Theorem ddemeas 30299

Description: The Dirac delta measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ddemeas	|- δ e. (measures ` ~P RR )

Proof of Theorem ddemeas

Dummy variables k a x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10039	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
2	1	rexri 10097	. . . . . 6 |- 1 e. RR*
3		0le1 10551	. . . . . 6 |- 0 <_ 1
4		pnfge 11964	. . . . . . 7 |- ( 1 e. RR* -> 1 <_ +oo )
5	2, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 1 <_ +oo
6		0xr 10086	. . . . . . 7 |- 0 e. RR*
7		pnfxr 10092	. . . . . . 7 |- +oo e. RR*
8		elicc1 12219	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( 1 e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( 1 e. RR* /\ 0 <_ 1 /\ 1 <_ +oo ) ) )
9	6, 7, 8	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( 1 e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( 1 e. RR* /\ 0 <_ 1 /\ 1 <_ +oo ) )
10	2, 3, 5, 9	mpbir3an 1244	. . . . 5 |- 1 e. ( 0 [,] +oo )
11		0e0iccpnf 12283	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
12	10, 11	keepel 4155	. . . 4 |- if ( 0 e. a , 1 , 0 ) e. ( 0 [,] +oo )
13	12	rgenw 2924	. . 3 |- A. a e. ~P RR if ( 0 e. a , 1 , 0 ) e. ( 0 [,] +oo )
14		df-dde 30296	. . . 4 |- δ = ( a e. ~P RR |-> if ( 0 e. a , 1 , 0 ) )
15	14	fmpt 6381	. . 3 |- ( A. a e. ~P RR if ( 0 e. a , 1 , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo ) )
16	13, 15	mpbi 220	. 2 |- δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo )
17		0ss 3972	. . 3 |- (/) C_ RR
18		noel 3919	. . 3 |- -. 0 e. (/)
19		ddeval0 30298	. . 3 |- ( ( (/) C_ RR /\ -. 0 e. (/) ) -> (δ ` (/) ) = 0 )
20	17, 18, 19	mp2an 708	. 2 |- (δ ` (/) ) = 0
21		rabxm 3961	. . . . . . . . 9 |- x = ( { a e. x | 0 e. a } u. { a e. x | -. 0 e. a } )
22		esumeq1 30096	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( { a e. x | 0 e. a } u. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> Σ* y e. x (δ ` y ) = Σ* y e. ( { a e. x | 0 e. a } u. { a e. x | -. 0 e. a } ) (δ ` y ) )
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- Σ* y e. x (δ ` y ) = Σ* y e. ( { a e. x | 0 e. a } u. { a e. x | -. 0 e. a } ) (δ ` y )
24		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ y x e. ~P ~P RR
25		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ y { a e. x | 0 e. a }
26		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ y { a e. x | -. 0 e. a }
27		rabexg 4812	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P ~P RR -> { a e. x | 0 e. a } e. _V )
28		rabexg 4812	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P ~P RR -> { a e. x | -. 0 e. a } e. _V )
29		rabnc 3962	. . . . . . . . . 10 |- ( { a e. x | 0 e. a } i^i { a e. x | -. 0 e. a } ) = (/)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P ~P RR -> ( { a e. x | 0 e. a } i^i { a e. x | -. 0 e. a } ) = (/) )
31		elrabi 3359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. { a e. x | 0 e. a } -> y e. x )
32	31	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | 0 e. a } ) -> y e. x )
33		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | 0 e. a } ) -> x e. ~P ~P RR )
34		elelpwi 4171	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. x /\ x e. ~P ~P RR ) -> y e. ~P RR )
35	32, 33, 34	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | 0 e. a } ) -> y e. ~P RR )
36	16	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~P RR -> (δ ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | 0 e. a } ) -> (δ ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
38		elrabi 3359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. { a e. x | -. 0 e. a } -> y e. x )
39	38	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> y e. x )
40		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> x e. ~P ~P RR )
41	39, 40, 34	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> y e. ~P RR )
42	41, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> (δ ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
43	24, 25, 26, 27, 28, 30, 37, 42	esumsplit 30115	. . . . . . . 8 |- ( x e. ~P ~P RR -> Σ* y e. ( { a e. x | 0 e. a } u. { a e. x | -. 0 e. a } ) (δ ` y ) = (Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) +eΣ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) ) )
44	23, 43	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( x e. ~P ~P RR -> Σ* y e. x (δ ` y ) = (Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) +eΣ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) ) )
