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Theorem carsgclctunlem1 30379
Description: Lemma for carsgclctun 30383. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 |- ( ph -> O e. V )
carsgval.2 |- ( ph -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
carsgsiga.1 |- ( ph -> ( M ` (/) ) = 0 )
carsgsiga.2 |- ( ( ph /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P O ) -> ( M ` U. x ) <_ Σ* y e. x ( M ` y ) )
fiunelcarsg.1 |- ( ph -> A e. Fin )
fiunelcarsg.2 |- ( ph -> A C_ (toCaraSiga ` M ) )
carsgclctunlem1.1 |- ( ph -> Disj y e. A y )
carsgclctunlem1.2 |- ( ph -> E e. ~P O )
Assertion
Ref Expression
carsgclctunlem1 |- ( ph -> ( M ` ( E i^i U. A ) ) = Σ* y e. A ( M ` ( E i^i y ) ) )
Distinct variable groups:   x, A, y   x, E, y   x, M, y   x, O, y   ph, x, y
Allowed substitution hints:   V( x, y)
Proof of Theorem carsgclctunlem1
Dummy variables a e b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4444 . . . . 5 |- ( a = (/) -> U. a = U. (/) )
21ineq2d 3814 . . . 4 |- ( a = (/) -> ( E i^i U. a ) = ( E i^i U. (/) ) )
32fveq2d 6195 . . 3 |- ( a = (/) -> ( M ` ( E i^i U. a ) ) = ( M ` ( E i^i U. (/) ) ) )
4 esumeq1 30096 . . 3 |- ( a = (/) -> Σ* y e. a ( M ` ( E i^i y ) ) = Σ* y e. (/) ( M ` ( E i^i y ) ) )
53, 4eqeq12d 2637 . 2 |- ( a = (/) -> ( ( M ` ( E i^i U. a ) ) = Σ* y e. a ( M ` ( E i^i y ) ) <-> ( M ` ( E i^i U. (/) ) ) = Σ* y e. (/) ( M ` ( E i^i y ) ) ) )
6 unieq 4444 . . . . 5 |- ( a = b -> U. a = U. b )
76ineq2d 3814 . . . 4 |- ( a = b -> ( E i^i U. a ) = ( E i^i U. b ) )
87fveq2d 6195 . . 3 |- ( a = b -> ( M ` ( E i^i U. a ) ) = ( M ` ( E i^i U. b ) ) )
9 esumeq1 30096 . . 3 |- ( a = b -> Σ* y e. a ( M ` ( E i^i y ) ) = Σ* y e. b ( M ` ( E i^i y ) ) )
108, 9eqeq12d 2637 . 2 |- ( a = b -> ( ( M ` ( E i^i U. a ) ) = Σ* y e. a ( M ` ( E i^i y ) ) <-> ( M ` ( E i^i U. b ) ) = Σ* y e. b ( M ` ( E i^i y ) ) ) )
11 unieq 4444 . . . . 5 |- ( a = ( b u. { x } ) -> U. a = U. ( b u. { x } ) )
1211ineq2d 3814 . . . 4 |- ( a = ( b u. { x } ) -> ( E i^i U. a ) = ( E i^i U. ( b u. { x } ) ) )
1312fveq2d 6195 . . 3 |- ( a = ( b u. { x } ) -> ( M ` ( E i^i U. a ) ) = ( M ` ( E i^i U. ( b u. { x } ) ) ) )
14 esumeq1 30096 . . 3 |- ( a = ( b u. { x } ) -> Σ* y e. a ( M ` ( E i^i y ) ) = Σ* y e. ( b u. { x } ) ( M ` ( E i^i y ) ) )
1513, 14eqeq12d 2637 . 2 |- ( a = ( b u. { x } ) -> ( ( M ` ( E i^i U. a ) ) = Σ* y e. a ( M ` ( E i^i y ) ) <-> ( M ` ( E i^i U. ( b u. { x } ) ) ) = Σ* y e. ( b u. { x } ) ( M ` ( E i^i y ) ) ) )
16 unieq 4444 . . . . 5 |- ( a = A -> U. a = U. A )
1716ineq2d 3814 . . . 4 |- ( a = A -> ( E i^i U. a ) = ( E i^i U. A ) )
1817fveq2d 6195 . . 3 |- ( a = A -> ( M ` ( E i^i U. a ) ) = ( M ` ( E i^i U. A ) ) )
19 esumeq1 30096 . . 3 |- ( a = A -> Σ* y e. a ( M ` ( E i^i y ) ) = Σ* y e. A ( M ` ( E i^i y ) ) )
2018, 19eqeq12d 2637 . 2 |- ( a = A -> ( ( M ` ( E i^i U. a ) ) = Σ* y e. a ( M ` ( E i^i y ) ) <-> ( M ` ( E i^i U. A ) ) = Σ* y e. A ( M ` ( E i^i y ) ) ) )
21 carsgsiga.1 . . 3 |- ( ph -> ( M ` (/) ) = 0 )
22 uni0 4465 . . . . . 6 |- U. (/) = (/)
2322ineq2i 3811 . . . . 5 |- ( E i^i U. (/) ) = ( E i^i (/) )
24 in0 3968 . . . . 5 |- ( E i^i (/) ) = (/)
2523, 24eqtri 2644 . . . 4 |- ( E i^i U. (/) ) = (/)
2625fveq2i 6194 . . 3 |- ( M ` ( E i^i U. (/) ) ) = ( M ` (/) )
27 esumnul 30110 . . 3 |- Σ* y e. (/) ( M ` ( E i^i y ) ) = 0
2821, 26, 273eqtr4g 2681 . 2 |- ( ph -> ( M ` ( E i^i U. (/) ) ) = Σ* y e. (/) ( M ` ( E i^i y ) ) )
29 simpr 477 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) /\ ( M ` ( E i^i U. b ) ) = Σ* y e. b ( M ` ( E i^i y ) ) ) -> ( M ` ( E i^i U. b ) ) = Σ* y e. b ( M ` ( E i^i y ) ) )
