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Theorem cpnord 23698
Description: C^n conditions are ordered by strength. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
cpnord |- ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( C^n ` S ) ` N ) C_ ( ( C^n ` S ) ` M ) )
Proof of Theorem cpnord
Dummy variables f n m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6191 . . . . . 6 |- ( n = M -> ( ( C^n ` S ) ` n ) = ( ( C^n ` S ) ` M ) )
21sseq1d 3632 . . . . 5 |- ( n = M -> ( ( ( C^n ` S ) ` n ) C_ ( ( C^n ` S ) ` M ) <-> ( ( C^n ` S ) ` M ) C_ ( ( C^n ` S ) ` M ) ) )
32imbi2d 330 . . . 4 |- ( n = M -> ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) -> ( ( C^n ` S ) ` n ) C_ ( ( C^n ` S ) ` M ) ) <-> ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) -> ( ( C^n ` S ) ` M ) C_ ( ( C^n ` S ) ` M ) ) ) )
4 fveq2 6191 . . . . . 6 |- ( n = m -> ( ( C^n ` S ) ` n ) = ( ( C^n ` S ) ` m ) )
54sseq1d 3632 . . . . 5 |- ( n = m -> ( ( ( C^n ` S ) ` n ) C_ ( ( C^n ` S ) ` M ) <-> ( ( C^n ` S ) ` m ) C_ ( ( C^n ` S ) ` M ) ) )
65imbi2d 330 . . . 4 |- ( n = m -> ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) -> ( ( C^n ` S ) ` n ) C_ ( ( C^n ` S ) ` M ) ) <-> ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) -> ( ( C^n ` S ) ` m ) C_ ( ( C^n ` S ) ` M ) ) ) )
7 fveq2 6191 . . . . . 6 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( C^n ` S ) ` n ) = ( ( C^n ` S ) ` ( m + 1 ) ) )
87sseq1d 3632 . . . . 5 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( ( C^n ` S ) ` n ) C_ ( ( C^n ` S ) ` M ) <-> ( ( C^n ` S ) ` ( m + 1 ) ) C_ ( ( C^n ` S ) ` M ) ) )
98imbi2d 330 . . . 4 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) -> ( ( C^n ` S ) ` n ) C_ ( ( C^n ` S ) ` M ) ) <-> ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) -> ( ( C^n ` S ) ` ( m + 1 ) ) C_ ( ( C^n ` S ) ` M ) ) ) )
10 fveq2 6191 . . . . . 6 |- ( n = N -> ( ( C^n ` S ) ` n ) = ( ( C^n ` S ) ` N ) )
1110sseq1d 3632 . . . . 5 |- ( n = N -> ( ( ( C^n ` S ) ` n ) C_ ( ( C^n ` S ) ` M ) <-> ( ( C^n ` S ) ` N ) C_ ( ( C^n ` S ) ` M ) ) )
1211imbi2d 330 . . . 4 |- ( n = N -> ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) -> ( ( C^n ` S ) ` n ) C_ ( ( C^n ` S ) ` M ) ) <-> ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) -> ( ( C^n ` S ) ` N ) C_ ( ( C^n ` S ) ` M ) ) ) )
13 ssid 3624 . . . . 5 |- ( ( C^n ` S ) ` M ) C_ ( ( C^n ` S ) ` M )
14132a1i 12 . . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) -> ( ( C^n ` S ) ` M ) C_ ( ( C^n ` S ) ` M ) ) )
15 simprl 794 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( f e. ( CC ^pm S ) /\ ( ( S Dn f ) ` ( m + 1 ) ) e. ( dom f -cn-> CC ) ) ) -> f e. ( CC ^pm S ) )
16 recnprss 23668 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S e. { RR , CC } -> S C_ CC )
1716ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> S C_ CC )
1817adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( f e. ( CC ^pm S ) /\ ( ( S Dn f ) ` ( m + 1 ) ) e. ( dom f -cn-> CC ) ) ) -> S C_ CC )
19 simplll 798 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( f e. ( CC ^pm S ) /\ ( ( S Dn f ) ` ( m + 1 ) ) e. ( dom f -cn-> CC ) ) ) -> S e. { RR , CC } )
20 eluznn0 11757 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. NN0 /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> m e. NN0 )
2120adantll 750 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> m e. NN0 )
2221adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( f e. ( CC ^pm S ) /\ ( ( S Dn f ) ` ( m + 1 ) ) e. ( dom f -cn-> CC ) ) ) -> m e. NN0 )
23 dvnf 23690 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ f e. ( CC ^pm S ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( S Dn f ) ` m ) : dom ( ( S Dn f ) ` m ) --> CC )
