Theorem dchrisum0lem3 25208

Description: Lemma for dchrisum0 25209. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum2.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum2.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum2.1	|- .1. = ( 0g ` G )
rpvmasum2.w	|- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
dchrisum0.b	|- ( ph -> X e. W )
dchrisum0lem1.f	|- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
dchrisum0.c	|- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0.s	|- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
dchrisum0.1	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0lem3	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   x, m, y, .1.   m, d, x, y, C   F, d, x, y   a, d, m, x, y   m, N, x, y   ph, d, m, x   S, d, m, x, y   x, W   m, Z, x, y   D, m, x, y   L, a, d, m, x, y   X, a, d, m, x, y   m, F

Allowed substitution hints:   ph( y, a)   C( a)   D( a, d)   S( a)   .1. ( a, d)   F( a)   G( x, y, m, a, d)   N( a, d)   W( y, m, a, d)   Z( a, d)

Proof of Theorem dchrisum0lem3

Dummy variables c t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 10055	. 2 |- ( ph -> 1 e. RR )
2		sumex 14418	. . . 4 |- sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. _V
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. _V )
4		sumex 14418	. . . 4 |- sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. _V
5	4	a1i 11	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. _V )
6		rpvmasum.z	. . . . 5 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
7		rpvmasum.l	. . . . 5 |- L = ( ZRHom ` Z )
8		rpvmasum.a	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN )
9		rpvmasum2.g	. . . . 5 |- G = (DChr ` N )
10		rpvmasum2.d	. . . . 5 |- D = ( Base ` G )
11		rpvmasum2.1	. . . . 5 |- .1. = ( 0g ` G )
12		rpvmasum2.w	. . . . . . . 8 |- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
13		ssrab2 3687	. . . . . . . 8 |- { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 } C_ ( D \ { .1. } )
14	12, 13	eqsstri 3635	. . . . . . 7 |- W C_ ( D \ { .1. } )
15		difss 3737	. . . . . . 7 |- ( D \ { .1. } ) C_ D
16	14, 15	sstri 3612	. . . . . 6 |- W C_ D
17		dchrisum0.b	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. W )
18	16, 17	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ph -> X e. D )
19	14, 17	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. ( D \ { .1. } ) )
20		eldifsni 4320	. . . . . 6 |- ( X e. ( D \ { .1. } ) -> X =/= .1. )
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> X =/= .1. )
22		eqid 2622	. . . . 5 |- ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) )
23	6, 7, 8, 9, 10, 11, 18, 21, 22	dchrmusumlema 25182	. . . 4 |- ( ph -> E. t E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) )
24	8	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) ) ) -> N e. NN )
25	17	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) ) ) -> X e. W )
26		dchrisum0lem1.f	. . . . . . 7 |- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
27		dchrisum0.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
28	27	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) ) ) -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
29		dchrisum0.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
30	29	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) ) ) -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
31		dchrisum0.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` y ) ) )
32	31	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) ) ) -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` y ) ) )
33		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( y e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) ) = ( y e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) )
34	33	divsqrsum 24708	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) ) e. dom ~~> r
35	33	divsqrsumf 24707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) ) : RR+ --> RR
36		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . 12 |- RR C_ CC
37		fss 6056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) ) : RR+ --> RR /\ RR C_ CC ) -> ( y e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) ) : RR+ --> CC )
38	35, 36, 37	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) ) : RR+ --> CC
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( y e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) ) : RR+ --> CC )
40		rpsup 12665	. . . . . . . . . . 11 |- sup ( RR+ , RR* , < ) = +oo
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sup ( RR+ , RR* , < ) = +oo )
42	39, 41	rlimdm 14282	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( y e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) ) e. dom ~~> r <-> ( y e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) ) ~~> r ( ~~> r ` ( y e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) ) ) ) )
43	34, 42	mpbii 223	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) ) ~~> r ( ~~> r ` ( y e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) ) ) )
44	43	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) ) ) -> ( y e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) ) ~~> r ( ~~> r ` ( y e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) ) ) )
45		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) ) ) -> c e. ( 0 [,) +oo ) )
46		simprrl 804	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) ) ) -> seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t )
47		simprrr 805	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) ) ) -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) )
48	6, 7, 24, 9, 10, 11, 12, 25, 26, 28, 30, 32, 33, 44, 22, 45, 46, 47	dchrisum0lem2 25207	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) ) ) -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. O(1) )
49	48	rexlimdvaa 3032	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. O(1) ) )
50	49	exlimdv 1861	. . . 4 |- ( ph -> ( E. t E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. O(1) ) )
51	23, 50	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. O(1) )
52	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 17, 26, 27, 29, 31	dchrisum0lem1 25205	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. O(1) )
53	3, 5, 51, 52	o1add2 14354	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) + sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) ) e. O(1) )
54		ovexd 6680	. 2 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) + sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. _V )
55		fzfid 12772	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) e. Fin )
56		fzfid 12772	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) e. Fin )
57	18	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) ) -> X e. D )
58		elfzelz 12342	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) -> m e. ZZ )
59	58	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) ) -> m e. ZZ )
60	9, 6, 10, 7, 57, 59	dchrzrhcl 24970	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
61	60	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
62		elfznn 12370	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) -> m e. NN )
63	62	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) ) -> m e. NN )
64	63	nnrpd 11870	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) ) -> m e. RR+ )
65		elfznn 12370	. . . . . . . . 9 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) -> d e. NN )
66	65	nnrpd 11870	. . . . . . . 8 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) -> d e. RR+ )
67		rpmulcl 11855	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. RR+ /\ d e. RR+ ) -> ( m x. d ) e. RR+ )
68	64, 66, 67	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( m x. d ) e. RR+ )
69	68	rpsqrtcld 14150	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( sqr ` ( m x. d ) ) e. RR+ )
70	69	rpcnd 11874	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( sqr ` ( m x. d ) ) e. CC )