3029eqcomd 2628 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) /\ ( M ` ( E i^i U. b ) ) = Σ* y e. b ( M ` ( E i^i y ) ) ) -> Σ* y e. b ( M ` ( E i^i y ) ) = ( M ` ( E i^i U. b ) ) )
31 simpr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) /\ y = x ) -> y = x )
3231ineq2d 3814 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) /\ y = x ) -> ( E i^i y ) = ( E i^i x ) )
3332fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) /\ y = x ) -> ( M ` ( E i^i y ) ) = ( M ` ( E i^i x ) ) )
34 simprr 796 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) -> x e. ( A \ b ) )
35 carsgval.2 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
3635adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
37 carsgclctunlem1.2 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E e. ~P O )
3837adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) -> E e. ~P O )
3938elpwincl1 29357 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) -> ( E i^i x ) e. ~P O )
4036, 39ffvelrnd 6360 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) -> ( M ` ( E i^i x ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
4133, 34, 40esumsn 30127 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) -> Σ* y e. { x } ( M ` ( E i^i y ) ) = ( M ` ( E i^i x ) ) )
4241adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) /\ ( M ` ( E i^i U. b ) ) = Σ* y e. b ( M ` ( E i^i y ) ) ) -> Σ* y e. { x } ( M ` ( E i^i y ) ) = ( M ` ( E i^i x ) ) )
4330, 42oveq12d 6668 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) /\ ( M ` ( E i^i U. b ) ) = Σ* y e. b ( M ` ( E i^i y ) ) ) -> (Σ* y e. b ( M ` ( E i^i y ) ) +eΣ* y e. { x } ( M ` ( E i^i y ) ) ) = ( ( M ` ( E i^i U. b ) ) +e ( M ` ( E i^i x ) ) ) )
44 nfv 1843 . . . . . 6 |- F/ y ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) )
45 nfcv 2764 . . . . . 6 |- F/_ y b
46 nfcv 2764 . . . . . 6 |- F/_ y { x }
47 vex 3203 . . . . . . 7 |- b e. _V
4847a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) -> b e. _V )
49 snex 4908 . . . . . . 7 |- { x } e. _V
5049a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) -> { x } e. _V )
5134eldifbd 3587 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) -> -. x e. b )
52 disjsn 4246 . . . . . . 7 |- ( ( b i^i { x } ) = (/) <-> -. x e. b )
5351, 52sylibr 224 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) -> ( b i^i { x } ) = (/) )
5435ad2antrr 762 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) /\ y e. b ) -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
5537ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) /\ y e. b ) -> E e. ~P O )
5655elpwincl1 29357 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) /\ y e. b ) -> ( E i^i y ) e. ~P O )
5754, 56ffvelrnd 6360 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) /\ y e. b ) -> ( M ` ( E i^i y ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
5835ad2antrr 762 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) /\ y e. { x } ) -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
5937ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) /\ y e. { x } ) -> E e. ~P O )
6059elpwincl1 29357 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) /\ y e. { x } ) -> ( E i^i y ) e. ~P O )
6158, 60ffvelrnd 6360 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) /\ y e. { x } ) -> ( M ` ( E i^i y ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