45	44	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> Σ* y e. x (δ ` y ) = (Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) +eΣ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) ) )
46		esumeq1 30096	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { a e. x | 0 e. a } = { k } -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = Σ* y e. { k } (δ ` y ) )
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = Σ* y e. { k } (δ ` y ) )
48		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> x e. ~P ~P RR )
49		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- k e. _V
50	49	rabsnel 29341	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { a e. x | 0 e. a } = { k } -> k e. x )
51	50	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> k e. x )
52		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = k -> ( 0 e. a <-> 0 e. k ) )
53	49, 52	rabsnt 4266	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { a e. x | 0 e. a } = { k } -> 0 e. k )
54	53	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> 0 e. k )
55		elelpwi 4171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. x /\ x e. ~P ~P RR ) -> k e. ~P RR )
56	55	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ k e. x ) -> k e. ~P RR )
57	56	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> k e. ~P RR )
58		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ~P RR /\ y = k ) -> y = k )
59	58	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. ~P RR /\ y = k ) -> (δ ` y ) = (δ ` k ) )
60	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ~P RR -> k e. _V )
61	16	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ~P RR -> (δ ` k ) e. ( 0 [,] +oo ) )
62	59, 60, 61	esumsn 30127	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ~P RR -> Σ* y e. { k } (δ ` y ) = (δ ` k ) )
63	57, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> Σ* y e. { k } (δ ` y ) = (δ ` k ) )
64	57	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> k C_ RR )
65		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> 0 e. k )
66		ddeval1 30297	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k C_ RR /\ 0 e. k ) -> (δ ` k ) = 1 )
67	64, 65, 66	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> (δ ` k ) = 1 )
68	63, 67	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> Σ* y e. { k } (δ ` y ) = 1 )
69	48, 51, 54, 68	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> Σ* y e. { k } (δ ` y ) = 1 )
70	47, 69	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = 1 )
71		df-disj 4621	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Disj y e. x y <-> A. k E* y e. x k e. y )
72		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. _V
73		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = 0 -> ( k e. y <-> 0 e. y ) )
74	73	rmobidv 3131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = 0 -> ( E* y e. x k e. y <-> E* y e. x 0 e. y ) )
75	72, 74	spcv 3299	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. k E* y e. x k e. y -> E* y e. x 0 e. y )
76	71, 75	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Disj y e. x y -> E* y e. x 0 e. y )
77		rmo5 3162	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E* y e. x 0 e. y <-> ( E. y e. x 0 e. y -> E! y e. x 0 e. y ) )
78	77	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E* y e. x 0 e. y -> ( E. y e. x 0 e. y -> E! y e. x 0 e. y ) )
79	78	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( E* y e. x 0 e. y /\ E. y e. x 0 e. y ) -> E! y e. x 0 e. y )
80	76, 79	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (Disj y e. x y /\ E. y e. x 0 e. y ) -> E! y e. x 0 e. y )
81		reusn 4262	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E! y e. x 0 e. y <-> E. k { y e. x | 0 e. y } = { k } )
82	80, 81	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (Disj y e. x y /\ E. y e. x 0 e. y ) -> E. k { y e. x | 0 e. y } = { k } )
83		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = y -> ( 0 e. a <-> 0 e. y ) )
84	83	cbvrabv 3199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { a e. x | 0 e. a } = { y e. x | 0 e. y }
85	84	eqeq1i 2627	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { a e. x | 0 e. a } = { k } <-> { y e. x | 0 e. y } = { k } )
