Theorem etransclem38 40489

Description: P divides the I -th derivative of F applied to J. if it is not the case that I = P - 1 and J = 0. This is case 1 and the second part of case 2 proven in in [Juillerat] p. 13 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem38.p	|- ( ph -> P e. NN )
etransclem38.m	|- ( ph -> M e. NN0 )
etransclem38.f	|- F = ( x e. RR |-> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) ( ( x - j ) ^ P ) ) )
etransclem38.i	|- ( ph -> I e. NN0 )
etransclem38.j	|- ( ph -> J e. ( 0 ... M ) )
etransclem38.ij	|- ( ph -> -. ( I = ( P - 1 ) /\ J = 0 ) )
etransclem38.c	|- C = ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = n } )

Assertion

Ref	Expression
etransclem38	|- ( ph -> P || ( ( ( ( RR Dn F ) ` I ) ` J ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   C, c, j, n, x   I, c, j, n, x   J, c, j, n, x   M, c, j, n, x   P, c, j, n, x   ph, c, j, n, x

Allowed substitution hints:   F( x, j, n, c)

Proof of Theorem etransclem38

Dummy variables k d e m y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem38.c	. . . 4 |- C = ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = n } )
2		etransclem38.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. NN0 )
3	1, 2	etransclem16 40467	. . 3 |- ( ph -> ( C ` I ) e. Fin )
4		etransclem38.p	. . . 4 |- ( ph -> P e. NN )
5	4	nnzd 11481	. . 3 |- ( ph -> P e. ZZ )
6	4	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> P e. NN )
7		etransclem38.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. NN0 )
8	7	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> M e. NN0 )
9	2	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> I e. NN0 )
10		etransclem11 40462	. . . . . 6 |- ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = n } ) = ( m e. NN0 |-> { e e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( e ` k ) = m } )
11		etransclem11 40462	. . . . . 6 |- ( m e. NN0 |-> { e e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( e ` k ) = m } ) = ( n e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... n ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( d ` j ) = n } )
12	1, 10, 11	3eqtri 2648	. . . . 5 |- C = ( n e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... n ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( d ` j ) = n } )
13		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> c e. ( C ` I ) )
14		etransclem38.j	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. ( 0 ... M ) )
15	14	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> J e. ( 0 ... M ) )
16		eqid 2622	. . . . 5 |- ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) )
17	6, 8, 9, 12, 13, 15, 16	etransclem28 40479	. . . 4 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) || ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) )
18		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . 9 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. NN0 )
19	4, 18	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. NN0 )
20	19	faccld 13071	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. NN )
21	20	nnzd 11481	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. ZZ )
22	21	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. ZZ )
23	20	nnne0d 11065	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` ( P - 1 ) ) =/= 0 )
24	23	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) =/= 0 )
25	14	elfzelzd 39530	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. ZZ )
26	25	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> J e. ZZ )
27	6, 8, 9, 26, 12, 13	etransclem26 40477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) e. ZZ )
28		dvdsval2 14986	. . . . 5 |- ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) e. ZZ /\ ( ! ` ( P - 1 ) ) =/= 0 /\ ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( ! ` ( P - 1 ) ) || ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) <-> ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) e. ZZ ) )
29	22, 24, 27, 28	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ( ! ` ( P - 1 ) ) || ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) <-> ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) e. ZZ ) )
30	17, 29	mpbid 222	. . 3 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) e. ZZ )
31		pm3.22 465	. . . . . . . 8 |- ( ( J = 0 /\ I = ( P - 1 ) ) -> ( I = ( P - 1 ) /\ J = 0 ) )
32	31	adantll 750	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I = ( P - 1 ) ) -> ( I = ( P - 1 ) /\ J = 0 ) )
33		etransclem38.ij	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. ( I = ( P - 1 ) /\ J = 0 ) )
34	33	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I = ( P - 1 ) ) -> -. ( I = ( P - 1 ) /\ J = 0 ) )
35	32, 34	pm2.65da 600	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) -> -. I = ( P - 1 ) )
36	35	neqned 2801	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) -> I =/= ( P - 1 ) )
37	4	ad3antrrr 766	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I =/= ( P - 1 ) ) -> P e. NN )
38	7	ad3antrrr 766	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I =/= ( P - 1 ) ) -> M e. NN0 )
39	2	ad3antrrr 766	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I =/= ( P - 1 ) ) -> I e. NN0 )
40		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I =/= ( P - 1 ) ) -> I =/= ( P - 1 ) )
41		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I =/= ( P - 1 ) ) -> J = 0 )
42	13	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I =/= ( P - 1 ) ) -> c e. ( C ` I ) )
43	37, 38, 39, 40, 41, 12, 42	etransclem24 40475	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I =/= ( P - 1 ) ) -> P || ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
44	36, 43	mpdan 702	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) -> P || ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
45	4	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> P e. NN )
46	7	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> M e. NN0 )
47	2	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> I e. NN0 )
48	1, 2	etransclem12 40463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( C ` I ) = { c e. ( ( 0 ... I ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = I } )
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( C ` I ) = { c e. ( ( 0 ... I ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = I } )
50	13, 49	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> c e. { c e. ( ( 0 ... I ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = I } )
51		rabid 3116	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. { c e. ( ( 0 ... I ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = I } <-> ( c e. ( ( 0 ... I ) ^m ( 0 ... M ) ) /\ sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = I ) )
52	50, 51	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( c e. ( ( 0 ... I ) ^m ( 0 ... M ) ) /\ sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = I ) )
53	52	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> c e. ( ( 0 ... I ) ^m ( 0 ... M ) ) )
54		elmapi 7879	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ( ( 0 ... I ) ^m ( 0 ... M ) ) -> c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... I ) )
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... I ) )
56	55	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... I ) )
57	52	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = I )
58	57	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = I )
59		1zzd 11408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> 1 e. ZZ )
