Theorem hoidmv1lelem3 40807

Description: The dimensional volume of a 1-dimensional half-open interval is less than or equal the generalized sum of the dimensional volumes of countable half-open intervals that cover it. This is the non-empty, finite generalized sum, sub case in Lemma 114B of [Fremlin1] p. 23. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidmv1lelem3.a	|- ( ph -> A e. RR )
hoidmv1lelem3.b	|- ( ph -> B e. RR )
hoidmv1lelem3.l	|- ( ph -> A < B )
hoidmv1lelem3.c	|- ( ph -> C : NN --> RR )
hoidmv1lelem3.d	|- ( ph -> D : NN --> RR )
hoidmv1lelem3.x	|- ( ph -> ( A [,) B ) C_ U_ j e. NN ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
hoidmv1lelem3.r	|- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR )
hoidmv1lelem3.u	|- U = { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) }
hoidmv1lelem3.s	|- S = sup ( U , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
hoidmv1lelem3	|- ( ph -> ( B - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, j, z   B, j, z   C, j, z   D, j, z   S, j, z   U, j, z   ph, j, z

Proof of Theorem hoidmv1lelem3

Dummy variables x y i u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoidmv1lelem3.b	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
2		hoidmv1lelem3.a	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3	1, 2	resubcld 10458	. 2 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
4		nnex 11026	. . . . . . 7 |- NN e. _V
5	4	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> NN e. _V )
6		icossicc 12260	. . . . . . . 8 |- ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
7		0xr 10086	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR*
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> 0 e. RR* )
9		pnfxr 10092	. . . . . . . . . 10 |- +oo e. RR*
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> +oo e. RR* )
11		hoidmv1lelem3.c	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C : NN --> RR )
12	11	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) e. RR )
13		hoidmv1lelem3.d	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> D : NN --> RR )
14	13	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) e. RR )
15	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> B e. RR )
16	14, 15	ifcld 4131	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) e. RR )
17		volicore 40795	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C ` j ) e. RR /\ if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) e. RR )
18	12, 16, 17	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) e. RR )
19	18	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) e. RR* )
20	16	rexrd 10089	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) e. RR* )
21		icombl 23332	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C ` j ) e. RR /\ if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) e. RR* ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) e. dom vol )
22	12, 20, 21	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) e. dom vol )
23		volge0 40177	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) e. dom vol -> 0 <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> 0 <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) )
25	18	ltpnfd 11955	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) < +oo )
26	8, 10, 19, 24, 25	elicod 12224	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
27	6, 26	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
28		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) )
29	27, 28	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
30	5, 29	sge0xrcl 40602	. . . . 5 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) e. RR* )
31	9	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> +oo e. RR* )
32		hoidmv1lelem3.r	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR )
33	32	rexrd 10089	. . . . . 6 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR* )
34		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ j ph
35		volf 23297	. . . . . . . . 9 |- vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo )
36	35	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) )
37	14	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) e. RR* )
38		icombl 23332	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C ` j ) e. RR /\ ( D ` j ) e. RR* ) -> ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) e. dom vol )
39	12, 37, 38	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) e. dom vol )
40	36, 39	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
41	12	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) e. RR* )
42	12	leidd 10594	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) <_ ( C ` j ) )
43		min1 12020	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D ` j ) e. RR /\ B e. RR ) -> if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) <_ ( D ` j ) )
44	14, 15, 43	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) <_ ( D ` j ) )
45		icossico 12243	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C ` j ) e. RR* /\ ( D ` j ) e. RR* ) /\ ( ( C ` j ) <_ ( C ` j ) /\ if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) <_ ( D ` j ) ) ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
46	41, 37, 42, 44, 45	syl22anc 1327	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
47		volss 23301	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) e. dom vol /\ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) e. dom vol /\ ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) )
48	22, 39, 46, 47	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) )
49	34, 5, 27, 40, 48	sge0lempt 40627	. . . . . 6 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) )
50	32	ltpnfd 11955	. . . . . 6 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) < +oo )
51	30, 33, 31, 49, 50	xrlelttrd 11991	. . . . 5 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) < +oo )
52	30, 31, 51	xrltned 39573	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) =/= +oo )
53	52	neneqd 2799	. . 3 |- ( ph -> -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) = +oo )
54	5, 29	sge0repnf 40603	. . 3 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) e. RR <-> -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) = +oo ) )
55	53, 54	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) e. RR )
56	1	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR* )
57	2, 1	iccssred 39727	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
58		hoidmv1lelem3.u	. . . . . . . . . . 11 |- U = { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) }
59		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . 11 |- { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } C_ ( A [,] B )
