> ( ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) <-> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - y ) ) ) ) )
102	94, 101	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( a = y -> ( ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) <-> ( y < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - y ) ) ) ) ) )
103		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = x -> ( y < b <-> y < x ) )
104		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = x -> ( F ` b ) = ( F ` x ) )
105	104	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = x -> ( ( F ` b ) - ( F ` y ) ) = ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) )
106	105	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = x -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` y ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) )
107		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = x -> ( b - y ) = ( x - y ) )
108	107	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = x -> ( abs ` ( b - y ) ) = ( abs ` ( x - y ) ) )
109	108	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = x -> ( k x. ( abs ` ( b - y ) ) ) = ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) )
110	106, 109	breq12d 4666	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = x -> ( ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - y ) ) ) <-> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) ) )
111	103, 110	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( b = x -> ( ( y < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - y ) ) ) ) <-> ( y < x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) ) ) )
112	102, 111	rspc2v 3322	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( A [,] B ) /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( y < x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) ) ) )
113	112	ancoms 469	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( y < x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) ) ) )
114	113	ad2antlr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( y < x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) ) ) )
115		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> y < x )
116		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( A [,] B ) -> ( ( F |` ( A [,] B ) ) ` y ) = ( F ` y ) )
117	116	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( ( F |` ( A [,] B ) ) ` y ) = ( F ` y ) )
118		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> y e. ( A [,] B ) )
119		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F |` ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> RR /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( ( F |` ( A [,] B ) ) ` y ) e. RR )
120	61, 118, 119	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( ( F |` ( A [,] B ) ) ` y ) e. RR )
121	117, 120	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( F ` y ) e. RR )
122	121	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( F ` y ) e. CC )
123	66, 122	abssubd 14192	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) )
124	123	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) )
125	70	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
126	125	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) -> ( x e. ( A [,] B ) -> x e. RR ) )
127	125	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) -> ( y e. ( A [,] B ) -> y e. RR ) )
128	126, 127	anim12d 586	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) -> ( ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( x e. RR /\ y e. RR ) ) )
129	128	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( x e. RR /\ y e. RR ) )
130		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> x e. CC )
131		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR -> y e. CC )
132		abssub 14066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( abs ` ( x - y ) ) = ( abs ` ( y - x ) ) )
133	130, 131, 132	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( abs ` ( x - y ) ) = ( abs ` ( y - x ) ) )
134	129, 133	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( abs ` ( x - y ) ) = ( abs ` ( y - x ) ) )
135	134	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> ( abs ` ( x - y ) ) = ( abs ` ( y - x ) ) )
136	135	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) = ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
137	124, 136	breq12d 4666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> ( ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) <-> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
138	137	biimpd 219	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> ( ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
139	115, 138	embantd 59	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> ( ( y < x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` y ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( x - y ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
140	114, 139	syld 47	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y < x ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
141		lttri4 10122	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x < y \/ x = y \/ y < x ) )
142	129, 141	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( x < y \/ x = y \/ y < x ) )
143	55, 93, 140, 142	mpjao3dan 1395	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
144	143	ralrimdvva 2974	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ k e. RR ) -> ( A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
145	144	reximdva 3017	. . 3 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> ( E. k e. RR A. a e. ( A [,] B ) A. b e. ( A [,] B ) ( a < b -> ( abs ` ( ( F ` b ) - ( F ` a ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( b - a ) ) ) ) -> E. k e. RR A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) ) )
146	32, 145	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> E. k e. RR A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )
147	15, 146, 6, 4	ltlecasei 10145	1 |- ( ph -> E. k e. RR A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( k x. ( abs ` ( y - x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   \/ w3o 1036   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |` cres 5116   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^pm cpm 7858   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   [,]cicc 12178   abscabs 13974   -cn->ccncf 22679   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  c1lip2  23761