86	50	ancri 575	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { a e. x | 0 e. a } = { k } -> ( k e. x /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) )
87	85, 86	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { y e. x | 0 e. y } = { k } -> ( k e. x /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) )
88	87	eximi 1762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. k { y e. x | 0 e. y } = { k } -> E. k ( k e. x /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) )
89		df-rex 2918	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. k e. x { a e. x | 0 e. a } = { k } <-> E. k ( k e. x /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) )
90	88, 89	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. k { y e. x | 0 e. y } = { k } -> E. k e. x { a e. x | 0 e. a } = { k } )
91	82, 90	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( (Disj y e. x y /\ E. y e. x 0 e. y ) -> E. k e. x { a e. x | 0 e. a } = { k } )
92	91	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) -> E. k e. x { a e. x | 0 e. a } = { k } )
93	70, 92	r19.29a 3078	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = 1 )
94		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ~P ~P RR -> x C_ ~P RR )
95		sspwuni 4611	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x C_ ~P RR <-> U. x C_ RR )
96	94, 95	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ~P ~P RR -> U. x C_ RR )
97		eluni2 4440	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. U. x <-> E. y e. x 0 e. y )
98	97	biimpri 218	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. x 0 e. y -> 0 e. U. x )
99		ddeval1 30297	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U. x C_ RR /\ 0 e. U. x ) -> (δ ` U. x ) = 1 )
100	96, 98, 99	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ E. y e. x 0 e. y ) -> (δ ` U. x ) = 1 )
101	100	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) -> (δ ` U. x ) = 1 )
102	93, 101	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = (δ ` U. x ) )
103		nfre1 3005	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y E. y e. x 0 e. y
104	103	nfn 1784	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y -. E. y e. x 0 e. y
105	83	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. { a e. x | 0 e. a } <-> ( y e. x /\ 0 e. y ) )
106	105	exbii 1774	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. y y e. { a e. x | 0 e. a } <-> E. y ( y e. x /\ 0 e. y ) )
107		neq0 3930	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. { a e. x | 0 e. a } = (/) <-> E. y y e. { a e. x | 0 e. a } )
108		df-rex 2918	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. y e. x 0 e. y <-> E. y ( y e. x /\ 0 e. y ) )
109	106, 107, 108	3bitr4i 292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. { a e. x | 0 e. a } = (/) <-> E. y e. x 0 e. y )
110	109	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. { a e. x | 0 e. a } = (/) -> E. y e. x 0 e. y )
111	110	con1i 144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. E. y e. x 0 e. y -> { a e. x | 0 e. a } = (/) )
112	104, 111	esumeq1d 30097	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. E. y e. x 0 e. y -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = Σ* y e. (/) (δ ` y ) )
113		esumnul 30110	. . . . . . . . . . 11 |- Σ* y e. (/) (δ ` y ) = 0
114	112, 113	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( -. E. y e. x 0 e. y -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = 0 )
115	114	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ -. E. y e. x 0 e. y ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = 0 )
116	97	biimpi 206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. U. x -> E. y e. x 0 e. y )
117	116	con3i 150	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. E. y e. x 0 e. y -> -. 0 e. U. x )
118		ddeval0 30298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U. x C_ RR /\ -. 0 e. U. x ) -> (δ ` U. x ) = 0 )
119	96, 117, 118	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ -. E. y e. x 0 e. y ) -> (δ ` U. x ) = 0 )
120	119	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ -. E. y e. x 0 e. y ) -> (δ ` U. x ) = 0 )
121	115, 120	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ -. E. y e. x 0 e. y ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = (δ ` U. x ) )
122	102, 121	pm2.61dan 832	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = (δ ` U. x ) )
