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Theorem axlowdimlem17 25838
Description: Lemma for axlowdim 25841. Establish a congruence result. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
axlowdimlem16.1 |- P = ( { <. 3 , -u 1 >. } u. ( ( ( 1 ... N ) \ { 3 } ) X. { 0 } ) )
axlowdimlem16.2 |- Q = ( { <. ( I + 1 ) , 1 >. } u. ( ( ( 1 ... N ) \ { ( I + 1 ) } ) X. { 0 } ) )
axlowdimlem17.3 |- A = ( { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) )
axlowdimlem17.4 |- X e. RR
axlowdimlem17.5 |- Y e. RR
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem17 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> <. P , A >.Cgr <. Q , A >. )
Proof of Theorem axlowdimlem17
Dummy variable i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzuzle23 11729 . . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
21ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 1 ... 2 ) ) -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
3 fzss2 12381 . . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 1 ... 2 ) C_ ( 1 ... N ) )
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( 1 ... 2 ) C_ ( 1 ... N ) )
5 simpr 477 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 1 ... 2 ) ) -> i e. ( 1 ... 2 ) )
64, 5sseldd 3604 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 1 ... 2 ) ) -> i e. ( 1 ... N ) )
7 fznuz 12422 . . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( 1 ... 2 ) -> -. i e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) )
87adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 1 ... 2 ) ) -> -. i e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) )
9 3z 11410 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 e. ZZ
10 uzid 11702 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 3 e. ZZ -> 3 e. ( ZZ>= ` 3 ) )
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. ( ZZ>= ` 3 )
12 df-3 11080 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 = ( 2 + 1 )
1312fveq2i 6194 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ>= ` 3 ) = ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) )
1411, 13eleqtri 2699 . . . . . . . . . . . 12 |- 3 e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) )
15 eleq1 2689 . . . . . . . . . . . 12 |- ( i = 3 -> ( i e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) <-> 3 e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) )
1614, 15mpbiri 248 . . . . . . . . . . 11 |- ( i = 3 -> i e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) )
1716necon3bi 2820 . . . . . . . . . 10 |- ( -. i e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) -> i =/= 3 )
188, 17syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 1 ... 2 ) ) -> i =/= 3 )
19 axlowdimlem16.1 . . . . . . . . . 10 |- P = ( { <. 3 , -u 1 >. } u. ( ( ( 1 ... N ) \ { 3 } ) X. { 0 } ) )
2019axlowdimlem9 25830 . . . . . . . . 9 |- ( ( i e. ( 1 ... N ) /\ i =/= 3 ) -> ( P ` i ) = 0 )
216, 18, 20syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( P ` i ) = 0 )
22 elfzuz 12338 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) -> I e. ( ZZ>= ` 2 ) )
2322ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 1 ... 2 ) ) -> I e. ( ZZ>= ` 2 ) )
24 eluzp1p1 11713 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( I e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) )
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) )
26 uzss 11708 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) -> ( ZZ>= ` ( I + 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) )
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( ZZ>= ` ( I + 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) )
2827, 8ssneldd 3606 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 1 ... 2 ) ) -> -. i e. ( ZZ>= ` ( I + 1 ) ) )
29 eluzelz 11697 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) -> ( I + 1 ) e. ZZ )
3025, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( I + 1 ) e. ZZ )
31 uzid 11702 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I + 1 ) e. ZZ -> ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( I + 1 ) ) )
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( I + 1 ) ) )
33 eleq1 2689 . . . . . . . . . . . 12 |- ( i = ( I + 1 ) -> ( i e. ( ZZ>= ` ( I + 1 ) ) <-> ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( I + 1 ) ) ) )
3432, 33syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( i = ( I + 1 ) -> i e. ( ZZ>= ` ( I + 1 ) ) ) )
3534necon3bd 2808 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( -. i e. ( ZZ>= ` ( I + 1 ) ) -> i =/= ( I + 1 ) ) )