6244, 45, 46, 48, 50, 53, 57, 61esumsplit 30115 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) -> Σ* y e. ( b u. { x } ) ( M ` ( E i^i y ) ) = (Σ* y e. b ( M ` ( E i^i y ) ) +eΣ* y e. { x } ( M ` ( E i^i y ) ) ) )
6362adantr 481 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) /\ ( M ` ( E i^i U. b ) ) = Σ* y e. b ( M ` ( E i^i y ) ) ) -> Σ* y e. ( b u. { x } ) ( M ` ( E i^i y ) ) = (Σ* y e. b ( M ` ( E i^i y ) ) +eΣ* y e. { x } ( M ` ( E i^i y ) ) ) )
64 inass 3823 . . . . . . . . . 10 |- ( ( E i^i ( U. b u. x ) ) i^i U. b ) = ( E i^i ( ( U. b u. x ) i^i U. b ) )
65 indir 3875 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U. b u. x ) i^i U. b ) = ( ( U. b i^i U. b ) u. ( x i^i U. b ) )
66 inidm 3822 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U. b i^i U. b ) = U. b
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) -> ( U. b i^i U. b ) = U. b )
68 incom 3805 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U. b i^i x ) = ( x i^i U. b )
69 carsgclctunlem1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Disj y e. A y )
7069adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) -> Disj y e. A y )
71 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ b C_ A ) -> b C_ A )
7271adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) -> b C_ A )
7370, 72, 34disjuniel 29410 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) -> ( U. b i^i x ) = (/) )
7468, 73syl5eqr 2670 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) -> ( x i^i U. b ) = (/) )
7567, 74uneq12d 3768 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) -> ( ( U. b i^i U. b ) u. ( x i^i U. b ) ) = ( U. b u. (/) ) )
76 un0 3967 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( U. b u. (/) ) = U. b
7775, 76syl6eq 2672 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) -> ( ( U. b i^i U. b ) u. ( x i^i U. b ) ) = U. b )
7865, 77syl5eq 2668 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) -> ( ( U. b u. x ) i^i U. b ) = U. b )
7978ineq2d 3814 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) -> ( E i^i ( ( U. b u. x ) i^i U. b ) ) = ( E i^i U. b ) )
8064, 79syl5eq 2668 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) -> ( ( E i^i ( U. b u. x ) ) i^i U. b ) = ( E i^i U. b ) )
8180fveq2d 6195 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) -> ( M ` ( ( E i^i ( U. b u. x ) ) i^i U. b ) ) = ( M ` ( E i^i U. b ) ) )
82 indif2 3870 . . . . . . . . . 10 |- ( E i^i ( ( U. b u. x ) \ U. b ) ) = ( ( E i^i ( U. b u. x ) ) \ U. b )
83 uncom 3757 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U. b u. x ) = ( x u. U. b )
8483difeq1i 3724 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U. b u. x ) \ U. b ) = ( ( x u. U. b ) \ U. b )
85 disj3 4021 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x i^i U. b ) = (/) <-> x = ( x \ U. b ) )
8685biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x i^i U. b ) = (/) -> x = ( x \ U. b ) )
87 difun2 4048 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x u. U. b ) \ U. b ) = ( x \ U. b )
8886, 87syl6reqr 2675 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x i^i U. b ) = (/) -> ( ( x u. U. b ) \ U. b ) = x )
8984, 88syl5eq 2668 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x i^i U. b ) = (/) -> ( ( U. b u. x ) \ U. b ) = x )
9074, 89syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) -> ( ( U. b u. x ) \ U. b ) = x )
9190ineq2d 3814 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) -> ( E i^i ( ( U. b u. x ) \ U. b ) ) = ( E i^i x ) )
9282, 91syl5eqr 2670 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) -> ( ( E i^i ( U. b u. x ) ) \ U. b ) = ( E i^i x ) )