71	69	rpne0d 11877	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( sqr ` ( m x. d ) ) =/= 0 )
72	61, 70, 71	divcld 10801	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) e. CC )
73	56, 72	fsumcl 14464	. . 3 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) e. CC )
74	55, 73	fsumcl 14464	. 2 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) e. CC )
75	74	abscld 14175	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) e. RR )
76	75	adantrr 753	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) e. RR )
77	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> m e. NN )
78	77	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> m e. RR+ )
79	78	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( m e. RR /\ 0 <_ m ) )
80	65	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> d e. NN )
81	80	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> d e. RR+ )
82	81	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( d e. RR /\ 0 <_ d ) )
83		sqrtmul 14000	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m e. RR /\ 0 <_ m ) /\ ( d e. RR /\ 0 <_ d ) ) -> ( sqr ` ( m x. d ) ) = ( ( sqr ` m ) x. ( sqr ` d ) ) )
84	79, 82, 83	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( sqr ` ( m x. d ) ) = ( ( sqr ` m ) x. ( sqr ` d ) ) )
85	84	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( ( sqr ` m ) x. ( sqr ` d ) ) ) )
86	78	rpsqrtcld 14150	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( sqr ` m ) e. RR+ )
87	86	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) )
88	81	rpsqrtcld 14150	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( sqr ` d ) e. RR+ )
89	88	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( ( sqr ` d ) e. CC /\ ( sqr ` d ) =/= 0 ) )
90		divdiv1 10736	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X ` ( L ` m ) ) e. CC /\ ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) /\ ( ( sqr ` d ) e. CC /\ ( sqr ` d ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( ( sqr ` m ) x. ( sqr ` d ) ) ) )
91	61, 87, 89, 90	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( ( sqr ` m ) x. ( sqr ` d ) ) ) )
92	85, 91	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) )
93	92	sumeq2dv 14433	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) )
94	93	sumeq2dv 14433	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) )
95	94	adantrr 753	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) )
96		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
97	96	rpred 11872	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR )
98		reflcl 12597	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) e. RR )
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` x ) e. RR )
100	99	ltp1d 10954	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` x ) < ( ( |_ ` x ) + 1 ) )
101		fzdisj 12368	. . . . . . . 8 |- ( ( |_ ` x ) < ( ( |_ ` x ) + 1 ) -> ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) ) = (/) )
102	100, 101	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) ) = (/) )
103	102	adantrr 753	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) i^i ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) ) = (/) )
104	96	rprege0d 11879	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
105		flge0nn0 12621	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN0 )
106		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . 10 |- ( ( |_ ` x ) e. NN0 -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN )
107	104, 105, 106	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN )
108		nnuz 11723	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
109	107, 108	syl6eleq 2711	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
110	109	adantrr 753	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
111	97	adantrr 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x e. RR )
112		2z 11409	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
113		rpexpcl 12879	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
114	96, 112, 113	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
115	114	adantrr 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
116	115	rpred 11872	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( x ^ 2 ) e. RR )
117	111	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x e. CC )
118	117	mulid1d 10057	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( x x. 1 ) = x )
119		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 <_ x )
120		1red 10055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 e. RR )
121		rpregt0 11846	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
122	121	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
123		lemul2 10876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. RR /\ x e. RR /\ ( x e. RR /\ 0 < x ) ) -> ( 1 <_ x <-> ( x x. 1 ) <_ ( x x. x ) ) )
124	120, 111, 122, 123	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 1 <_ x <-> ( x x. 1 ) <_ ( x x. x ) ) )
125	119, 124	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( x x. 1 ) <_ ( x x. x ) )
126	118, 125	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x <_ ( x x. x ) )
127	117	sqvald 13005	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( x ^ 2 ) = ( x x. x ) )
128	126, 127	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x <_ ( x ^ 2 ) )
129		flword2 12614	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ ( x ^ 2 ) e. RR /\ x <_ ( x ^ 2 ) ) -> ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` x ) ) )
130	111, 116, 128, 129	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` x ) ) )
131		fzsplit2 12366	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) = ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) u. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) ) )
132	110, 130, 131	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) = ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) u. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) ) )
133		fzfid 12772	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) e. Fin )
134	93, 73	eqeltrrd 2702	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
135	134	adantlrr 757	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
136	103, 132, 133, 135	fsumsplit 14471	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) + sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) )
137	95, 136	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) + sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) )
138	137	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) = ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) + sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) ) )
139		eqle 10139	. . 3 |- ( ( ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) e. RR /\ ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) = ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) + sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) <_ ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) + sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) ) )
140	76, 138, 139	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) <_ ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) + sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) ) )
141	1, 53, 54, 74, 140	o1le 14383	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   [,)cico 12177   ...cfz 12326   |_cfl 12591   seqcseq 12801   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973   abscabs 13974   ~~> cli 14215   ~~> r crli 14216   O(1)co1 14217   sum_csu 14416   Basecbs 15857   0gc0g 16100   ZRHomczrh 19848  ℤ/nℤczn 19851  DChrcdchr 24957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-o1 14221  df-lo1 14222  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-phi 15471  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-qus 16169  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-od 17948  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-dchr 24958

This theorem is referenced by:  dchrisum0  25209