Theorem esumnul 30110

Description: Extended sum over the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
esumnul	|- Σ* x e. (/) A = 0

Proof of Theorem esumnul

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nftru 1730	. . . 4 |- F/ x T.
2		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ x (/)
3		0ex 4790	. . . . 5 |- (/) e. _V
4	3	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> (/) e. _V )
5		ral0 4076	. . . . . 6 |- A. x e. (/) A e. ( 0 [,] +oo )
6	5	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> A. x e. (/) A e. ( 0 [,] +oo ) )
7	6	r19.21bi 2932	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. (/) ) -> A e. ( 0 [,] +oo ) )
8		pw0 4343	. . . . . . . . . . . . 13 |- ~P (/) = { (/) }
9	8	ineq1i 3810	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P (/) i^i Fin ) = ( { (/) } i^i Fin )
10		0fin 8188	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. Fin
11		snssi 4339	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (/) e. Fin -> { (/) } C_ Fin )
12		df-ss 3588	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { (/) } C_ Fin <-> ( { (/) } i^i Fin ) = { (/) } )
13	11, 12	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) e. Fin -> ( { (/) } i^i Fin ) = { (/) } )
14	10, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { (/) } i^i Fin ) = { (/) }
15	9, 14	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P (/) i^i Fin ) = { (/) }
16	15	eleq2i 2693	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) <-> y e. { (/) } )
17		velsn 4193	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { (/) } <-> y = (/) )
18	16, 17	sylbb 209	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> y = (/) )
19	18	mpteq1d 4738	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> ( x e. y |-> A ) = ( x e. (/) |-> A ) )
20		mpt0 6021	. . . . . . . 8 |- ( x e. (/) |-> A ) = (/)
21	19, 20	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> ( x e. y |-> A ) = (/) )
22	21	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( x e. y |-> A ) ) = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg (/) ) )
23		xrge00 29686	. . . . . . 7 |- 0 = ( 0g ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
24	23	gsum0 17278	. . . . . 6 |- ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg (/) ) = 0
25	22, 24	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( x e. y |-> A ) ) = 0 )
26	25	adantl 482	. . . 4 |- ( ( T. /\ y e. ( ~P (/) i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( x e. y |-> A ) ) = 0 )
27	1, 2, 4, 7, 26	esumval 30108	. . 3 |- ( T. -> Σ* x e. (/) A = sup ( ran ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) , RR* , < ) )
28	27	trud 1493	. 2 |- Σ* x e. (/) A = sup ( ran ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) , RR* , < )
29		fconstmpt 5163	. . . . 5 |- ( ( ~P (/) i^i Fin ) X. { 0 } ) = ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 )
30	29	eqcomi 2631	. . . 4 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) = ( ( ~P (/) i^i Fin ) X. { 0 } )
31		0xr 10086	. . . . . . 7 |- 0 e. RR*
32	31	rgenw 2924	. . . . . 6 |- A. y e. ( ~P (/) i^i Fin ) 0 e. RR*
33		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) = ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 )
34	33	fnmpt 6020	. . . . . 6 |- ( A. y e. ( ~P (/) i^i Fin ) 0 e. RR* -> ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) Fn ( ~P (/) i^i Fin ) )
35	32, 34	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) Fn ( ~P (/) i^i Fin )
36	3	snnz 4309	. . . . . 6 |- { (/) } =/= (/)
37	15, 36	eqnetri 2864	. . . . 5 |- ( ~P (/) i^i Fin ) =/= (/)
38		fconst5 6471	. . . . 5 |- ( ( ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) Fn ( ~P (/) i^i Fin ) /\ ( ~P (/) i^i Fin ) =/= (/) ) -> ( ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) = ( ( ~P (/) i^i Fin ) X. { 0 } ) <-> ran ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) = { 0 } ) )
39	35, 37, 38	mp2an 708	. . . 4 |- ( ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) = ( ( ~P (/) i^i Fin ) X. { 0 } ) <-> ran ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) = { 0 } )
40	30, 39	mpbi 220	. . 3 |- ran ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) = { 0 }
41	40	supeq1i 8353	. 2 |- sup ( ran ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) , RR* , < ) = sup ( { 0 } , RR* , < )
42		xrltso 11974	. . 3 |- < Or RR*
43		supsn 8378	. . 3 |- ( ( < Or RR* /\ 0 e. RR* ) -> sup ( { 0 } , RR* , < ) = 0 )
44	42, 31, 43	mp2an 708	. 2 |- sup ( { 0 } , RR* , < ) = 0
45	28, 41, 44	3eqtri 2648	1 |- Σ* x e. (/) A = 0

Syntax hints:   <-> wb 196   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   |-> cmpt 4729   Or wor 5034   X. cxp 5112   ran crn 5115   Fn wfn 5883  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   supcsup 8346   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   [,]cicc 12178   ↾_s cress 15858   gsum_g cgsu 16101   RR*scxrs 16160  Σ^*cesum 30089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-cn 21031  df-haus 21119  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tsms 21930  df-esum 30090

This theorem is referenced by:  esumrnmpt2  30130  esum2dlem  30154  ddemeas  30299  carsgclctunlem1  30379