Theorem eff1olem 24294

Description: The exponential function maps the set S, of complex numbers with imaginary part in a real interval of length 2 x. pi, one-to-one onto the nonzero complex numbers. (Contributed by Paul Chapman, 16-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eff1olem.1	|- F = ( w e. D |-> ( exp ` ( _i x. w ) ) )
eff1olem.2	|- S = ( `' Im " D )
eff1olem.3	|- ( ph -> D C_ RR )
eff1olem.4	|- ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> ( abs ` ( x - y ) ) < ( 2 x. pi ) )
eff1olem.5	|- ( ( ph /\ z e. RR ) -> E. y e. D ( ( z - y ) / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
eff1olem	|- ( ph -> ( exp |` S ) : S -1-1-onto-> ( CC \ { 0 } ) )

Distinct variable groups:   x, w, y, z, D   x, F, y, z   ph, w, x, y, z   x, S, y

Allowed substitution hints:   S( z, w)   F( w)

Proof of Theorem eff1olem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvimass 5485	. . . 4 |- ( `' Im " D ) C_ dom Im
2		eff1olem.2	. . . 4 |- S = ( `' Im " D )
3		imf 13853	. . . . . 6 |- Im : CC --> RR
4	3	fdmi 6052	. . . . 5 |- dom Im = CC
5	4	eqcomi 2631	. . . 4 |- CC = dom Im
6	1, 2, 5	3sstr4i 3644	. . 3 |- S C_ CC
7		eff2 14829	. . . . . . 7 |- exp : CC --> ( CC \ { 0 } )
8	7	a1i 11	. . . . . 6 |- ( S C_ CC -> exp : CC --> ( CC \ { 0 } ) )
9	8	feqmptd 6249	. . . . 5 |- ( S C_ CC -> exp = ( y e. CC |-> ( exp ` y ) ) )
10	9	reseq1d 5395	. . . 4 |- ( S C_ CC -> ( exp |` S ) = ( ( y e. CC |-> ( exp ` y ) ) |` S ) )
11		resmpt 5449	. . . 4 |- ( S C_ CC -> ( ( y e. CC |-> ( exp ` y ) ) |` S ) = ( y e. S |-> ( exp ` y ) ) )
12	10, 11	eqtrd 2656	. . 3 |- ( S C_ CC -> ( exp |` S ) = ( y e. S |-> ( exp ` y ) ) )
13	6, 12	ax-mp 5	. 2 |- ( exp |` S ) = ( y e. S |-> ( exp ` y ) )
14	6	sseli 3599	. . . 4 |- ( y e. S -> y e. CC )
15	7	ffvelrni 6358	. . . 4 |- ( y e. CC -> ( exp ` y ) e. ( CC \ { 0 } ) )
16	14, 15	syl 17	. . 3 |- ( y e. S -> ( exp ` y ) e. ( CC \ { 0 } ) )
17	16	adantl 482	. 2 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( exp ` y ) e. ( CC \ { 0 } ) )
18		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> x e. ( CC \ { 0 } ) )
19		eldifsn 4317	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
20	18, 19	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
21	20	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> x e. CC )
22	20	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> x =/= 0 )
23	21, 22	absrpcld 14187	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( abs ` x ) e. RR+ )
24		reeff1o 24201	. . . . . . . . 9 |- ( exp |` RR ) : RR -1-1-onto-> RR+
25		f1ocnv 6149	. . . . . . . . 9 |- ( ( exp |` RR ) : RR -1-1-onto-> RR+ -> `' ( exp |` RR ) : RR+ -1-1-onto-> RR )
26		f1of 6137	. . . . . . . . 9 |- ( `' ( exp |` RR ) : RR+ -1-1-onto-> RR -> `' ( exp |` RR ) : RR+ --> RR )
27	24, 25, 26	mp2b 10	. . . . . . . 8 |- `' ( exp |` RR ) : RR+ --> RR
28	27	ffvelrni 6358	. . . . . . 7 |- ( ( abs ` x ) e. RR+ -> ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) e. RR )
29	23, 28	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) e. RR )
30	29	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) e. CC )
31		ax-icn 9995	. . . . . 6 |- _i e. CC
32		eff1olem.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D C_ RR )
33	32	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> D C_ RR )
34		eff1olem.1	. . . . . . . . . . . 12 |- F = ( w e. D |-> ( exp ` ( _i x. w ) ) )
35		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' abs " { 1 } ) = ( `' abs " { 1 } )
36		eff1olem.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> ( abs ` ( x - y ) ) < ( 2 x. pi ) )
37		eff1olem.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. RR ) -> E. y e. D ( ( z - y ) / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ )
38		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( sin |` ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) = ( sin |` ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) )
39	34, 35, 32, 36, 37, 38	efif1olem4 24291	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : D -1-1-onto-> ( `' abs " { 1 } ) )
40		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : D -1-1-onto-> ( `' abs " { 1 } ) -> `' F : ( `' abs " { 1 } ) -1-1-onto-> D )
41		f1of 6137	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' F : ( `' abs " { 1 } ) -1-1-onto-> D -> `' F : ( `' abs " { 1 } ) --> D )
42	39, 40, 41	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> `' F : ( `' abs " { 1 } ) --> D )
43	42	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> `' F : ( `' abs " { 1 } ) --> D )
