Theorem cvxpconn 31224

Description: A convex subset of the complex numbers is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvxpconn.1	|- ( ph -> S C_ CC )
cvxpconn.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) e. S )
cvxpconn.3	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )
cvxpconn.4	|- K = ( J ↾t S )

Assertion

Ref	Expression
cvxpconn	|- ( ph -> K e. PConn )

Distinct variable groups:   t, J   x, t, y, K   ph, t, x, y   t, S, x, y

Allowed substitution hints:   J( x, y)

Proof of Theorem cvxpconn

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvxpconn.4	. . 3 |- K = ( J ↾t S )
2		cvxpconn.3	. . . . 5 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
3	2	cnfldtop 22587	. . . 4 |- J e. Top
4		cvxpconn.1	. . . . 5 |- ( ph -> S C_ CC )
5		cnex 10017	. . . . 5 |- CC e. _V
6		ssexg 4804	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ CC e. _V ) -> S e. _V )
7	4, 5, 6	sylancl 694	. . . 4 |- ( ph -> S e. _V )
8		resttop 20964	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S e. _V ) -> ( J ↾t S ) e. Top )
9	3, 7, 8	sylancr 695	. . 3 |- ( ph -> ( J ↾t S ) e. Top )
10	1, 9	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ph -> K e. Top )
11	2	dfii3 22686	. . . . . . . 8 |- II = ( J ↾t ( 0 [,] 1 ) )
12	2	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . 9 |- J e. (TopOn ` CC )
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> J e. (TopOn ` CC ) )
14		unitssre 12319	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 [,] 1 ) C_ RR
15		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . 10 |- RR C_ CC
16	14, 15	sstri 3612	. . . . . . . . 9 |- ( 0 [,] 1 ) C_ CC
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> ( 0 [,] 1 ) C_ CC )
18	13	cnmptid 21464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> ( t e. CC |-> t ) e. ( J Cn J ) )
19	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> S C_ CC )
20		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> x e. S )
21	19, 20	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> x e. CC )
22	13, 13, 21	cnmptc 21465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> ( t e. CC |-> x ) e. ( J Cn J ) )
23	2	mulcn 22670	. . . . . . . . . . 11 |- x. e. ( ( J tX J ) Cn J )
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> x. e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
25	13, 18, 22, 24	cnmpt12f 21469	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> ( t e. CC |-> ( t x. x ) ) e. ( J Cn J ) )
26		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> 1 e. CC )
27	13, 13, 26	cnmptc 21465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> ( t e. CC |-> 1 ) e. ( J Cn J ) )
28	2	subcn 22669	. . . . . . . . . . . 12 |- - e. ( ( J tX J ) Cn J )
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> - e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
30	13, 27, 18, 29	cnmpt12f 21469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> ( t e. CC |-> ( 1 - t ) ) e. ( J Cn J ) )
31		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> y e. S )
32	19, 31	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> y e. CC )
33	13, 13, 32	cnmptc 21465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> ( t e. CC |-> y ) e. ( J Cn J ) )
34	13, 30, 33, 24	cnmpt12f 21469	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> ( t e. CC |-> ( ( 1 - t ) x. y ) ) e. ( J Cn J ) )
35	2	addcn 22668	. . . . . . . . . 10 |- + e. ( ( J tX J ) Cn J )
36	35	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> + e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
37	13, 25, 34, 36	cnmpt12f 21469	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> ( t e. CC |-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) e. ( J Cn J ) )
38	11, 13, 17, 37	cnmpt1res 21479	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) e. ( II Cn J ) )
39		cvxpconn.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) e. S )
40	39	3exp2 1285	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. S -> ( y e. S -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) e. S ) ) ) )
41	40	com23 86	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( y e. S -> ( x e. S -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) e. S ) ) ) )
42	41	imp42 620	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) e. S )
43		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) = ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) )
44	42, 43	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> S )
45		frn 6053	. . . . . . . . 9 |- ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> S -> ran ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) C_ S )
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> ran ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) C_ S )
47		cnrest2 21090	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ ran ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) C_ S /\ S C_ CC ) -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) e. ( II Cn J ) <-> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) e. ( II Cn ( J ↾t S ) ) ) )
48	13, 46, 19, 47	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) e. ( II Cn J ) <-> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) e. ( II Cn ( J ↾t S ) ) ) )
49	38, 48	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) e. ( II Cn ( J ↾t S ) ) )
50	1	oveq2i 6661	. . . . . 6 |- ( II Cn K ) = ( II Cn ( J ↾t S ) )
51	49, 50	syl6eleqr 2712	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) e. ( II Cn K ) )
52		0elunit 12290	. . . . . . 7 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
53		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( t = 0 -> ( t x. x ) = ( 0 x. x ) )
54		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = 0 -> ( 1 - t ) = ( 1 - 0 ) )
55		1m0e1 11131	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 - 0 ) = 1
56	54, 55	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( t = 0 -> ( 1 - t ) = 1 )
57	56	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( t = 0 -> ( ( 1 - t ) x. y ) = ( 1 x. y ) )