3628, 35mpd 15 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 1 ... 2 ) ) -> i =/= ( I + 1 ) )
37 axlowdimlem16.2 . . . . . . . . . 10 |- Q = ( { <. ( I + 1 ) , 1 >. } u. ( ( ( 1 ... N ) \ { ( I + 1 ) } ) X. { 0 } ) )
3837axlowdimlem12 25833 . . . . . . . . 9 |- ( ( i e. ( 1 ... N ) /\ i =/= ( I + 1 ) ) -> ( Q ` i ) = 0 )
396, 36, 38syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( Q ` i ) = 0 )
4021, 39eqtr4d 2659 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( P ` i ) = ( Q ` i ) )
4140oveq1d 6665 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( ( P ` i ) - ( A ` i ) ) = ( ( Q ` i ) - ( A ` i ) ) )
4241oveq1d 6665 . . . . 5 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( ( ( P ` i ) - ( A ` i ) ) ^ 2 ) = ( ( ( Q ` i ) - ( A ` i ) ) ^ 2 ) )
4342sumeq2dv 14433 . . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> sum_ i e. ( 1 ... 2 ) ( ( ( P ` i ) - ( A ` i ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 1 ... 2 ) ( ( ( Q ` i ) - ( A ` i ) ) ^ 2 ) )
4419, 37axlowdimlem16 25837 . . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> sum_ i e. ( 3 ... N ) ( ( P ` i ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 3 ... N ) ( ( Q ` i ) ^ 2 ) )
45 axlowdimlem17.3 . . . . . . . . . . . . 13 |- A = ( { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) )
4645fveq1i 6192 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A ` i ) = ( ( { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i )
47 axlowdimlem2 25823 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 ... 2 ) i^i ( 3 ... N ) ) = (/)
48 axlowdimlem17.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- X e. RR
49 axlowdimlem17.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- Y e. RR
5048, 49axlowdimlem4 25825 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR
51 ffn 6045 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR -> { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. } Fn ( 1 ... 2 ) )
5250, 51ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 |- { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. } Fn ( 1 ... 2 )
53 axlowdimlem1 25822 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) : ( 3 ... N ) --> RR
54 ffn 6045 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) : ( 3 ... N ) --> RR -> ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) Fn ( 3 ... N ) )
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) Fn ( 3 ... N )
56 fvun2 6270 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. } Fn ( 1 ... 2 ) /\ ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) Fn ( 3 ... N ) /\ ( ( ( 1 ... 2 ) i^i ( 3 ... N ) ) = (/) /\ i e. ( 3 ... N ) ) ) -> ( ( { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) = ( ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ` i ) )
5752, 55, 56mp3an12 1414 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( 1 ... 2 ) i^i ( 3 ... N ) ) = (/) /\ i e. ( 3 ... N ) ) -> ( ( { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) = ( ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ` i ) )
5847, 57mpan 706 . . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( 3 ... N ) -> ( ( { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) = ( ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ` i ) )
5946, 58syl5eq 2668 . . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( 3 ... N ) -> ( A ` i ) = ( ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ` i ) )
60 c0ex 10034 . . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. _V
6160fvconst2 6469 . . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( 3 ... N ) -> ( ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ` i ) = 0 )
6259, 61eqtrd 2656 . . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 3 ... N ) -> ( A ` i ) = 0 )
6362adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 3 ... N ) ) -> ( A ` i ) = 0 )
6463oveq2d 6666 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 3 ... N ) ) -> ( ( P ` i ) - ( A ` i ) ) = ( ( P ` i ) - 0 ) )
6519axlowdimlem7 25828 . . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> P e. ( EE ` N ) )
6665ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 3 ... N ) ) -> P e. ( EE ` N ) )
67 3nn 11186 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 e. NN
68 nnuz 11723 . . . . . . . . . . . . . 14 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
6967, 68eleqtri 2699 . . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. ( ZZ>= ` 1 )
70 fzss1 12380 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 3 ... N ) C_ ( 1 ... N ) )