44	21	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( abs ` x ) e. RR )
45	44	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( abs ` x ) e. CC )
46	21, 22	absne0d 14186	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( abs ` x ) =/= 0 )
47	21, 45, 46	divcld 10801	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( x / ( abs ` x ) ) e. CC )
48	21, 45, 46	absdivd 14194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( abs ` ( x / ( abs ` x ) ) ) = ( ( abs ` x ) / ( abs ` ( abs ` x ) ) ) )
49		absidm 14063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( abs ` ( abs ` x ) ) = ( abs ` x ) )
50	21, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( abs ` ( abs ` x ) ) = ( abs ` x ) )
51	50	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( abs ` x ) / ( abs ` ( abs ` x ) ) ) = ( ( abs ` x ) / ( abs ` x ) ) )
52	45, 46	dividd 10799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( abs ` x ) / ( abs ` x ) ) = 1 )
53	48, 51, 52	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( abs ` ( x / ( abs ` x ) ) ) = 1 )
54		absf 14077	. . . . . . . . . . 11 |- abs : CC --> RR
55		ffn 6045	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs : CC --> RR -> abs Fn CC )
56		fniniseg 6338	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs Fn CC -> ( ( x / ( abs ` x ) ) e. ( `' abs " { 1 } ) <-> ( ( x / ( abs ` x ) ) e. CC /\ ( abs ` ( x / ( abs ` x ) ) ) = 1 ) ) )
57	54, 55, 56	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x / ( abs ` x ) ) e. ( `' abs " { 1 } ) <-> ( ( x / ( abs ` x ) ) e. CC /\ ( abs ` ( x / ( abs ` x ) ) ) = 1 ) )
58	47, 53, 57	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( x / ( abs ` x ) ) e. ( `' abs " { 1 } ) )
59	43, 58	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) e. D )
60	33, 59	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) e. RR )
61	60	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) e. CC )
62		mulcl 10020	. . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) e. CC ) -> ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) e. CC )
63	31, 61, 62	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) e. CC )
64	30, 63	addcld 10059	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) + ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) ) e. CC )
65	29, 60	crimd 13972	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( Im ` ( ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) + ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) ) ) = ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) )
66	65, 59	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( Im ` ( ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) + ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) ) ) e. D )
67		ffn 6045	. . . . 5 |- ( Im : CC --> RR -> Im Fn CC )
68		elpreima 6337	. . . . 5 |- ( Im Fn CC -> ( ( ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) + ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) ) e. ( `' Im " D ) <-> ( ( ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) + ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) ) e. CC /\ ( Im ` ( ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) + ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) ) ) e. D ) ) )
69	3, 67, 68	mp2b 10	. . . 4 |- ( ( ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) + ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) ) e. ( `' Im " D ) <-> ( ( ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) + ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) ) e. CC /\ ( Im ` ( ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) + ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) ) ) e. D ) )
70	64, 66, 69	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) + ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) ) e. ( `' Im " D ) )
71	70, 2	syl6eleqr 2712	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) + ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) ) e. S )
72		efadd 14824	. . . . . . 7 |- ( ( ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) e. CC /\ ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) + ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) ) ) = ( ( exp ` ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) ) x. ( exp ` ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) ) ) )
