Theorem efifo 24293

Description: The exponential function of an imaginary number maps the reals onto the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
efifo.1	|- F = ( z e. RR |-> ( exp ` ( _i x. z ) ) )
efifo.2	|- C = ( `' abs " { 1 } )

Assertion

Ref	Expression
efifo	|- F : RR -onto-> C

Distinct variable group:   z, C

Allowed substitution hint:   F( z)

Proof of Theorem efifo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efifo.1	. . . 4 |- F = ( z e. RR |-> ( exp ` ( _i x. z ) ) )
2		ax-icn 9995	. . . . . . . 8 |- _i e. CC
3		recn 10026	. . . . . . . 8 |- ( z e. RR -> z e. CC )
4		mulcl 10020	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ z e. CC ) -> ( _i x. z ) e. CC )
5	2, 3, 4	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( z e. RR -> ( _i x. z ) e. CC )
6		efcl 14813	. . . . . . 7 |- ( ( _i x. z ) e. CC -> ( exp ` ( _i x. z ) ) e. CC )
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 |- ( z e. RR -> ( exp ` ( _i x. z ) ) e. CC )
8		absefi 14926	. . . . . 6 |- ( z e. RR -> ( abs ` ( exp ` ( _i x. z ) ) ) = 1 )
9		absf 14077	. . . . . . 7 |- abs : CC --> RR
10		ffn 6045	. . . . . . 7 |- ( abs : CC --> RR -> abs Fn CC )
11		fniniseg 6338	. . . . . . 7 |- ( abs Fn CC -> ( ( exp ` ( _i x. z ) ) e. ( `' abs " { 1 } ) <-> ( ( exp ` ( _i x. z ) ) e. CC /\ ( abs ` ( exp ` ( _i x. z ) ) ) = 1 ) ) )
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( ( exp ` ( _i x. z ) ) e. ( `' abs " { 1 } ) <-> ( ( exp ` ( _i x. z ) ) e. CC /\ ( abs ` ( exp ` ( _i x. z ) ) ) = 1 ) )
13	7, 8, 12	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( z e. RR -> ( exp ` ( _i x. z ) ) e. ( `' abs " { 1 } ) )
14		efifo.2	. . . . 5 |- C = ( `' abs " { 1 } )
15	13, 14	syl6eleqr 2712	. . . 4 |- ( z e. RR -> ( exp ` ( _i x. z ) ) e. C )
16	1, 15	fmpti 6383	. . 3 |- F : RR --> C
17		ffn 6045	. . 3 |- ( F : RR --> C -> F Fn RR )
18	16, 17	ax-mp 5	. 2 |- F Fn RR
19		frn 6053	. . . 4 |- ( F : RR --> C -> ran F C_ C )
20	16, 19	ax-mp 5	. . 3 |- ran F C_ C
21		df-ima 5127	. . . . 5 |- ( F " ( 0 (,] ( 2 x. pi ) ) ) = ran ( F |` ( 0 (,] ( 2 x. pi ) ) )
22	1	reseq1i 5392	. . . . . . . 8 |- ( F |` ( 0 (,] ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( z e. RR |-> ( exp ` ( _i x. z ) ) ) |` ( 0 (,] ( 2 x. pi ) ) )
23		0xr 10086	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR*
24		2re 11090	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
25		pire 24210	. . . . . . . . . . . . 13 |- pi e. RR
26	24, 25	remulcli 10054	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. pi ) e. RR
27		elioc2 12236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( 2 x. pi ) e. RR ) -> ( z e. ( 0 (,] ( 2 x. pi ) ) <-> ( z e. RR /\ 0 < z /\ z <_ ( 2 x. pi ) ) ) )
28	23, 26, 27	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( 0 (,] ( 2 x. pi ) ) <-> ( z e. RR /\ 0 < z /\ z <_ ( 2 x. pi ) ) )
29	28	simp1bi 1076	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( 0 (,] ( 2 x. pi ) ) -> z e. RR )