2419, 15, 22, 23syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( f e. ( CC ^pm S ) /\ ( ( S Dn f ) ` ( m + 1 ) ) e. ( dom f -cn-> CC ) ) ) -> ( ( S Dn f ) ` m ) : dom ( ( S Dn f ) ` m ) --> CC )
25 dvnbss 23691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ f e. ( CC ^pm S ) /\ m e. NN0 ) -> dom ( ( S Dn f ) ` m ) C_ dom f )
2619, 15, 22, 25syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( f e. ( CC ^pm S ) /\ ( ( S Dn f ) ` ( m + 1 ) ) e. ( dom f -cn-> CC ) ) ) -> dom ( ( S Dn f ) ` m ) C_ dom f )
27 dvnp1 23688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( S C_ CC /\ f e. ( CC ^pm S ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( S Dn f ) ` ( m + 1 ) ) = ( S _D ( ( S Dn f ) ` m ) ) )
2818, 15, 22, 27syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( f e. ( CC ^pm S ) /\ ( ( S Dn f ) ` ( m + 1 ) ) e. ( dom f -cn-> CC ) ) ) -> ( ( S Dn f ) ` ( m + 1 ) ) = ( S _D ( ( S Dn f ) ` m ) ) )
29 simprr 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( f e. ( CC ^pm S ) /\ ( ( S Dn f ) ` ( m + 1 ) ) e. ( dom f -cn-> CC ) ) ) -> ( ( S Dn f ) ` ( m + 1 ) ) e. ( dom f -cn-> CC ) )
3028, 29eqeltrrd 2702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( f e. ( CC ^pm S ) /\ ( ( S Dn f ) ` ( m + 1 ) ) e. ( dom f -cn-> CC ) ) ) -> ( S _D ( ( S Dn f ) ` m ) ) e. ( dom f -cn-> CC ) )
31 cncff 22696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( S _D ( ( S Dn f ) ` m ) ) e. ( dom f -cn-> CC ) -> ( S _D ( ( S Dn f ) ` m ) ) : dom f --> CC )
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( f e. ( CC ^pm S ) /\ ( ( S Dn f ) ` ( m + 1 ) ) e. ( dom f -cn-> CC ) ) ) -> ( S _D ( ( S Dn f ) ` m ) ) : dom f --> CC )
33 fdm 6051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( S _D ( ( S Dn f ) ` m ) ) : dom f --> CC -> dom ( S _D ( ( S Dn f ) ` m ) ) = dom f )
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( f e. ( CC ^pm S ) /\ ( ( S Dn f ) ` ( m + 1 ) ) e. ( dom f -cn-> CC ) ) ) -> dom ( S _D ( ( S Dn f ) ` m ) ) = dom f )
35 cnex 10017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- CC e. _V
36 elpm2g 7874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( CC e. _V /\ S e. { RR , CC } ) -> ( f e. ( CC ^pm S ) <-> ( f : dom f --> CC /\ dom f C_ S ) ) )
3735, 19, 36sylancr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( f e. ( CC ^pm S ) /\ ( ( S Dn f ) ` ( m + 1 ) ) e. ( dom f -cn-> CC ) ) ) -> ( f e. ( CC ^pm S ) <-> ( f : dom f --> CC /\ dom f C_ S ) ) )
3815, 37mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( f e. ( CC ^pm S ) /\ ( ( S Dn f ) ` ( m + 1 ) ) e. ( dom f -cn-> CC ) ) ) -> ( f : dom f --> CC /\ dom f C_ S ) )
3938simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( f e. ( CC ^pm S ) /\ ( ( S Dn f ) ` ( m + 1 ) ) e. ( dom f -cn-> CC ) ) ) -> dom f C_ S )
4026, 39sstrd 3613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( f e. ( CC ^pm S ) /\ ( ( S Dn f ) ` ( m + 1 ) ) e. ( dom f -cn-> CC ) ) ) -> dom ( ( S Dn f ) ` m ) C_ S )
4118, 24, 40dvbss 23665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( f e. ( CC ^pm S ) /\ ( ( S Dn f ) ` ( m + 1 ) ) e. ( dom f -cn-> CC ) ) ) -> dom ( S _D ( ( S Dn f ) ` m ) ) C_ dom ( ( S Dn f ) ` m ) )
4234, 41eqsstr3d 3640 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( f e. ( CC ^pm S ) /\ ( ( S Dn f ) ` ( m + 1 ) ) e. ( dom f -cn-> CC ) ) ) -> dom f C_ dom ( ( S Dn f ) ` m ) )
4326, 42eqssd 3620 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( f e. ( CC ^pm S ) /\ ( ( S Dn f ) ` ( m + 1 ) ) e. ( dom f -cn-> CC ) ) ) -> dom ( ( S Dn f ) ` m ) = dom f )
4443feq2d 6031 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( f e. ( CC ^pm S ) /\ ( ( S Dn f ) ` ( m + 1 ) ) e. ( dom f -cn-> CC ) ) ) -> ( ( ( S Dn f ) ` m ) : dom ( ( S Dn f ) ` m ) --> CC <-> ( ( S Dn f ) ` m ) : dom f --> CC ) )
