caratheodorylem1 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem caratheodorylem1 40740

Description: Lemma used to prove that Caratheodory's construction is sigma-additive. This is the proof of the statement in the middle of Step (e) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 21. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
caratheodorylem1.o	OutMeas
caratheodorylem1.s	CaraGen
caratheodorylem1.z
caratheodorylem1.e
caratheodorylem1.dj	Disj
caratheodorylem1.g
caratheodorylem1.n

**Assertion**
Ref	Expression
caratheodorylem1	Σ^{^}

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem caratheodorylem1 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caratheodorylem1.n	. . 3
2		eluzfz2 12349	. . 3
3	1, 2	syl 17	. 2
4		id 22	. 2
5		fveq2 6191	. . . . . 6
6	5	fveq2d 6195	. . . . 5
7		oveq2 6658	. . . . . . 7
8	7	mpteq1d 4738	. . . . . 6
9	8	fveq2d 6195	. . . . 5 Σ^{^} Σ^{^}
10	6, 9	eqeq12d 2637	. . . 4 Σ^{^} Σ^{^}
11	10	imbi2d 330	. . 3 Σ^{^} Σ^{^}
12		fveq2 6191	. . . . . 6
13	12	fveq2d 6195	. . . . 5
14		oveq2 6658	. . . . . . 7
15	14	mpteq1d 4738	. . . . . 6
16	15	fveq2d 6195	. . . . 5 Σ^{^} Σ^{^}
17	13, 16	eqeq12d 2637	. . . 4 Σ^{^} Σ^{^}
18	17	imbi2d 330	. . 3 Σ^{^} Σ^{^}
19		fveq2 6191	. . . . . 6
20	19	fveq2d 6195	. . . . 5
21		oveq2 6658	. . . . . . 7
22	21	mpteq1d 4738	. . . . . 6
23	22	fveq2d 6195	. . . . 5 Σ^{^} Σ^{^}
24	20, 23	eqeq12d 2637	. . . 4 Σ^{^} Σ^{^}
25	24	imbi2d 330	. . 3 Σ^{^} Σ^{^}
26		fveq2 6191	. . . . . 6
27	26	fveq2d 6195	. . . . 5
28		oveq2 6658	. . . . . . 7
29	28	mpteq1d 4738	. . . . . 6
30	29	fveq2d 6195	. . . . 5 Σ^{^} Σ^{^}
31	27, 30	eqeq12d 2637	. . . 4 Σ^{^} Σ^{^}
32	31	imbi2d 330	. . 3 Σ^{^} Σ^{^}
33		eluzel2 11692	. . . . . . . . 9
34	1, 33	syl 17	. . . . . . . 8
35		fzsn 12383	. . . . . . . 8
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7
37	36	mpteq1d 4738	. . . . . 6
38	37	fveq2d 6195	. . . . 5 Σ^{^} Σ^{^}
39		caratheodorylem1.o	. . . . . . . . 9 OutMeas
40	39	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ OutMeas
41		eqid 2622	. . . . . . . 8
42		caratheodorylem1.s	. . . . . . . . . . . 12 CaraGen
43	42	caragenss 40718	. . . . . . . . . . 11 OutMeas
44	40, 43	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
45		caratheodorylem1.e	. . . . . . . . . . . 12
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
47		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . 13
48	47	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
49		uzid 11702	. . . . . . . . . . . . . . 15
50	34, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
51		caratheodorylem1.z	. . . . . . . . . . . . . 14
52	50, 51	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . 13
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
54	48, 53	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 $/\$
55	46, 54	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 $/\$
56	44, 55	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 $/\$
57		elssuni 4467	. . . . . . . . 9
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$
59	40, 41, 58	omecl 40717	. . . . . . 7 $/\$
60		eqid 2622	. . . . . . 7
61	59, 60	fmptd 6385	. . . . . 6
62	34, 61	sge0sn 40596	. . . . 5 Σ^{^}
63		eqidd 2623	. . . . . 6
64	36	iuneq1d 4545	. . . . . . . . . 10
65		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12
66	65	iunxsng 4602	. . . . . . . . . . 11
67	52, 66	syl 17	. . . . . . . . . 10
68		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10
69	64, 67, 68	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . 9
70	69	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
71		fveq2 6191	. . . . . . . . 9
72	71	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$
73		caratheodorylem1.g	. . . . . . . . . . 11
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . 10
75		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12
76	75	iuneq1d 4545	. . . . . . . . . . 11
77	76	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$
78		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12
79		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12
80	78, 79	iunex 7147	. . . . . . . . . . 11
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . 10
82	74, 77, 52, 81	fvmptd 6288	. . . . . . . . 9
83	82	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
84	70, 72, 83	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 $/\$
85	84	fveq2d 6195	. . . . . 6 $/\$
86		snidg 4206	. . . . . . 7
87	52, 86	syl 17	. . . . . 6
88		fvexd 6203	. . . . . 6
89	63, 85, 87, 88	fvmptd 6288	. . . . 5
90	38, 62, 89	3eqtrrd 2661	. . . 4 Σ^{^}
91	90	a1i 11	. . 3 Σ^{^}
92		simp3 1063	. . . . 5 ..^ $/\$ Σ^{^} $/\$
93		simp1 1061	. . . . 5 ..^ $/\$ Σ^{^} $/\$ ..^
94		id 22	. . . . . . 7 Σ^{^} Σ^{^}
95	94	imp 445	. . . . . 6 Σ^{^} $/\$ Σ^{^}
96	95	3adant1 1079	. . . . 5 ..^ $/\$ Σ^{^} $/\$ Σ^{^}
97		elfzoel1 12468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
98		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
99	98	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
100	97, 99, 99	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ $/\$ $/\$
101	97	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
102	99	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
103	98	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
104		elfzole1 12478	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
105	103	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
106	101, 103, 102, 104, 105	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