9392fveq2d 6195 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) -> ( M ` ( ( E i^i ( U. b u. x ) ) \ U. b ) ) = ( M ` ( E i^i x ) ) )
9481, 93oveq12d 6668 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) -> ( ( M ` ( ( E i^i ( U. b u. x ) ) i^i U. b ) ) +e ( M ` ( ( E i^i ( U. b u. x ) ) \ U. b ) ) ) = ( ( M ` ( E i^i U. b ) ) +e ( M ` ( E i^i x ) ) ) )
95 carsgval.1 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> O e. V )
9695adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ b C_ A ) -> O e. V )
9735adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ b C_ A ) -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
9821adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ b C_ A ) -> ( M ` (/) ) = 0 )
99 carsgsiga.2 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P O ) -> ( M ` U. x ) <_ Σ* y e. x ( M ` y ) )
100993adant1r 1319 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ b C_ A ) /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P O ) -> ( M ` U. x ) <_ Σ* y e. x ( M ` y ) )
101 fiunelcarsg.1 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. Fin )
102 ssfi 8180 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. Fin /\ b C_ A ) -> b e. Fin )
103101, 102sylan 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ b C_ A ) -> b e. Fin )
104 fiunelcarsg.2 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A C_ (toCaraSiga ` M ) )
105104adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ b C_ A ) -> A C_ (toCaraSiga ` M ) )
10671, 105sstrd 3613 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ b C_ A ) -> b C_ (toCaraSiga ` M ) )
10796, 97, 98, 100, 103, 106fiunelcarsg 30378 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ b C_ A ) -> U. b e. (toCaraSiga ` M ) )
10895, 35elcarsg 30367 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( U. b e. (toCaraSiga ` M ) <-> ( U. b C_ O /\ A. e e. ~P O ( ( M ` ( e i^i U. b ) ) +e ( M ` ( e \ U. b ) ) ) = ( M ` e ) ) ) )
109108adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ b C_ A ) -> ( U. b e. (toCaraSiga ` M ) <-> ( U. b C_ O /\ A. e e. ~P O ( ( M ` ( e i^i U. b ) ) +e ( M ` ( e \ U. b ) ) ) = ( M ` e ) ) ) )
110107, 109mpbid 222 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ b C_ A ) -> ( U. b C_ O /\ A. e e. ~P O ( ( M ` ( e i^i U. b ) ) +e ( M ` ( e \ U. b ) ) ) = ( M ` e ) ) )
111110simprd 479 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ b C_ A ) -> A. e e. ~P O ( ( M ` ( e i^i U. b ) ) +e ( M ` ( e \ U. b ) ) ) = ( M ` e ) )
112111adantrr 753 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) -> A. e e. ~P O ( ( M ` ( e i^i U. b ) ) +e ( M ` ( e \ U. b ) ) ) = ( M ` e ) )
11338elpwincl1 29357 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) -> ( E i^i ( U. b u. x ) ) e. ~P O )
114 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) /\ e = ( E i^i ( U. b u. x ) ) ) -> e = ( E i^i ( U. b u. x ) ) )
115114ineq1d 3813 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) /\ e = ( E i^i ( U. b u. x ) ) ) -> ( e i^i U. b ) = ( ( E i^i ( U. b u. x ) ) i^i U. b ) )
116115fveq2d 6195 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) /\ e = ( E i^i ( U. b u. x ) ) ) -> ( M ` ( e i^i U. b ) ) = ( M ` ( ( E i^i ( U. b u. x ) ) i^i U. b ) ) )
117114difeq1d 3727 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) /\ e = ( E i^i ( U. b u. x ) ) ) -> ( e \ U. b ) = ( ( E i^i ( U. b u. x ) ) \ U. b ) )
118117fveq2d 6195 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) /\ e = ( E i^i ( U. b u. x ) ) ) -> ( M ` ( e \ U. b ) ) = ( M ` ( ( E i^i ( U. b u. x ) ) \ U. b ) ) )