60	58, 59	eqsstri 3635	. . . . . . . . . 10 |- U C_ ( A [,] B )
61		hoidmv1lelem3.l	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A < B )
62		hoidmv1lelem3.s	. . . . . . . . . . . 12 |- S = sup ( U , RR , < )
63	2, 1, 61, 11, 13, 32, 58, 62	hoidmv1lelem1 40805	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( S e. U /\ A e. U /\ E. x e. RR A. y e. U y <_ x ) )
64	63	simp1d 1073	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. U )
65	60, 64	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. ( A [,] B ) )
66	57, 65	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. RR )
67	66	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. RR* )
68		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. B <_ S ) -> ph )
69		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. B <_ S ) -> -. B <_ S )
70	68, 66	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. B <_ S ) -> S e. RR )
71	68, 1	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. B <_ S ) -> B e. RR )
72	70, 71	ltnled 10184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. B <_ S ) -> ( S < B <-> -. B <_ S ) )
73	69, 72	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. B <_ S ) -> S < B )
74		hoidmv1lelem3.x	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A [,) B ) C_ U_ j e. NN ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ S < B ) -> ( A [,) B ) C_ U_ j e. NN ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
76	2	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A e. RR* )
77	76	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ S < B ) -> A e. RR* )
78	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ S < B ) -> B e. RR* )
79	67	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ S < B ) -> S e. RR* )
80	60, 57	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> U C_ RR )
81		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S e. U -> U =/= (/) )
82	64, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> U =/= (/) )
83	63	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> E. x e. RR A. y e. U y <_ x )
84	63	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A e. U )
85		suprub 10984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( U C_ RR /\ U =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. U y <_ x ) /\ A e. U ) -> A <_ sup ( U , RR , < ) )
86	80, 82, 83, 84, 85	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A <_ sup ( U , RR , < ) )
87	86, 62	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A <_ S )
88	87	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ S < B ) -> A <_ S )
89		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ S < B ) -> S < B )
90	77, 78, 79, 88, 89	elicod 12224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ S < B ) -> S e. ( A [,) B ) )
91	75, 90	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < B ) -> S e. U_ j e. NN ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
92		eliun 4524	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. U_ j e. NN ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) <-> E. j e. NN S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
93	91, 92	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ S < B ) -> E. j e. NN S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
94	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S < B ) -> A e. RR )
95	94	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < B ) /\ j e. NN /\ S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> A e. RR )
96	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S < B ) -> B e. RR )
97	96	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < B ) /\ j e. NN /\ S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> B e. RR )
98	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S < B ) -> C : NN --> RR )
99	98	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < B ) /\ j e. NN /\ S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> C : NN --> RR )
100	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S < B ) -> D : NN --> RR )
101	100	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < B ) /\ j e. NN /\ S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> D : NN --> RR )
102		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i = j -> ( C ` i ) = ( C ` j ) )
103		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i = j -> ( D ` i ) = ( D ` j ) )
104	102, 103	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i = j -> ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) = ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
105	104	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = j -> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) = ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) )
106	105	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) )
107	106	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) )
108	107, 32	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) ) ) e. RR )
109	108	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S < B ) -> (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) ) ) e. RR )
110	109	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < B ) /\ j e. NN /\ S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) ) ) e. RR )
111	103	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i = j -> ( ( D ` i ) <_ z <-> ( D ` j ) <_ z ) )
112	111, 103	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i = j -> if ( ( D ` i ) <_ z , ( D ` i ) , z ) = if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) )
113	102, 112	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i = j -> ( ( C ` i ) [,) if ( ( D ` i ) <_ z , ( D ` i ) , z ) ) = ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) )
114	113	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i = j -> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) if ( ( D ` i ) <_ z , ( D ` i ) , z ) ) ) = ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) )
115	114	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) if ( ( D ` i ) <_ z , ( D ` i ) , z ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) )
116	115	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) = ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) if ( ( D ` i ) <_ z , ( D ` i ) , z ) ) ) )
117	116	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) = (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) if ( ( D ` i ) <_ z , ( D ` i ) , z ) ) ) ) )
118	117	breq2i 4661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) <-> ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) if ( ( D ` i ) <_ z , ( D ` i ) , z ) ) ) ) ) )