107	101, 102, 106	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
108		leid 10133	. . . . . . . . . . . . . . . 16
109	102, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
110	100, 107, 109	jca32 558	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111		elfz2 12333	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	110, 111	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 ..^
113	112	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
114		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13
115	114	ssiun2s 4564	. . . . . . . . . . . 12
116	113, 115	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
117		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
118	117	cbviunv 4559	. . . . . . . . . . . . . . . 16
119	118	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . . . . . . 15
120	73, 119	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14
121	120	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
122		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15
123	122	iuneq1d 4545	. . . . . . . . . . . . . 14
124	123	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
125	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^
126	98	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^
127	126	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^
128	125	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^
129	127	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^
130	126	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ..^
131	104	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ..^
132	130	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ..^
133	128, 130, 129, 131, 132	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^
134	128, 129, 133	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^
135	125, 127, 134	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$ $/\$
136		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
137	135, 136	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^
138	51	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . 14
139	137, 138	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
140		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15
141		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15
142	140, 141	iunex 7147	. . . . . . . . . . . . . 14
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
144	121, 124, 139, 143	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
145	144	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
146	116, 145	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
147		sseqin2 3817	. . . . . . . . . . 11
148	147	biimpi 206	. . . . . . . . . 10
149	146, 148	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
150	149	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
151		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13
152		elfzouz 12474	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^
153	152	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
154	151, 153, 114	iunp1 39235	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
155	144, 154	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
156	155	difeq1d 3727	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^ $\$ $\$
157		caratheodorylem1.dj	. . . . . . . . . . . . . . 15 Disj
158		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16
159	158	cbvdisjv 4631	. . . . . . . . . . . . . . 15 Disj Disj
160	157, 159	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 Disj
161	160	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ Disj
162		fzssuz 12382	. . . . . . . . . . . . . . 15
163	162, 138	sseqtri 3637	. . . . . . . . . . . . . 14
164	163	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
165		fzp1nel 12424	. . . . . . . . . . . . . . . 16
166	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
167	166	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^
168	139, 167	eldifd 3585	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $\$
169	161, 164, 168, 114	disjiun2 39226	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
170		undif4 4035	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$
171	169, 170	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $\$ $\$
172	171	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^ $\$ $\$
173		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^
174	153, 138	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^
175	120	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
176		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
177	176	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
178	177	iuneq1d 4545	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
179		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
180		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
181	180, 141	iunex 7147	. . . . . . . . . . . . . . . 16
182	181	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
183	175, 178, 179, 182	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
184	173, 174, 183	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
185	184	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
186		difid 3948	. . . . . . . . . . . . 13 $\$
187	186	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $\$
188	185, 187	uneq12d 3768	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $\$
189		un0 3967	. . . . . . . . . . . 12
190	189	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
191	188, 190	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^ $\$
192	156, 172, 191	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $\$
