Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumdivc Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem esumdivc 30145
Description: An extended sum divided by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumdivc.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esumdivc.b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esumdivc.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
esumdivc  |-  ( ph  ->  (Σ* k  e.  A B /𝑒  C )  = Σ* k  e.  A
( B /𝑒  C ) )
Distinct variable groups:    A, k    C, k    k, V    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem esumdivc
StepHypRef Expression
1 esumdivc.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 esumdivc.b . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3 1red 10055 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
4 esumdivc.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
54rpred 11872 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
64rpne0d 11877 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
7 rexdiv 29634 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  C  e.  RR  /\  C  =/=  0 )  ->  (
1 /𝑒 
C )  =  ( 1  /  C ) )
83, 5, 6, 7syl3anc 1326 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 /𝑒  C )  =  ( 1  /  C ) )
9 ioorp 12251 . . . . . 6  |-  ( 0 (,) +oo )  = 
RR+
10 ioossico 12262 . . . . . 6  |-  ( 0 (,) +oo )  C_  ( 0 [,) +oo )
119, 10eqsstr3i 3636 . . . . 5  |-  RR+  C_  (
0 [,) +oo )
124rpreccld 11882 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  C
)  e.  RR+ )
1311, 12sseldi 3601 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  /  C
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
148, 13eqeltrd 2701 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1 /𝑒  C )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
151, 2, 14esummulc1 30143 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ* k  e.  A B xe ( 1 /𝑒  C ) )  = Σ* k  e.  A ( B xe ( 1 /𝑒  C ) ) )
16 iccssxr 12256 . . . 4  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
172ralrimiva 2966 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
18 nfcv 2764 . . . . . 6  |-  F/_ k A
1918esumcl 30092 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
201, 17, 19syl2anc 693 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2116, 20sseldi 3601 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e. 
RR* )
22 xdivrec 29635 . . 3  |-  ( (Σ* k  e.  A B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR  /\  C  =/=  0
)  ->  (Σ* k  e.  A B /𝑒  C )  =  (Σ* k  e.  A B xe ( 1 /𝑒  C ) ) )
2321, 5, 6, 22syl3anc 1326 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ* k  e.  A B /𝑒  C )  =  (Σ* k  e.  A B xe ( 1 /𝑒  C ) ) )
2416, 2sseldi 3601 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR* )
255adantr 481 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
266adantr 481 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  =/=  0 )
27 xdivrec 29635 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR  /\  C  =/=  0 )  ->  ( B /𝑒  C )  =  ( B xe ( 1 /𝑒  C ) ) )
2824, 25, 26, 27syl3anc 1326 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B /𝑒  C )  =  ( B xe ( 1 /𝑒  C ) ) )
2928esumeq2dv 30100 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A ( B /𝑒  C )  = Σ* k  e.  A
( B xe ( 1 /𝑒  C ) ) )
3015, 23, 293eqtr4d 2666 1  |-  ( ph  ->  (Σ* k  e.  A B /𝑒  C )  = Σ* k  e.  A
( B /𝑒  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 384    = wceq 1483    e. wcel 1990    =/= wne 2794   A.wral 2912  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073    / cdiv 10684   RR+crp 11832   xecxmu 11945   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   /𝑒 cxdiv 29625  Σ*cesum 30089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tsms 21930  df-xdiv 29626  df-esum 30090
This theorem is referenced by:  measdivcstOLD  30287  measdivcst  30288
  Copyright terms: Public domain W3C validator