Theorem fourierdlem63 40386

Description: The upper bound of intervals in the moved partition are mapped to points that are not greater than the corresponding upper bounds in the original partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem63.t	|- T = ( B - A )
fourierdlem63.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem63.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem63.q	|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
fourierdlem63.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem63.d	|- ( ph -> D e. RR )
fourierdlem63.cltd	|- ( ph -> C < D )
fourierdlem63.o	|- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem63.h	|- H = ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
fourierdlem63.n	|- N = ( ( # ` H ) - 1 )
fourierdlem63.s	|- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
fourierdlem63.e	|- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
fourierdlem63.k	|- ( ph -> K e. ( 0 ... M ) )
fourierdlem63.j	|- ( ph -> J e. ( 0..^ N ) )
fourierdlem63.y	|- ( ph -> Y e. ( ( S ` J ) [,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
fourierdlem63.eyltqk	|- ( ph -> ( E ` Y ) < ( Q ` K ) )
fourierdlem63.x	|- X = ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem63	|- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) <_ ( Q ` K ) )

Distinct variable groups:   x, k   A, i, m, p   x, A, i   B, i, m, p   x, B   C, i, m, p   x, C   D, i, m, p   x, D   k, E, x   f, H   x, H   k, J, x   k, K, x   i, M, m, p   f, N   i, N, m, p   x, N   Q, i, k, x   Q, p   S, f   S, i, k, x   S, p   T, i, k, x   k, Y, x   ph, f   ph, i, k, x

Allowed substitution hints:   ph( m, p)   A( f, k)   B( f, k)   C( f, k)   D( f, k)   P( x, f, i, k, m, p)   Q( f, m)   S( m)   T( f, m, p)   E( f, i, m, p)   H( i, k, m, p)   J( f, i, m, p)   K( f, i, m, p)   M( x, f, k)   N( k)   O( x, f, i, k, m, p)   X( x, f, i, k, m, p)   Y( f, i, m, p)

Proof of Theorem fourierdlem63

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem63.e	. . . . 5 |- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) )
3		id 22	. . . . . 6 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> x = ( S ` ( J + 1 ) ) )
4		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( B - x ) = ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
5	4	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( ( B - x ) / T ) = ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) )
6	5	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) )
7	6	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) )
8	3, 7	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) )
9	8	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ x = ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) )
10		fourierdlem63.t	. . . . . . . . . . 11 |- T = ( B - A )
11		fourierdlem63.p	. . . . . . . . . . 11 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
12		fourierdlem63.m	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. NN )
13		fourierdlem63.q	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
14		fourierdlem63.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. RR )
15		fourierdlem63.d	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. RR )
16		fourierdlem63.cltd	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C < D )
17		fourierdlem63.o	. . . . . . . . . . 11 |- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
18		fourierdlem63.h	. . . . . . . . . . 11 |- H = ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
19		fourierdlem63.n	. . . . . . . . . . 11 |- N = ( ( # ` H ) - 1 )
20		fourierdlem63.s	. . . . . . . . . . 11 |- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
21	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	fourierdlem54 40377	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( N e. NN /\ S e. ( O ` N ) ) /\ S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) ) )
22	21	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N e. NN /\ S e. ( O ` N ) ) )
23	22	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. ( O ` N ) )
24	22	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN )
25	17	fourierdlem2 40326	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( S e. ( O ` N ) <-> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) /\ ( ( ( S ` 0 ) = C /\ ( S ` N ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S e. ( O ` N ) <-> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) /\ ( ( ( S ` 0 ) = C /\ ( S ` N ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
27	23, 26	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) /\ ( ( ( S ` 0 ) = C /\ ( S ` N ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) )
28	27	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) )
29		elmapi 7879	. . . . . 6 |- ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) -> S : ( 0 ... N ) --> RR )
30	28, 29	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) --> RR )
31		fourierdlem63.j	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. ( 0..^ N ) )
32		fzofzp1 12565	. . . . . 6 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
33	31, 32	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
34	30, 33	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR )
35	11, 12, 13	fourierdlem11 40335	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A e. RR /\ B e. RR /\ A < B ) )
36	35	simp2d 1074	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. RR )
37	36, 34	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. RR )
38	35	simp1d 1073	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR )
39	36, 38	resubcld 10458	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
40	10, 39	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T e. RR )
41	35	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A < B )
42	38, 36	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
43	41, 42	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < ( B - A ) )
44	43, 10	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < T )