73	30, 63, 72	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( exp ` ( ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) + ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) ) ) = ( ( exp ` ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) ) x. ( exp ` ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) ) ) )
74		fvres 6207	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) e. RR -> ( ( exp |` RR ) ` ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) ) = ( exp ` ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) ) )
75	29, 74	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( exp |` RR ) ` ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) ) = ( exp ` ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) ) )
76		f1ocnvfv2 6533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( exp |` RR ) : RR -1-1-onto-> RR+ /\ ( abs ` x ) e. RR+ ) -> ( ( exp |` RR ) ` ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) ) = ( abs ` x ) )
77	24, 23, 76	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( exp |` RR ) ` ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) ) = ( abs ` x ) )
78	75, 77	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( exp ` ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) ) = ( abs ` x ) )
79		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) -> ( _i x. z ) = ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) )
80	79	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) -> ( exp ` ( _i x. z ) ) = ( exp ` ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) ) )
81		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = z -> ( _i x. w ) = ( _i x. z ) )
82	81	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = z -> ( exp ` ( _i x. w ) ) = ( exp ` ( _i x. z ) ) )
83	82	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. D |-> ( exp ` ( _i x. w ) ) ) = ( z e. D |-> ( exp ` ( _i x. z ) ) )
84	34, 83	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- F = ( z e. D |-> ( exp ` ( _i x. z ) ) )
85		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( exp ` ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) ) e. _V
86	80, 84, 85	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) e. D -> ( F ` ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) = ( exp ` ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) ) )
87	59, 86	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( F ` ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) = ( exp ` ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) ) )
88	39	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> F : D -1-1-onto-> ( `' abs " { 1 } ) )
89		f1ocnvfv2 6533	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : D -1-1-onto-> ( `' abs " { 1 } ) /\ ( x / ( abs ` x ) ) e. ( `' abs " { 1 } ) ) -> ( F ` ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) = ( x / ( abs ` x ) ) )
90	88, 58, 89	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( F ` ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) = ( x / ( abs ` x ) ) )
91	87, 90	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( exp ` ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) ) = ( x / ( abs ` x ) ) )
92	78, 91	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( exp ` ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) ) x. ( exp ` ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) ) ) = ( ( abs ` x ) x. ( x / ( abs ` x ) ) ) )
93	21, 45, 46	divcan2d 10803	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( abs ` x ) x. ( x / ( abs ` x ) ) ) = x )
94	73, 92, 93	3eqtrrd 2661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) -> x = ( exp ` ( ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) + ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) ) ) )
95	94	adantrl 752	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) ) -> x = ( exp ` ( ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) + ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) ) ) )
96		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( y = ( ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) + ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) ) -> ( exp ` y ) = ( exp ` ( ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) + ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) ) ) )
97	96	eqeq2d 2632	. . . 4 |- ( y = ( ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) + ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) ) -> ( x = ( exp ` y ) <-> x = ( exp ` ( ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) + ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) ) ) ) )