193	192	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $\$
194	150, 193	oveq12d 6668	. . . . . . 7 $/\$ ..^ $\$
195	194	3adant3 1081	. . . . . 6 $/\$ ..^ $/\$ Σ^{^} $\$
196	39	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ OutMeas
197	45	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
198	197, 139	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
199		simpll 790	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
200	97	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ $/\$
201		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
202	201	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ $/\$
203		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
204	203	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ $/\$
205	200, 202, 204	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ $/\$ $/\$ $/\$
206		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
207	205, 206	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ $/\$
208	207, 138	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^ $/\$
209	208	adantll 750	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $/\$
210	39, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16
211	210	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
212	45	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
213	211, 212	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
214		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . 14
215	213, 214	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
216	199, 209, 215	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$
217	216	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
218		iunss 4561	. . . . . . . . . . 11
219	217, 218	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
220	144, 219	eqsstrd 3639	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
221	196, 42, 41, 198, 220	caragensplit 40714	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $\$
222	221	eqcomd 2628	. . . . . . 7 $/\$ ..^ $\$
223	222	3adant3 1081	. . . . . 6 $/\$ ..^ $/\$ Σ^{^} $\$
224	196	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^ $/\$ OutMeas
225	173	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
226		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . 13
227	226, 138	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . 12
228	227	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$
229	45, 210	fssd 6057	. . . . . . . . . . . . 13
230	229	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
231	230, 57	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$
232	225, 228, 231	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^ $/\$
233	224, 41, 232	omecl 40717	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $/\$
234		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10
235	234	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9
236	153, 233, 235	sge0p1 40631	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ Σ^{^} Σ^{^}
237	236	3adant3 1081	. . . . . . 7 $/\$ ..^ $/\$ Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^}
238		id 22	. . . . . . . . . 10 Σ^{^} Σ^{^}
239	238	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 Σ^{^} Σ^{^}
240	239	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 Σ^{^} Σ^{^}
241	240	3ad2ant3 1084	. . . . . . 7 $/\$ ..^ $/\$ Σ^{^} Σ^{^}
242		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
243	163	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
244	243	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
245	242, 244, 215	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
246	245	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
247	246	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
248		iunss 4561	. . . . . . . . . . . . 13
249	247, 248	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
250	183, 249	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . 11 $/\$
251	173, 174, 250	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
252	196, 41, 251	omexrcl 40721	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
253	116, 219	sstrd 3613	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
254	196, 41, 253	omexrcl 40721	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
255	252, 254	xaddcomd 39540	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
256	255	3adant3 1081	. . . . . . 7 $/\$ ..^ $/\$ Σ^{^}
257	237, 241, 256	3eqtrd 2660	. . . . . 6 $/\$ ..^ $/\$ Σ^{^} Σ^{^}
258	195, 223, 257	3eqtr4d 2666	. . . . 5 $/\$ ..^ $/\$ Σ^{^} Σ^{^}
259	92, 93, 96, 258	syl3anc 1326	. . . 4 ..^ $/\$ Σ^{^} $/\$ Σ^{^}
260	259	3exp 1264	. . 3 ..^ Σ^{^} Σ^{^}
261	11, 18, 25, 32, 91, 260	fzind2 12586	. 2 Σ^{^}
262	3, 4, 261	sylc 65	1 Σ^{^}

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912

cvv 3200 $\$ cdif 3571

cun 3572

cin 3573

wss 3574

c0 3915

csn 4177

cuni 4436

ciun 4520 Disj wdisj 4620 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cdm 5114

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cpnf 10071

cle 10075

cz 11377

cuz 11687

cxad 11944

cicc 12178

cfz 12326 ..^cfzo 12465 Σ^{^}csumge0 40579 OutMeascome 40703 CaraGenccaragen 40705

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-disj 4621 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-oi 8415 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-xadd 11947 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 df-sumge0 40580 df-ome 40704 df-caragen 40706

This theorem is referenced by: caratheodorylem2 40741

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