45	44	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T =/= 0 )
46	37, 40, 45	redivcld 10853	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) e. RR )
47	46	flcld 12599	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) e. ZZ )
48	47	zred 11482	. . . . . 6 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) e. RR )
49	48, 40	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) e. RR )
50	34, 49	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ph -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) e. RR )
51	2, 9, 34, 50	fvmptd 6288	. . 3 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) )
52	51, 50	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. RR )
53	11	fourierdlem2 40326	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
54	12, 53	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
55	13, 54	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
56	55	simpld 475	. . . 4 |- ( ph -> Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
57		elmapi 7879	. . . 4 |- ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
58	56, 57	syl 17	. . 3 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
59		fourierdlem63.k	. . 3 |- ( ph -> K e. ( 0 ... M ) )
60	58, 59	ffvelrnd 6360	. 2 |- ( ph -> ( Q ` K ) e. RR )
61	14	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> C e. RR )
62	15	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> D e. RR )
63	38	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. RR* )
64		iocssre 12253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A (,] B ) C_ RR )
65	63, 36, 64	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A (,] B ) C_ RR )
66	38, 36, 41, 10, 1	fourierdlem4 40328	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> E : RR --> ( A (,] B ) )
67		fourierdlem63.y	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> Y e. ( ( S ` J ) [,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
68		elfzofz 12485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. ( 0 ... N ) )
69	31, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> J e. ( 0 ... N ) )
70	30, 69	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( S ` J ) e. RR )
71	34	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR* )
72		elico2 12237	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( S ` J ) e. RR /\ ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR* ) -> ( Y e. ( ( S ` J ) [,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) <-> ( Y e. RR /\ ( S ` J ) <_ Y /\ Y < ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
73	70, 71, 72	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( Y e. ( ( S ` J ) [,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) <-> ( Y e. RR /\ ( S ` J ) <_ Y /\ Y < ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
74	67, 73	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Y e. RR /\ ( S ` J ) <_ Y /\ Y < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
75	74	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y e. RR )
76	66, 75	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E ` Y ) e. ( A (,] B ) )
77	65, 76	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E ` Y ) e. RR )
78	77, 75	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( E ` Y ) - Y ) e. RR )
79	60, 78	resubcld 10458	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) e. RR )
80	79	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) e. RR )
81		icossicc 12260	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S ` J ) [,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( S ` J ) [,] ( S ` ( J + 1 ) ) )
82	14	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> C e. RR* )
83	15	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> D e. RR* )
84	17, 24, 23	fourierdlem15 40339	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) --> ( C [,] D ) )
85	82, 83, 84, 31	fourierdlem8 40332	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( S ` J ) [,] ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( C [,] D ) )
86	81, 85	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( S ` J ) [,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( C [,] D ) )
87	86, 67	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y e. ( C [,] D ) )
88		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. RR /\ D e. RR ) -> ( Y e. ( C [,] D ) <-> ( Y e. RR /\ C <_ Y /\ Y <_ D ) ) )
89	14, 15, 88	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Y e. ( C [,] D ) <-> ( Y e. RR /\ C <_ Y /\ Y <_ D ) ) )
90	87, 89	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Y e. RR /\ C <_ Y /\ Y <_ D ) )
91	90	simp2d 1074	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C <_ Y )
92	60, 77	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Q ` K ) - ( E ` Y ) ) e. RR )
93		fourierdlem63.eyltqk	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( E ` Y ) < ( Q ` K ) )
94	77, 60	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( E ` Y ) < ( Q ` K ) <-> 0 < ( ( Q ` K ) - ( E ` Y ) ) ) )
95	93, 94	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 < ( ( Q ` K ) - ( E ` Y ) ) )
96	92, 95	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( Q ` K ) - ( E ` Y ) ) e. RR+ )
97	75, 96	ltaddrpd 11905	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y < ( Y + ( ( Q ` K ) - ( E ` Y ) ) ) )
98	60	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Q ` K ) e. CC )
99	77	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( E ` Y ) e. CC )
100	75	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y e. CC )
101	98, 99, 100	subsub3d 10422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) = ( ( ( Q ` K ) + Y ) - ( E ` Y ) ) )
102	98, 100	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Q ` K ) + Y ) = ( Y + ( Q ` K ) ) )
103	102	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( Q ` K ) + Y ) - ( E ` Y ) ) = ( ( Y + ( Q ` K ) ) - ( E ` Y ) ) )