119116, 118oveq12d 6668 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) /\ e = ( E i^i ( U. b u. x ) ) ) -> ( ( M ` ( e i^i U. b ) ) +e ( M ` ( e \ U. b ) ) ) = ( ( M ` ( ( E i^i ( U. b u. x ) ) i^i U. b ) ) +e ( M ` ( ( E i^i ( U. b u. x ) ) \ U. b ) ) ) )
120114fveq2d 6195 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) /\ e = ( E i^i ( U. b u. x ) ) ) -> ( M ` e ) = ( M ` ( E i^i ( U. b u. x ) ) ) )
121119, 120eqeq12d 2637 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) /\ e = ( E i^i ( U. b u. x ) ) ) -> ( ( ( M ` ( e i^i U. b ) ) +e ( M ` ( e \ U. b ) ) ) = ( M ` e ) <-> ( ( M ` ( ( E i^i ( U. b u. x ) ) i^i U. b ) ) +e ( M ` ( ( E i^i ( U. b u. x ) ) \ U. b ) ) ) = ( M ` ( E i^i ( U. b u. x ) ) ) ) )
122113, 121rspcdv 3312 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) -> ( A. e e. ~P O ( ( M ` ( e i^i U. b ) ) +e ( M ` ( e \ U. b ) ) ) = ( M ` e ) -> ( ( M ` ( ( E i^i ( U. b u. x ) ) i^i U. b ) ) +e ( M ` ( ( E i^i ( U. b u. x ) ) \ U. b ) ) ) = ( M ` ( E i^i ( U. b u. x ) ) ) ) )
123112, 122mpd 15 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) -> ( ( M ` ( ( E i^i ( U. b u. x ) ) i^i U. b ) ) +e ( M ` ( ( E i^i ( U. b u. x ) ) \ U. b ) ) ) = ( M ` ( E i^i ( U. b u. x ) ) ) )
12494, 123eqtr3d 2658 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) -> ( ( M ` ( E i^i U. b ) ) +e ( M ` ( E i^i x ) ) ) = ( M ` ( E i^i ( U. b u. x ) ) ) )
125124adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) /\ ( M ` ( E i^i U. b ) ) = Σ* y e. b ( M ` ( E i^i y ) ) ) -> ( ( M ` ( E i^i U. b ) ) +e ( M ` ( E i^i x ) ) ) = ( M ` ( E i^i ( U. b u. x ) ) ) )
126 uniun 4456 . . . . . . . 8 |- U. ( b u. { x } ) = ( U. b u. U. { x } )
127 vex 3203 . . . . . . . . . 10 |- x e. _V
128127unisn 4451 . . . . . . . . 9 |- U. { x } = x
129128uneq2i 3764 . . . . . . . 8 |- ( U. b u. U. { x } ) = ( U. b u. x )
130126, 129eqtri 2644 . . . . . . 7 |- U. ( b u. { x } ) = ( U. b u. x )
131130ineq2i 3811 . . . . . 6 |- ( E i^i U. ( b u. { x } ) ) = ( E i^i ( U. b u. x ) )
132131fveq2i 6194 . . . . 5 |- ( M ` ( E i^i U. ( b u. { x } ) ) ) = ( M ` ( E i^i ( U. b u. x ) ) )
133125, 132syl6reqr 2675 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) /\ ( M ` ( E i^i U. b ) ) = Σ* y e. b ( M ` ( E i^i y ) ) ) -> ( M ` ( E i^i U. ( b u. { x } ) ) ) = ( ( M ` ( E i^i U. b ) ) +e ( M ` ( E i^i x ) ) ) )
13443, 63, 1333eqtr4rd 2667 . . 3 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) /\ ( M ` ( E i^i U. b ) ) = Σ* y e. b ( M ` ( E i^i y ) ) ) -> ( M ` ( E i^i U. ( b u. { x } ) ) ) = Σ* y e. ( b u. { x } ) ( M ` ( E i^i y ) ) )
135134ex 450 . 2 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ x e. ( A \ b ) ) ) -> ( ( M ` ( E i^i U. b ) ) = Σ* y e. b ( M ` ( E i^i y ) ) -> ( M ` ( E i^i U. ( b u. { x } ) ) ) = Σ* y e. ( b u. { x } ) ( M ` ( E i^i y ) ) ) )
1365, 10, 15, 20, 28, 135, 101findcard2d 8202 1 |- ( ph -> ( M ` ( E i^i U. A ) ) = Σ* y e. A ( M ` ( E i^i y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955   0cc0 9936   +oocpnf 10071   <_ cle 10075   +ecxad 11944   [,]cicc 12178  Σ*cesum 30089  toCaraSigaccarsg 30363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-lmod 18865  df-scaf 18866  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tmd 21876  df-tgp 21877  df-tsms 21930  df-trg 21963  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nrg 22390  df-nlm 22391  df-ii 22680  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-esum 30090  df-carsg 30364
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