58	53, 57	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( t = 0 -> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) = ( ( 0 x. x ) + ( 1 x. y ) ) )
59		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 x. x ) + ( 1 x. y ) ) e. _V
60	58, 43, 59	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( 0 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) ` 0 ) = ( ( 0 x. x ) + ( 1 x. y ) ) )
61	52, 60	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) ` 0 ) = ( ( 0 x. x ) + ( 1 x. y ) )
62	21	mul02d 10234	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> ( 0 x. x ) = 0 )
63	32	mulid2d 10058	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> ( 1 x. y ) = y )
64	62, 63	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> ( ( 0 x. x ) + ( 1 x. y ) ) = ( 0 + y ) )
65	32	addid2d 10237	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> ( 0 + y ) = y )
66	64, 65	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> ( ( 0 x. x ) + ( 1 x. y ) ) = y )
67	61, 66	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) ` 0 ) = y )
68		1elunit 12291	. . . . . . 7 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
69		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( t = 1 -> ( t x. x ) = ( 1 x. x ) )
70		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = 1 -> ( 1 - t ) = ( 1 - 1 ) )
71		1m1e0 11089	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 - 1 ) = 0
72	70, 71	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( t = 1 -> ( 1 - t ) = 0 )
73	72	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( t = 1 -> ( ( 1 - t ) x. y ) = ( 0 x. y ) )
74	69, 73	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( t = 1 -> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) = ( ( 1 x. x ) + ( 0 x. y ) ) )
75		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 x. x ) + ( 0 x. y ) ) e. _V
76	74, 43, 75	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) ` 1 ) = ( ( 1 x. x ) + ( 0 x. y ) ) )
77	68, 76	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) ` 1 ) = ( ( 1 x. x ) + ( 0 x. y ) )
78	21	mulid2d 10058	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> ( 1 x. x ) = x )
79	32	mul02d 10234	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> ( 0 x. y ) = 0 )
80	78, 79	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> ( ( 1 x. x ) + ( 0 x. y ) ) = ( x + 0 ) )
81	21	addid1d 10236	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> ( x + 0 ) = x )
82	80, 81	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> ( ( 1 x. x ) + ( 0 x. y ) ) = x )
83	77, 82	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) ` 1 ) = x )
84		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( f = ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) -> ( f ` 0 ) = ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) ` 0 ) )
85	84	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( f = ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) -> ( ( f ` 0 ) = y <-> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) ` 0 ) = y ) )
86		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( f = ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) -> ( f ` 1 ) = ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) ` 1 ) )
87	86	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( f = ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) -> ( ( f ` 1 ) = x <-> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) ` 1 ) = x ) )
88	85, 87	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( f = ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) -> ( ( ( f ` 0 ) = y /\ ( f ` 1 ) = x ) <-> ( ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) ` 0 ) = y /\ ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) ` 1 ) = x ) ) )
89	88	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) e. ( II Cn K ) /\ ( ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) ` 0 ) = y /\ ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) ) ` 1 ) = x ) ) -> E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = y /\ ( f ` 1 ) = x ) )
90	51, 67, 83, 89	syl12anc 1324	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. S ) ) -> E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = y /\ ( f ` 1 ) = x ) )
91	90	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ph -> A. y e. S A. x e. S E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = y /\ ( f ` 1 ) = x ) )
92		resttopon 20965	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
93	12, 4, 92	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
94	1, 93	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ph -> K e. (TopOn ` S ) )
95		toponuni 20719	. . . . 5 |- ( K e. (TopOn ` S ) -> S = U. K )
96	94, 95	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> S = U. K )
97	96	raleqdv 3144	. . . 4 |- ( ph -> ( A. x e. S E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = y /\ ( f ` 1 ) = x ) <-> A. x e. U. K E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = y /\ ( f ` 1 ) = x ) ) )
98	96, 97	raleqbidv 3152	. . 3 |- ( ph -> ( A. y e. S A. x e. S E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = y /\ ( f ` 1 ) = x ) <-> A. y e. U. K A. x e. U. K E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = y /\ ( f ` 1 ) = x ) ) )
99	91, 98	mpbid 222	. 2 |- ( ph -> A. y e. U. K A. x e. U. K E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = y /\ ( f ` 1 ) = x ) )
100		eqid 2622	. . 3 |- U. K = U. K
101	100	ispconn 31205	. 2 |- ( K e. PConn <-> ( K e. Top /\ A. y e. U. K A. x e. U. K E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = y /\ ( f ` 1 ) = x ) ) )
102	10, 99, 101	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> K e. PConn )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   [,]cicc 12178   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   tX ctx 21363   IIcii 22678  PConncpconn 31201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-ii 22680  df-pconn 31203

This theorem is referenced by:  cvxsconn  31225