104	100, 98, 99	addsubassd 10412	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( Y + ( Q ` K ) ) - ( E ` Y ) ) = ( Y + ( ( Q ` K ) - ( E ` Y ) ) ) )
105	101, 103, 104	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Y + ( ( Q ` K ) - ( E ` Y ) ) ) = ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) )
106	97, 105	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y < ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) )
107	14, 75, 79, 91, 106	lelttrd 10195	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C < ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) )
108	14, 79, 107	ltled 10185	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C <_ ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) )
109	108	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> C <_ ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) )
110	34	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR )
111	60	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` K ) e. RR )
112	52, 34	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. RR )
113	112	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. RR )
114	111, 113	resubcld 10458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) e. RR )
115	74	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> Y < ( S ` ( J + 1 ) ) )
116	75, 34, 115	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y <_ ( S ` ( J + 1 ) ) )
117	38, 36, 41, 10, 1, 75, 34, 116	fourierdlem7 40331	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) <_ ( ( E ` Y ) - Y ) )
118	112, 78, 60, 117	lesub2dd 10644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) <_ ( ( Q ` K ) - ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
119	118	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) <_ ( ( Q ` K ) - ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
120	98	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` K ) e. CC )
121	52	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. CC )
122	121	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. CC )
123	110	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. CC )
124	120, 122, 123	subsubd 10420	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) = ( ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) + ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
125	98, 121	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) e. CC )
126	34	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. CC )
127	125, 126	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) + ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) )
128	127	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) + ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) )
129	124, 128	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) )
130		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
131	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. RR )
132	111, 131	sublt0d 10653	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) < 0 <-> ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
133	130, 132	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) < 0 )
134	111, 131	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) e. RR )
135		ltaddneg 10251	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) e. RR /\ ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) < 0 <-> ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
136	134, 110, 135	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) < 0 <-> ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
137	133, 136	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
138	129, 137	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
139	80, 114, 110, 119, 138	lelttrd 10195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
140	84, 33	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. ( C [,] D ) )
141		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. RR /\ D e. RR ) -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) e. ( C [,] D ) <-> ( ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR /\ C <_ ( S ` ( J + 1 ) ) /\ ( S ` ( J + 1 ) ) <_ D ) ) )
142	14, 15, 141	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) e. ( C [,] D ) <-> ( ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR /\ C <_ ( S ` ( J + 1 ) ) /\ ( S ` ( J + 1 ) ) <_ D ) ) )
143	140, 142	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR /\ C <_ ( S ` ( J + 1 ) ) /\ ( S ` ( J + 1 ) ) <_ D ) )
144	143	simp3d 1075	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) <_ D )
145	144	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( S ` ( J + 1 ) ) <_ D )
146	80, 110, 62, 139, 145	ltletrd 10197	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) < D )
147	80, 62, 146	ltled 10185	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) <_ D )
148	61, 62, 80, 109, 147	eliccd 39726	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) e. ( C [,] D ) )
149		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = Y -> x = Y )
150		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = Y -> ( B - x ) = ( B - Y ) )
151	150	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = Y -> ( ( B - x ) / T ) = ( ( B - Y ) / T ) )
152	151	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = Y -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) )
153	152	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = Y -> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) )
154	149, 153	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = Y -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) )
155	154	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x = Y ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) )
156	36, 75	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( B - Y ) e. RR )
157	156, 40, 45	redivcld 10853	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( B - Y ) / T ) e. RR )
158	157	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) e. ZZ )
159	158	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) e. RR )
