Theorem pire 24210

Description: pi is a real number. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
pire	|- pi e. RR

Proof of Theorem pire

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pilem3 24207	. . 3 |- ( pi e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` pi ) = 0 )
2	1	simpli 474	. 2 |- pi e. ( 2 (,) 4 )
3		elioore 12205	. 2 |- ( pi e. ( 2 (,) 4 ) -> pi e. RR )
4	2, 3	ax-mp 5	1 |- pi e. RR

Syntax hints:   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   2c2 11070   4c4 11072   (,)cioo 12175   sincsin 14794   picpi 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  picn  24211  pipos  24212  pirp  24213  sinhalfpilem  24215  halfpire  24216  sincosq1lem  24249  sincosq2sgn  24251  sincosq3sgn  24252  sincosq4sgn  24253  coseq00topi  24254  coseq0negpitopi  24255  tangtx  24257  sinq12gt0  24259  sinq12ge0  24260  sinq34lt0t  24261  cosq14gt0  24262  cosq14ge0  24263  sincos4thpi  24265  tan4thpi  24266  sincos6thpi  24267  pige3  24269  coskpi  24272  sineq0  24273  coseq1  24274  efeq1  24275  cosne0  24276  cosordlem  24277  cosord  24278  cos11  24279  sinord  24280  recosf1o  24281  resinf1o  24282  tanord1  24283  negpitopissre  24286  efif1olem1  24288  efif1olem2  24289  efif1olem4  24291  efif1o  24292  efifo  24293  eff1o  24295  ellogrn  24306  relogrn  24308  logimclad  24319  abslogimle  24320  logneg  24334  lognegb  24336  eflogeq  24348  logcj  24352  argregt0  24356  argrege0  24357  argimgt0  24358  argimlt0  24359  logimul  24360  logneg2  24361  abslogle  24364  logcnlem3  24390  dvloglem  24394  logf1o2  24396  efopnlem1  24402  efopnlem2  24403  cxpsqrtlem  24448  abscxpbnd  24494  root1eq1  24496  logreclem  24500  ang180lem1  24539  ang180lem2  24540  ang180lem3  24541  ang180lem4  24542  isosctrlem1  24548  1cubrlem  24568  asinneg  24613  asinsin  24619  asin1  24621  acosbnd  24627  atanlogaddlem  24640  atanlogsublem  24642  atanlogsub  24643  atantan  24650  atanbndlem  24652  atan1  24655  o1cxp  24701  lgamgulmlem4  24758  lgamgulmlem5  24759  lgamgulmlem6  24760  lgambdd  24763  basellem1  24807  basellem4  24810  basellem8  24814  basellem9  24815  circum  31568  logi  31620  bj-pinftyccb  33108  bj-minftyccb  33112  bj-pinftynminfty  33114  taupi  33169  sin2h  33399  cos2h  33400  tan2h  33401  pigt3  33402  proot1ex  37779  isosctrlem1ALT  39170  sineq0ALT  39173  negpilt0  39492  coseq0  40075  sinaover2ne0  40079  itgsin0pilem1  40165  itgsinexplem1  40169  itgsinexp  40170  wallispilem1  40282  wallispilem2  40283  wallispi  40287  stirlinglem15  40305  stirlingr  40307  dirker2re  40309  dirkerval2  40311  dirkerre  40312  dirkerper  40313  dirkertrigeqlem2  40316  dirkertrigeqlem3  40317  dirkertrigeq  40318  dirkeritg  40319  dirkercncflem1  40320  dirkercncflem2  40321  dirkercncflem4  40323  fourierdlem5  40329  fourierdlem9  40333  fourierdlem16  40340  fourierdlem18  40342  fourierdlem21  40345  fourierdlem22  40346  fourierdlem24  40348  fourierdlem38  40362  fourierdlem40  40364  fourierdlem43  40367  fourierdlem44  40368  fourierdlem46  40369  fourierdlem50  40373  fourierdlem58  40381  fourierdlem62  40385  fourierdlem66  40389  fourierdlem72  40395  fourierdlem74  40397  fourierdlem75  40398  fourierdlem76  40399  fourierdlem77  40400  fourierdlem78  40401  fourierdlem83  40406  fourierdlem85  40408  fourierdlem87  40410  fourierdlem88  40411  fourierdlem93  40416  fourierdlem94  40417  fourierdlem95  40418  fourierdlem101  40424  fourierdlem102  40425  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  fourierdlem111  40434  fourierdlem112  40435  fourierdlem113  40436  fourierdlem114  40437  sqwvfoura  40445  sqwvfourb  40446  fourierswlem  40447  fouriersw  40448  fouriercn  40449