4524, 44mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( f e. ( CC ^pm S ) /\ ( ( S Dn f ) ` ( m + 1 ) ) e. ( dom f -cn-> CC ) ) ) -> ( ( S Dn f ) ` m ) : dom f --> CC )
46 dvcn 23684 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ CC /\ ( ( S Dn f ) ` m ) : dom f --> CC /\ dom f C_ S ) /\ dom ( S _D ( ( S Dn f ) ` m ) ) = dom f ) -> ( ( S Dn f ) ` m ) e. ( dom f -cn-> CC ) )
4718, 45, 39, 34, 46syl31anc 1329 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( f e. ( CC ^pm S ) /\ ( ( S Dn f ) ` ( m + 1 ) ) e. ( dom f -cn-> CC ) ) ) -> ( ( S Dn f ) ` m ) e. ( dom f -cn-> CC ) )
4815, 47jca 554 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( f e. ( CC ^pm S ) /\ ( ( S Dn f ) ` ( m + 1 ) ) e. ( dom f -cn-> CC ) ) ) -> ( f e. ( CC ^pm S ) /\ ( ( S Dn f ) ` m ) e. ( dom f -cn-> CC ) ) )
4948ex 450 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( f e. ( CC ^pm S ) /\ ( ( S Dn f ) ` ( m + 1 ) ) e. ( dom f -cn-> CC ) ) -> ( f e. ( CC ^pm S ) /\ ( ( S Dn f ) ` m ) e. ( dom f -cn-> CC ) ) ) )
50 peano2nn0 11333 . . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN0 -> ( m + 1 ) e. NN0 )
5121, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( m + 1 ) e. NN0 )
52 elcpn 23697 . . . . . . . . . 10 |- ( ( S C_ CC /\ ( m + 1 ) e. NN0 ) -> ( f e. ( ( C^n ` S ) ` ( m + 1 ) ) <-> ( f e. ( CC ^pm S ) /\ ( ( S Dn f ) ` ( m + 1 ) ) e. ( dom f -cn-> CC ) ) ) )
5317, 51, 52syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( f e. ( ( C^n ` S ) ` ( m + 1 ) ) <-> ( f e. ( CC ^pm S ) /\ ( ( S Dn f ) ` ( m + 1 ) ) e. ( dom f -cn-> CC ) ) ) )
54 elcpn 23697 . . . . . . . . . 10 |- ( ( S C_ CC /\ m e. NN0 ) -> ( f e. ( ( C^n ` S ) ` m ) <-> ( f e. ( CC ^pm S ) /\ ( ( S Dn f ) ` m ) e. ( dom f -cn-> CC ) ) ) )
5517, 21, 54syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( f e. ( ( C^n ` S ) ` m ) <-> ( f e. ( CC ^pm S ) /\ ( ( S Dn f ) ` m ) e. ( dom f -cn-> CC ) ) ) )
5649, 53, 553imtr4d 283 . . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( f e. ( ( C^n ` S ) ` ( m + 1 ) ) -> f e. ( ( C^n ` S ) ` m ) ) )
5756ssrdv 3609 . . . . . . 7 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( C^n ` S ) ` ( m + 1 ) ) C_ ( ( C^n ` S ) ` m ) )
58 sstr2 3610 . . . . . . 7 |- ( ( ( C^n ` S ) ` ( m + 1 ) ) C_ ( ( C^n ` S ) ` m ) -> ( ( ( C^n ` S ) ` m ) C_ ( ( C^n ` S ) ` M ) -> ( ( C^n ` S ) ` ( m + 1 ) ) C_ ( ( C^n ` S ) ` M ) ) )
5957, 58syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( C^n ` S ) ` m ) C_ ( ( C^n ` S ) ` M ) -> ( ( C^n ` S ) ` ( m + 1 ) ) C_ ( ( C^n ` S ) ` M ) ) )
6059expcom 451 . . . . 5 |- ( m e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( C^n ` S ) ` m ) C_ ( ( C^n ` S ) ` M ) -> ( ( C^n ` S ) ` ( m + 1 ) ) C_ ( ( C^n ` S ) ` M ) ) ) )
6160a2d 29 . . . 4 |- ( m e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) -> ( ( C^n ` S ) ` m ) C_ ( ( C^n ` S ) ` M ) ) -> ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) -> ( ( C^n ` S ) ` ( m + 1 ) ) C_ ( ( C^n ` S ) ` M ) ) ) )
623, 6, 9, 12, 14, 61uzind4 11746 . . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) -> ( ( C^n ` S ) ` N ) C_ ( ( C^n ` S ) ` M ) ) )
6362com12 32 . 2 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( C^n ` S ) ` N ) C_ ( ( C^n ` S ) ` M ) ) )
64633impia 1261 1 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( C^n ` S ) ` N ) C_ ( ( C^n ` S ) ` M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {cpr 4179   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^pm cpm 7858   CCcc 9934   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   -cn->ccncf 22679   _D cdv 23627   Dncdvn 23628   C^nccpn 23629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-dvn 23632  df-cpn 23633
This theorem is referenced by:  cpncn  23699  c1lip2  23761
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