160	159, 40	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) e. RR )
161	75, 160	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) e. RR )
162	2, 155, 75, 161	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E ` Y ) = ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) )
163	162	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( E ` Y ) - Y ) = ( ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) - Y ) )
164	163	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) = ( ( ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) - Y ) / T ) )
165	160	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) e. CC )
166	100, 165	pncan2d 10394	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) - Y ) = ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) )
167	166	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) - Y ) / T ) = ( ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) / T ) )
168	159	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) e. CC )
169	40	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> T e. CC )
170	168, 169, 45	divcan4d 10807	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) / T ) = ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) )
171	164, 167, 170	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) = ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) )
172	171, 158	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) e. ZZ )
173	78	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( E ` Y ) - Y ) e. CC )
174	173, 169, 45	divcan1d 10802	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) x. T ) = ( ( E ` Y ) - Y ) )
175	174	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) x. T ) ) = ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( ( E ` Y ) - Y ) ) )
176	98, 173	npcand 10396	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( ( E ` Y ) - Y ) ) = ( Q ` K ) )
177	175, 176	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) x. T ) ) = ( Q ` K ) )
178		ffun 6048	. . . . . . . . . . 11 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> RR -> Fun Q )
179	58, 178	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Fun Q )
180		fdm 6051	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> RR -> dom Q = ( 0 ... M ) )
181	58, 180	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom Q = ( 0 ... M ) )
182	59, 181	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. dom Q )
183		fvelrn 6352	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun Q /\ K e. dom Q ) -> ( Q ` K ) e. ran Q )
184	179, 182, 183	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` K ) e. ran Q )
185	177, 184	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) x. T ) ) e. ran Q )
186		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) -> ( k x. T ) = ( ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) x. T ) )
187	186	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) -> ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( k x. T ) ) = ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) x. T ) ) )
188	187	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) -> ( ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) x. T ) ) e. ran Q ) )
189	188	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) e. ZZ /\ ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) x. T ) ) e. ran Q ) -> E. k e. ZZ ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( k x. T ) ) e. ran Q )
190	172, 185, 189	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. k e. ZZ ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( k x. T ) ) e. ran Q )
191	190	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> E. k e. ZZ ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( k x. T ) ) e. ran Q )
192		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) -> ( x + ( k x. T ) ) = ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( k x. T ) ) )
193	192	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) -> ( ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
194	193	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) -> ( E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
195	194	elrab 3363	. . . . . 6 |- ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) e. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } <-> ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) e. ( C [,] D ) /\ E. k e. ZZ ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
196	148, 191, 195	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) e. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
197		elun2 3781	. . . . 5 |- ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) e. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) e. ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) )
198	196, 197	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) e. ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) )
199		fourierdlem63.x	. . . 4 |- X = ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) )
200	198, 199, 18	3eltr4g 2718	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> X e. H )
201		elfzelz 12342	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0 ... N ) -> j e. ZZ )
202	201	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( S ` J ) < ( S ` j ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> j e. ZZ )
203		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. ZZ )
204	31, 203	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J e. ZZ )
205	204	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( S ` J ) < ( S ` j ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> J e. ZZ )
206		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` J ) < ( S ` j ) ) -> ( S ` J ) < ( S ` j ) )
207	21	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
208	207	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` J ) < ( S ` j ) ) -> S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
209	69	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` J ) < ( S ` j ) ) -> J e. ( 0 ... N ) )