7169, 70ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 3 ... N ) C_ ( 1 ... N )
7271sseli 3599 . . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( 3 ... N ) -> i e. ( 1 ... N ) )
7372adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 3 ... N ) ) -> i e. ( 1 ... N ) )
74 fveecn 25782 . . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( EE ` N ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( P ` i ) e. CC )
7566, 73, 74syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 3 ... N ) ) -> ( P ` i ) e. CC )
7675subid1d 10381 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 3 ... N ) ) -> ( ( P ` i ) - 0 ) = ( P ` i ) )
7764, 76eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 3 ... N ) ) -> ( ( P ` i ) - ( A ` i ) ) = ( P ` i ) )
7877oveq1d 6665 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 3 ... N ) ) -> ( ( ( P ` i ) - ( A ` i ) ) ^ 2 ) = ( ( P ` i ) ^ 2 ) )
7978sumeq2dv 14433 . . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> sum_ i e. ( 3 ... N ) ( ( ( P ` i ) - ( A ` i ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 3 ... N ) ( ( P ` i ) ^ 2 ) )
8063oveq2d 6666 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 3 ... N ) ) -> ( ( Q ` i ) - ( A ` i ) ) = ( ( Q ` i ) - 0 ) )
81 eluzge3nn 11730 . . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> N e. NN )
82 2eluzge1 11734 . . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. ( ZZ>= ` 1 )
83 fzss1 12380 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 2 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
8482, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 1 ... ( N - 1 ) )
8584sseli 3599 . . . . . . . . . . 11 |- ( I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) -> I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
8637axlowdimlem10 25831 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ I e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> Q e. ( EE ` N ) )
8781, 85, 86syl2an 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> Q e. ( EE ` N ) )
88 fveecn 25782 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Q e. ( EE ` N ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( Q ` i ) e. CC )
8987, 72, 88syl2an 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 3 ... N ) ) -> ( Q ` i ) e. CC )
9089subid1d 10381 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 3 ... N ) ) -> ( ( Q ` i ) - 0 ) = ( Q ` i ) )
9180, 90eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 3 ... N ) ) -> ( ( Q ` i ) - ( A ` i ) ) = ( Q ` i ) )
9291oveq1d 6665 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 3 ... N ) ) -> ( ( ( Q ` i ) - ( A ` i ) ) ^ 2 ) = ( ( Q ` i ) ^ 2 ) )
9392sumeq2dv 14433 . . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> sum_ i e. ( 3 ... N ) ( ( ( Q ` i ) - ( A ` i ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 3 ... N ) ( ( Q ` i ) ^ 2 ) )
9444, 79, 933eqtr4d 2666 . . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> sum_ i e. ( 3 ... N ) ( ( ( P ` i ) - ( A ` i ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 3 ... N ) ( ( ( Q ` i ) - ( A ` i ) ) ^ 2 ) )
9543, 94oveq12d 6668 . . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( sum_ i e. ( 1 ... 2 ) ( ( ( P ` i ) - ( A ` i ) ) ^ 2 ) + sum_ i e. ( 3 ... N ) ( ( ( P ` i ) - ( A ` i ) ) ^ 2 ) ) = ( sum_ i e. ( 1 ... 2 ) ( ( ( Q ` i ) - ( A ` i ) ) ^ 2 ) + sum_ i e. ( 3 ... N ) ( ( ( Q ` i ) - ( A ` i ) ) ^ 2 ) ) )
9647a1i 11 . . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( 1 ... 2 ) i^i ( 3 ... N ) ) = (/) )
97 eluzelre 11698 . . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> N e. RR )
98 eluzle 11700 . . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 3 <_ N )
99 2re 11090 . . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
100 3re 11094 . . . . . . . . . . . 12 |- 3 e. RR
101 2lt3 11195 . . . . . . . . . . . 12 |- 2 < 3
10299, 100, 101ltleii 10160 . . . . . . . . . . 11 |- 2 <_ 3
103 letr 10131 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. RR /\ 3 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 2 <_ 3 /\ 3 <_ N ) -> 2 <_ N ) )
10499, 100, 103mp3an12 1414 . . . . . . . . . . 11 |- ( N e. RR -> ( ( 2 <_ 3 /\ 3 <_ N ) -> 2 <_ N ) )
105102, 104mpani 712 . . . . . . . . . 10 |- ( N e. RR -> ( 3 <_ N -> 2 <_ N ) )
10697, 98, 105sylc 65 . . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 2 <_ N )
107 1le2 11241 . . . . . . . . 9 |- 1 <_ 2
108106, 107jctil 560 . . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 1 <_ 2 /\ 2 <_ N ) )
109108adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 <_ 2 /\ 2 <_ N ) )