30	29	ssriv 3607	. . . . . . . . 9 |- ( 0 (,] ( 2 x. pi ) ) C_ RR
31		resmpt 5449	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 (,] ( 2 x. pi ) ) C_ RR -> ( ( z e. RR |-> ( exp ` ( _i x. z ) ) ) |` ( 0 (,] ( 2 x. pi ) ) ) = ( z e. ( 0 (,] ( 2 x. pi ) ) |-> ( exp ` ( _i x. z ) ) ) )
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. RR |-> ( exp ` ( _i x. z ) ) ) |` ( 0 (,] ( 2 x. pi ) ) ) = ( z e. ( 0 (,] ( 2 x. pi ) ) |-> ( exp ` ( _i x. z ) ) )
33	22, 32	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- ( F |` ( 0 (,] ( 2 x. pi ) ) ) = ( z e. ( 0 (,] ( 2 x. pi ) ) |-> ( exp ` ( _i x. z ) ) )
34	33	rneqi 5352	. . . . . 6 |- ran ( F |` ( 0 (,] ( 2 x. pi ) ) ) = ran ( z e. ( 0 (,] ( 2 x. pi ) ) |-> ( exp ` ( _i x. z ) ) )
35		0re 10040	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
36		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( 0 (,] ( 2 x. pi ) ) |-> ( exp ` ( _i x. z ) ) ) = ( z e. ( 0 (,] ( 2 x. pi ) ) |-> ( exp ` ( _i x. z ) ) )
37	26	recni 10052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. pi ) e. CC
38	37	addid2i 10224	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + ( 2 x. pi ) ) = ( 2 x. pi )
39	38	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 (,] ( 0 + ( 2 x. pi ) ) ) = ( 0 (,] ( 2 x. pi ) )
40	39	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9 |- ( 0 (,] ( 2 x. pi ) ) = ( 0 (,] ( 0 + ( 2 x. pi ) ) )
41	36, 14, 40	efif1o 24292	. . . . . . . 8 |- ( 0 e. RR -> ( z e. ( 0 (,] ( 2 x. pi ) ) |-> ( exp ` ( _i x. z ) ) ) : ( 0 (,] ( 2 x. pi ) ) -1-1-onto-> C )
42	35, 41	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( z e. ( 0 (,] ( 2 x. pi ) ) |-> ( exp ` ( _i x. z ) ) ) : ( 0 (,] ( 2 x. pi ) ) -1-1-onto-> C
43		f1ofo 6144	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ( 0 (,] ( 2 x. pi ) ) |-> ( exp ` ( _i x. z ) ) ) : ( 0 (,] ( 2 x. pi ) ) -1-1-onto-> C -> ( z e. ( 0 (,] ( 2 x. pi ) ) |-> ( exp ` ( _i x. z ) ) ) : ( 0 (,] ( 2 x. pi ) ) -onto-> C )
44		forn 6118	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ( 0 (,] ( 2 x. pi ) ) |-> ( exp ` ( _i x. z ) ) ) : ( 0 (,] ( 2 x. pi ) ) -onto-> C -> ran ( z e. ( 0 (,] ( 2 x. pi ) ) |-> ( exp ` ( _i x. z ) ) ) = C )
45	42, 43, 44	mp2b 10	. . . . . 6 |- ran ( z e. ( 0 (,] ( 2 x. pi ) ) |-> ( exp ` ( _i x. z ) ) ) = C
46	34, 45	eqtri 2644	. . . . 5 |- ran ( F |` ( 0 (,] ( 2 x. pi ) ) ) = C
47	21, 46	eqtri 2644	. . . 4 |- ( F " ( 0 (,] ( 2 x. pi ) ) ) = C
48		imassrn 5477	. . . 4 |- ( F " ( 0 (,] ( 2 x. pi ) ) ) C_ ran F
49	47, 48	eqsstr3i 3636	. . 3 |- C C_ ran F
50	20, 49	eqssi 3619	. 2 |- ran F = C
51		df-fo 5894	. 2 |- ( F : RR -onto-> C <-> ( F Fn RR /\ ran F = C ) )
52	18, 50, 51	mpbir2an 955	1 |- F : RR -onto-> C

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   _ici 9938   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   2c2 11070   (,]cioc 12176   abscabs 13974   expce 14792   picpi 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  circgrp  24298  circsubm  24299  circtopn  29904  circcn  29905