210		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` J ) < ( S ` j ) ) -> j e. ( 0 ... N ) )
211		isorel 6576	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) /\ ( J e. ( 0 ... N ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( J < j <-> ( S ` J ) < ( S ` j ) ) )
212	208, 209, 210, 211	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` J ) < ( S ` j ) ) -> ( J < j <-> ( S ` J ) < ( S ` j ) ) )
213	206, 212	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` J ) < ( S ` j ) ) -> J < j )
214	213	adantrr 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( S ` J ) < ( S ` j ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> J < j )
215		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
216	207	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
217		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> j e. ( 0 ... N ) )
218	33	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
219		isorel 6576	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( j < ( J + 1 ) <-> ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
220	216, 217, 218, 219	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> ( j < ( J + 1 ) <-> ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
221	215, 220	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> j < ( J + 1 ) )
222	221	adantrl 752	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( S ` J ) < ( S ` j ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> j < ( J + 1 ) )
223		btwnnz 11453	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. ZZ /\ J < j /\ j < ( J + 1 ) ) -> -. j e. ZZ )
224	205, 214, 222, 223	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( S ` J ) < ( S ` j ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> -. j e. ZZ )
225	202, 224	pm2.65da 600	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> -. ( ( S ` J ) < ( S ` j ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
226	225	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> -. ( ( S ` J ) < ( S ` j ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
227	70	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> ( S ` J ) e. RR )
228	75	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> Y e. RR )
229	30	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( S ` j ) e. RR )
230	229	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> ( S ` j ) e. RR )
231	74	simp2d 1074	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S ` J ) <_ Y )
232	231	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> ( S ` J ) <_ Y )
233	106, 199	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y < X )
234	233	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( S ` j ) = X ) -> Y < X )
235		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X = ( S ` j ) <-> ( S ` j ) = X )
236	235	biimpri 218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S ` j ) = X -> X = ( S ` j ) )
237	236	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( S ` j ) = X ) -> X = ( S ` j ) )
238	234, 237	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( S ` j ) = X ) -> Y < ( S ` j ) )
239	238	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> Y < ( S ` j ) )
240	227, 228, 230, 232, 239	lelttrd 10195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> ( S ` J ) < ( S ` j ) )
241	240	adantllr 755	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> ( S ` J ) < ( S ` j ) )
242		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> ( S ` j ) = X )
243	199, 139	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> X < ( S ` ( J + 1 ) ) )
244	243	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> X < ( S ` ( J + 1 ) ) )
245	242, 244	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
246	245	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
247	241, 246	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> ( ( S ` J ) < ( S ` j ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
248	226, 247	mtand 691	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> -. ( S ` j ) = X )
249	248	nrexdv 3001	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> -. E. j e. ( 0 ... N ) ( S ` j ) = X )
250		isof1o 6573	. . . . . . . . 9 |- ( S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) -> S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H )
251	207, 250	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H )
252		f1ofo 6144	. . . . . . . 8 |- ( S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H -> S : ( 0 ... N ) -onto-> H )
253	251, 252	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) -onto-> H )
254		foelrn 6378	. . . . . . 7 |- ( ( S : ( 0 ... N ) -onto-> H /\ X e. H ) -> E. j e. ( 0 ... N ) X = ( S ` j ) )
255	253, 254	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. H ) -> E. j e. ( 0 ... N ) X = ( S ` j ) )
256	235	rexbii 3041	. . . . . 6 |- ( E. j e. ( 0 ... N ) X = ( S ` j ) <-> E. j e. ( 0 ... N ) ( S ` j ) = X )
257	255, 256	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. H ) -> E. j e. ( 0 ... N ) ( S ` j ) = X )
258	257	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ X e. H ) -> E. j e. ( 0 ... N ) ( S ` j ) = X )
259	249, 258	mtand 691	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> -. X e. H )
260	200, 259	pm2.65da 600	. 2 |- ( ph -> -. ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
261	52, 60, 260	nltled 10187	1 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) <_ ( Q ` K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   u. cun 3572   C_ wss 3574   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   iotacio 5849   Fun wfun 5882   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Isom wiso 5889  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   (,]cioc 12176   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   |_cfl 12591   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-cmp 21190

This theorem is referenced by:  fourierdlem79  40402