110 eluzelz 11697 . . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> N e. ZZ )
111110adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
112 2z 11409 . . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
113 1z 11407 . . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
114 elfz 12332 . . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 2 e. ( 1 ... N ) <-> ( 1 <_ 2 /\ 2 <_ N ) ) )
115112, 113, 114mp3an12 1414 . . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( 2 e. ( 1 ... N ) <-> ( 1 <_ 2 /\ 2 <_ N ) ) )
116111, 115syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 2 e. ( 1 ... N ) <-> ( 1 <_ 2 /\ 2 <_ N ) ) )
117109, 116mpbird 247 . . . . . 6 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> 2 e. ( 1 ... N ) )
118 fzsplit 12367 . . . . . 6 |- ( 2 e. ( 1 ... N ) -> ( 1 ... N ) = ( ( 1 ... 2 ) u. ( ( 2 + 1 ) ... N ) ) )
119117, 118syl 17 . . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 ... N ) = ( ( 1 ... 2 ) u. ( ( 2 + 1 ) ... N ) ) )
12012oveq1i 6660 . . . . . 6 |- ( 3 ... N ) = ( ( 2 + 1 ) ... N )
121120uneq2i 3764 . . . . 5 |- ( ( 1 ... 2 ) u. ( 3 ... N ) ) = ( ( 1 ... 2 ) u. ( ( 2 + 1 ) ... N ) )
122119, 121syl6eqr 2674 . . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 ... N ) = ( ( 1 ... 2 ) u. ( 3 ... N ) ) )
123 fzfid 12772 . . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 ... N ) e. Fin )
12465ad2antrr 762 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> P e. ( EE ` N ) )
125124, 74sylancom 701 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( P ` i ) e. CC )
12648, 49axlowdimlem5 25826 . . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) e. ( EE ` N ) )
12745, 126syl5eqel 2705 . . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. ( EE ` N ) )
1281, 127syl 17 . . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> A e. ( EE ` N ) )
129128ad2antrr 762 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
130 fveecn 25782 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` i ) e. CC )
131129, 130sylancom 701 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` i ) e. CC )
132125, 131subcld 10392 . . . . 5 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( P ` i ) - ( A ` i ) ) e. CC )
133132sqcld 13006 . . . 4 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( P ` i ) - ( A ` i ) ) ^ 2 ) e. CC )
13496, 122, 123, 133fsumsplit 14471 . . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( P ` i ) - ( A ` i ) ) ^ 2 ) = ( sum_ i e. ( 1 ... 2 ) ( ( ( P ` i ) - ( A ` i ) ) ^ 2 ) + sum_ i e. ( 3 ... N ) ( ( ( P ` i ) - ( A ` i ) ) ^ 2 ) ) )
13587, 88sylan 488 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( Q ` i ) e. CC )
136135, 131subcld 10392 . . . . 5 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( Q ` i ) - ( A ` i ) ) e. CC )
137136sqcld 13006 . . . 4 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( Q ` i ) - ( A ` i ) ) ^ 2 ) e. CC )
13896, 122, 123, 137fsumsplit 14471 . . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( Q ` i ) - ( A ` i ) ) ^ 2 ) = ( sum_ i e. ( 1 ... 2 ) ( ( ( Q ` i ) - ( A ` i ) ) ^ 2 ) + sum_ i e. ( 3 ... N ) ( ( ( Q ` i ) - ( A ` i ) ) ^ 2 ) ) )
13995, 134, 1383eqtr4d 2666 . 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( P ` i ) - ( A ` i ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( Q ` i ) - ( A ` i ) ) ^ 2 ) )
14065adantr 481 . . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> P e. ( EE ` N ) )
141128adantr 481 . . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
142 brcgr 25780 . . 3 |- ( ( ( P e. ( EE ` N ) /\ A e. ( EE ` N ) ) /\ ( Q e. ( EE ` N ) /\ A e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. P , A >.Cgr <. Q , A >. <-> sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( P ` i ) - ( A ` i ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( Q ` i ) - ( A ` i ) ) ^ 2 ) ) )
143140, 141, 87, 141, 142syl22anc 1327 . 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( <. P , A >.Cgr <. Q , A >. <-> sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( P ` i ) - ( A ` i ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( Q ` i ) - ( A ` i ) ) ^ 2 ) ) )
144139, 143mpbird 247 1 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ I e. ( 2 ... ( N - 1 ) ) ) -> <. P , A >.Cgr <. Q , A >. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   ^cexp 12860   sum_csu 14416   EEcee 25768  Cgrccgr 25770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-ee 25771  df-cgr 25773
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