60	7	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ZZ )
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> M e. ZZ )
62	25	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> J e. ZZ )
63	59, 61, 62	3jca 1242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ J e. ZZ ) )
64		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. ( 0 ... M ) -> J e. NN0 )
65	14, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J e. NN0 )
66		neqne 2802	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. J = 0 -> J =/= 0 )
67	65, 66	anim12i 590	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> ( J e. NN0 /\ J =/= 0 ) )
68		elnnne0 11306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. NN <-> ( J e. NN0 /\ J =/= 0 ) )
69	67, 68	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> J e. NN )
70	69	nnge1d 11063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> 1 <_ J )
71		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. ( 0 ... M ) -> J <_ M )
72	14, 71	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J <_ M )
73	72	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> J <_ M )
74	63, 70, 73	jca32 558	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( 1 <_ J /\ J <_ M ) ) )
75		elfz2 12333	. . . . . . . . 9 |- ( J e. ( 1 ... M ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( 1 <_ J /\ J <_ M ) ) )
76	74, 75	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> J e. ( 1 ... M ) )
77	76	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> J e. ( 1 ... M ) )
78	45, 46, 47, 56, 58, 16, 77	etransclem25 40476	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> ( ! ` P ) || ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) )
79	4	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. CC )
80		1cnd 10056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. CC )
81	79, 80	npcand 10396	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) + 1 ) = P )
82	81	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P = ( ( P - 1 ) + 1 ) )
83	82	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ! ` P ) = ( ! ` ( ( P - 1 ) + 1 ) ) )
84		facp1 13065	. . . . . . . . 9 |- ( ( P - 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( ( P - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. ( ( P - 1 ) + 1 ) ) )
85	19, 84	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ! ` ( ( P - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. ( ( P - 1 ) + 1 ) ) )
86	81	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. ( ( P - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. P ) )
87	20	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. CC )
88	87, 79	mulcomd 10061	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. P ) = ( P x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
89	86, 88	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. ( ( P - 1 ) + 1 ) ) = ( P x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
90	83, 85, 89	3eqtrrd 2661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = ( ! ` P ) )
91	90	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> ( P x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = ( ! ` P ) )
92	27	zcnd 11483	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) e. CC )
93	87	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. CC )
94	92, 93, 24	divcan1d 10802	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) )
95	94	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> ( ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) )
96	78, 91, 95	3brtr4d 4685	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> ( P x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) || ( ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
97	5	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> P e. ZZ )
98	30	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) e. ZZ )
99	21	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. ZZ )
100	23	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) =/= 0 )
101		dvdsmulcr 15011	. . . . . 6 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) e. ZZ /\ ( ( ! ` ( P - 1 ) ) e. ZZ /\ ( ! ` ( P - 1 ) ) =/= 0 ) ) -> ( ( P x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) || ( ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) <-> P || ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) ) )
102	97, 98, 99, 100, 101	syl112anc 1330	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> ( ( P x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) || ( ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) <-> P || ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) ) )
103	96, 102	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> P || ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
104	44, 103	pm2.61dan 832	. . 3 |- ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> P || ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
105	3, 5, 30, 104	fsumdvds 15030	. 2 |- ( ph -> P || sum_ c e. ( C ` I ) ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
106		reelprrecn 10028	. . . . . 6 |- RR e. { RR , CC }
107	106	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
108		reopn 39501	. . . . . . 7 |- RR e. ( topGen ` ran (,) )
109		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
110	109	tgioo2 22606	. . . . . . 7 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
111	108, 110	eleqtri 2699	. . . . . 6 |- RR e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
112	111	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> RR e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) )
113		etransclem38.f	. . . . 5 |- F = ( x e. RR |-> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) ( ( x - j ) ^ P ) ) )
114		etransclem5 40456	. . . . 5 |- ( k e. ( 0 ... M ) |-> ( y e. RR |-> ( ( y - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) ) = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( x e. RR |-> ( ( x - j ) ^ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
115		fzssre 39529	. . . . . 6 |- ( 0 ... M ) C_ RR
116	115, 14	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ph -> J e. RR )
117	107, 112, 4, 7, 113, 2, 114, 1, 116	etransclem31 40482	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( RR Dn F ) ` I ) ` J ) = sum_ c e. ( C ` I ) ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) )
118	117	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( RR Dn F ) ` I ) ` J ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = ( sum_ c e. ( C ` I ) ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
119	3, 87, 92, 23	fsumdivc 14518	. . 3 |- ( ph -> ( sum_ c e. ( C ` I ) ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = sum_ c e. ( C ` I ) ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
120	118, 119	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( RR Dn F ) ` I ) ` J ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = sum_ c e. ( C ` I ) ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
121	105, 120	breqtrrd 4681	1 |- ( ph -> P || ( ( ( ( RR Dn F ) ` I ) ` J ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   ifcif 4086   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   (,)cioo 12175   ...cfz 12326   ^cexp 12860   !cfa 13060   sum_csu 14416   prod_cprod 14635   || cdvds 14983   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   Dncdvn 23628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-prod 14636  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-dvn 23632

This theorem is referenced by:  etransclem44  40495