123	41	elpwid 4170	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> y C_ RR )
124	83	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = y -> ( -. 0 e. a <-> -. 0 e. y ) )
125	124	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. { a e. x | -. 0 e. a } <-> ( y e. x /\ -. 0 e. y ) )
126	125	simprbi 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. { a e. x | -. 0 e. a } -> -. 0 e. y )
127	126	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> -. 0 e. y )
128		ddeval0 30298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y C_ RR /\ -. 0 e. y ) -> (δ ` y ) = 0 )
129	123, 127, 128	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> (δ ` y ) = 0 )
130	129	esumeq2dv 30100	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P ~P RR -> Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) = Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } 0 )
131		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
132	131	rabex 4813	. . . . . . . . . 10 |- { a e. x | -. 0 e. a } e. _V
133	26	esum0 30111	. . . . . . . . . 10 |- ( { a e. x | -. 0 e. a } e. _V -> Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } 0 = 0 )
134	132, 133	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } 0 = 0
135	130, 134	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( x e. ~P ~P RR -> Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) = 0 )
136	135	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) = 0 )
137	122, 136	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> (Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) +eΣ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) ) = ( (δ ` U. x ) +e 0 ) )
138		vuniex 6954	. . . . . . . . . 10 |- U. x e. _V
139	138	elpw 4164	. . . . . . . . 9 |- ( U. x e. ~P RR <-> U. x C_ RR )
140	139	biimpri 218	. . . . . . . 8 |- ( U. x C_ RR -> U. x e. ~P RR )
141		iccssxr 12256	. . . . . . . . 9 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
142	16	ffvelrni 6358	. . . . . . . . 9 |- ( U. x e. ~P RR -> (δ ` U. x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
143	141, 142	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( U. x e. ~P RR -> (δ ` U. x ) e. RR* )
144		xaddid1 12072	. . . . . . . 8 |- ( (δ ` U. x ) e. RR* -> ( (δ ` U. x ) +e 0 ) = (δ ` U. x ) )
145	96, 140, 143, 144	4syl 19	. . . . . . 7 |- ( x e. ~P ~P RR -> ( (δ ` U. x ) +e 0 ) = (δ ` U. x ) )
146	145	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> ( (δ ` U. x ) +e 0 ) = (δ ` U. x ) )
147	45, 137, 146	3eqtrrd 2661	. . . . 5 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) )
148	147	adantrl 752	. . . 4 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) )
149	148	ex 450	. . 3 |- ( x e. ~P ~P RR -> ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) ) )
150	149	rgen 2922	. 2 |- A. x e. ~P ~P RR ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) )
151		reex 10027	. . . 4 |- RR e. _V
152		pwsiga 30193	. . . 4 |- ( RR e. _V -> ~P RR e. (sigAlgebra ` RR ) )
153	151, 152	ax-mp 5	. . 3 |- ~P RR e. (sigAlgebra ` RR )
154		elrnsiga 30189	. . 3 |- ( ~P RR e. (sigAlgebra ` RR ) -> ~P RR e. U. ran sigAlgebra )
155		ismeas 30262	. . 3 |- ( ~P RR e. U. ran sigAlgebra -> (δ e. (measures ` ~P RR ) <-> (δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ (δ ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P ~P RR ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) ) ) ) )
156	153, 154, 155	mp2b 10	. 2 |- (δ e. (measures ` ~P RR ) <-> (δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ (δ ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P ~P RR ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) ) ) )
157	16, 20, 150, 156	mpbir3an 1244	1 |- δ e. (measures ` ~P RR )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   E*wrmo 2915   {crab 2916   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   +ecxad 11944   [,]cicc 12178  Σ^*cesum 30089  sigAlgebracsiga 30170  measurescmeas 30258  δcdde 30295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-lmod 18865  df-scaf 18866  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tmd 21876  df-tgp 21877  df-tsms 21930  df-trg 21963  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nrg 22390  df-nlm 22391  df-ii 22680  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-esum 30090  df-siga 30171  df-meas 30259  df-dde 30296

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