98	95, 97	syl5ibrcom 237	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) ) -> ( y = ( ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) + ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) ) -> x = ( exp ` y ) ) )
99	14	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> y e. CC )
100	99	replimd 13937	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> y = ( ( Re ` y ) + ( _i x. ( Im ` y ) ) ) )
101		absef 14927	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. CC -> ( abs ` ( exp ` y ) ) = ( exp ` ( Re ` y ) ) )
102	99, 101	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( abs ` ( exp ` y ) ) = ( exp ` ( Re ` y ) ) )
103	99	recld 13934	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( Re ` y ) e. RR )
104		fvres 6207	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Re ` y ) e. RR -> ( ( exp |` RR ) ` ( Re ` y ) ) = ( exp ` ( Re ` y ) ) )
105	103, 104	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( exp |` RR ) ` ( Re ` y ) ) = ( exp ` ( Re ` y ) ) )
106	102, 105	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( abs ` ( exp ` y ) ) = ( ( exp |` RR ) ` ( Re ` y ) ) )
107	106	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` ( exp ` y ) ) ) = ( `' ( exp |` RR ) ` ( ( exp |` RR ) ` ( Re ` y ) ) ) )
108		f1ocnvfv1 6532	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( exp |` RR ) : RR -1-1-onto-> RR+ /\ ( Re ` y ) e. RR ) -> ( `' ( exp |` RR ) ` ( ( exp |` RR ) ` ( Re ` y ) ) ) = ( Re ` y ) )
109	24, 103, 108	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( `' ( exp |` RR ) ` ( ( exp |` RR ) ` ( Re ` y ) ) ) = ( Re ` y ) )
110	107, 109	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` ( exp ` y ) ) ) = ( Re ` y ) )
111	99	imcld 13935	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( Im ` y ) e. RR )
112	111	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( Im ` y ) e. CC )
113		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` y ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` y ) ) e. CC )
114	31, 112, 113	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( _i x. ( Im ` y ) ) e. CC )
115		efcl 14813	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _i x. ( Im ` y ) ) e. CC -> ( exp ` ( _i x. ( Im ` y ) ) ) e. CC )
116	114, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( exp ` ( _i x. ( Im ` y ) ) ) e. CC )
117	103	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( Re ` y ) e. CC )
118		efcl 14813	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Re ` y ) e. CC -> ( exp ` ( Re ` y ) ) e. CC )
119	117, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( exp ` ( Re ` y ) ) e. CC )
120		efne0 14827	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Re ` y ) e. CC -> ( exp ` ( Re ` y ) ) =/= 0 )
121	117, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( exp ` ( Re ` y ) ) =/= 0 )
122	116, 119, 121	divcan3d 10806	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( ( exp ` ( Re ` y ) ) x. ( exp ` ( _i x. ( Im ` y ) ) ) ) / ( exp ` ( Re ` y ) ) ) = ( exp ` ( _i x. ( Im ` y ) ) ) )
123	100	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( exp ` y ) = ( exp ` ( ( Re ` y ) + ( _i x. ( Im ` y ) ) ) ) )
124		efadd 14824	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Re ` y ) e. CC /\ ( _i x. ( Im ` y ) ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( Re ` y ) + ( _i x. ( Im ` y ) ) ) ) = ( ( exp ` ( Re ` y ) ) x. ( exp ` ( _i x. ( Im ` y ) ) ) ) )
125	117, 114, 124	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( exp ` ( ( Re ` y ) + ( _i x. ( Im ` y ) ) ) ) = ( ( exp ` ( Re ` y ) ) x. ( exp ` ( _i x. ( Im ` y ) ) ) ) )
126	123, 125	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( exp ` y ) = ( ( exp ` ( Re ` y ) ) x. ( exp ` ( _i x. ( Im ` y ) ) ) ) )
127	126, 102	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( exp ` y ) / ( abs ` ( exp ` y ) ) ) = ( ( ( exp ` ( Re ` y ) ) x. ( exp ` ( _i x. ( Im ` y ) ) ) ) / ( exp ` ( Re ` y ) ) ) )
128		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Im Fn CC -> ( y e. ( `' Im " D ) <-> ( y e. CC /\ ( Im ` y ) e. D ) ) )
129	3, 67, 128	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( `' Im " D ) <-> ( y e. CC /\ ( Im ` y ) e. D ) )
130	129	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( `' Im " D ) -> ( Im ` y ) e. D )
131	130, 2	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. S -> ( Im ` y ) e. D )
132	131	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( Im ` y ) e. D )
133		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( Im ` y ) -> ( _i x. w ) = ( _i x. ( Im ` y ) ) )
134	133	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( Im ` y ) -> ( exp ` ( _i x. w ) ) = ( exp ` ( _i x. ( Im ` y ) ) ) )
135		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( exp ` ( _i x. ( Im ` y ) ) ) e. _V
136	134, 34, 135	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Im ` y ) e. D -> ( F ` ( Im ` y ) ) = ( exp ` ( _i x. ( Im ` y ) ) ) )
137	132, 136	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( F ` ( Im ` y ) ) = ( exp ` ( _i x. ( Im ` y ) ) ) )
138	122, 127, 137	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( exp ` y ) / ( abs ` ( exp ` y ) ) ) = ( F ` ( Im ` y ) ) )
139	138	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( `' F ` ( ( exp ` y ) / ( abs ` ( exp ` y ) ) ) ) = ( `' F ` ( F ` ( Im ` y ) ) ) )
140		f1ocnvfv1 6532	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : D -1-1-onto-> ( `' abs " { 1 } ) /\ ( Im ` y ) e. D ) -> ( `' F ` ( F ` ( Im ` y ) ) ) = ( Im ` y ) )
141	39, 131, 140	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( `' F ` ( F ` ( Im ` y ) ) ) = ( Im ` y ) )
142	139, 141	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( `' F ` ( ( exp ` y ) / ( abs ` ( exp ` y ) ) ) ) = ( Im ` y ) )
143	142	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( _i x. ( `' F ` ( ( exp ` y ) / ( abs ` ( exp ` y ) ) ) ) ) = ( _i x. ( Im ` y ) ) )
144	110, 143	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` ( exp ` y ) ) ) + ( _i x. ( `' F ` ( ( exp ` y ) / ( abs ` ( exp ` y ) ) ) ) ) ) = ( ( Re ` y ) + ( _i x. ( Im ` y ) ) ) )
145	100, 144	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> y = ( ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` ( exp ` y ) ) ) + ( _i x. ( `' F ` ( ( exp ` y ) / ( abs ` ( exp ` y ) ) ) ) ) ) )
146		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = ( exp ` y ) -> ( abs ` x ) = ( abs ` ( exp ` y ) ) )
147	146	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( x = ( exp ` y ) -> ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) = ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` ( exp ` y ) ) ) )
148		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( exp ` y ) -> x = ( exp ` y ) )
149	148, 146	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( exp ` y ) -> ( x / ( abs ` x ) ) = ( ( exp ` y ) / ( abs ` ( exp ` y ) ) ) )
150	149	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( x = ( exp ` y ) -> ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) = ( `' F ` ( ( exp ` y ) / ( abs ` ( exp ` y ) ) ) ) )
151	150	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( x = ( exp ` y ) -> ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) = ( _i x. ( `' F ` ( ( exp ` y ) / ( abs ` ( exp ` y ) ) ) ) ) )
152	147, 151	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( x = ( exp ` y ) -> ( ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) + ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) ) = ( ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` ( exp ` y ) ) ) + ( _i x. ( `' F ` ( ( exp ` y ) / ( abs ` ( exp ` y ) ) ) ) ) ) )
153	152	eqeq2d 2632	. . . . 5 |- ( x = ( exp ` y ) -> ( y = ( ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) + ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) ) <-> y = ( ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` ( exp ` y ) ) ) + ( _i x. ( `' F ` ( ( exp ` y ) / ( abs ` ( exp ` y ) ) ) ) ) ) ) )
154	145, 153	syl5ibrcom 237	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( x = ( exp ` y ) -> y = ( ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) + ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) ) ) )
155	154	adantrr 753	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) ) -> ( x = ( exp ` y ) -> y = ( ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) + ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) ) ) )
156	98, 155	impbid 202	. 2 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ x e. ( CC \ { 0 } ) ) ) -> ( y = ( ( `' ( exp |` RR ) ` ( abs ` x ) ) + ( _i x. ( `' F ` ( x / ( abs ` x ) ) ) ) ) <-> x = ( exp ` y ) ) )
157	13, 17, 71, 156	f1o2d 6887	1 |- ( ph -> ( exp |` S ) : S -1-1-onto-> ( CC \ { 0 } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   |` cres 5116   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   _ici 9938   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   ZZcz 11377   RR+crp 11832   [,]cicc 12178   Recre 13837   Imcim 13838   abscabs 13974   expce 14792   sincsin 14794   picpi 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  eff1o  24295