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( A [,] B ) -> ( ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) <-> ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) if ( ( D ` i ) <_ z , ( D ` i ) , z ) ) ) ) ) ) )
120	119	rabbiia 3185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } = { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) if ( ( D ` i ) <_ z , ( D ` i ) , z ) ) ) ) ) }
121	58, 120	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . 13 |- U = { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( i e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` i ) [,) if ( ( D ` i ) <_ z , ( D ` i ) , z ) ) ) ) ) }
122	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S < B ) -> S e. U )
123	122	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < B ) /\ j e. NN /\ S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> S e. U )
124	88	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < B ) /\ j e. NN /\ S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> A <_ S )
125	89	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < B ) /\ j e. NN /\ S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> S < B )
126		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < B ) /\ j e. NN /\ S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> j e. NN )
127		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S < B ) /\ j e. NN /\ S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
128		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) = if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B )
129	95, 97, 99, 101, 110, 121, 123, 124, 125, 126, 127, 128	hoidmv1lelem2 40806	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ S < B ) /\ j e. NN /\ S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> E. u e. U S < u )
130	129	3exp 1264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < B ) -> ( j e. NN -> ( S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) -> E. u e. U S < u ) ) )
131	130	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ S < B ) -> ( E. j e. NN S e. ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) -> E. u e. U S < u ) )
132	93, 131	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ S < B ) -> E. u e. U S < u )
133	68, 73, 132	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. B <_ S ) -> E. u e. U S < u )
134	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
135	60, 134	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> U C_ RR )
136	82	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> U =/= (/) )
137	2, 1	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )
138	137	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )
139	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> U C_ ( A [,] B ) )
140	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> S e. U )
141		iccsupr 12266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ U C_ ( A [,] B ) /\ S e. U ) -> ( U C_ RR /\ U =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. U y <_ x ) )
142	138, 139, 140, 141	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( U C_ RR /\ U =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. U y <_ x ) )
143	142	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> E. x e. RR A. y e. U y <_ x )
144		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u e. U )
145		suprub 10984	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( U C_ RR /\ U =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. U y <_ x ) /\ u e. U ) -> u <_ sup ( U , RR , < ) )
146	135, 136, 143, 144, 145	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u <_ sup ( U , RR , < ) )
147	146, 62	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u <_ S )
148	147	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. u e. U u <_ S )
149	60	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. U -> u e. ( A [,] B ) )
150	149	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u e. ( A [,] B ) )
151	134, 150	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u e. RR )
152	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> S e. RR )
153	151, 152	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( u <_ S <-> -. S < u ) )
154	153	ralbidva 2985	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A. u e. U u <_ S <-> A. u e. U -. S < u ) )
155	148, 154	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. u e. U -. S < u )
156		ralnex 2992	. . . . . . . . . 10 |- ( A. u e. U -. S < u <-> -. E. u e. U S < u )
157	155, 156	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. E. u e. U S < u )
158	157	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. B <_ S ) -> -. E. u e. U S < u )
159	133, 158	condan 835	. . . . . . 7 |- ( ph -> B <_ S )
160		iccleub 12229	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ S e. ( A [,] B ) ) -> S <_ B )
161	76, 56, 65, 160	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> S <_ B )
162	56, 67, 159, 161	xrletrid 11986	. . . . . 6 |- ( ph -> B = S )
163	162, 64	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ph -> B e. U )
164	163, 58	syl6eleq 2711	. . . 4 |- ( ph -> B e. { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } )
165		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( z = B -> ( z - A ) = ( B - A ) )
166		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = B -> ( ( D ` j ) <_ z <-> ( D ` j ) <_ B ) )
167		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = B -> z = B )
168	166, 167	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . . 10 |- ( z = B -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) = if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) )
169	168	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( z = B -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) = ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) )
170	169	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( z = B -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) = ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) )
171	170	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 |- ( z = B -> ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) )
172	171	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( z = B -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) )
173	165, 172	breq12d 4666	. . . . 5 |- ( z = B -> ( ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) <-> ( B - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) ) )
174	173	elrab 3363	. . . 4 |- ( B e. { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } <-> ( B e. ( A [,] B ) /\ ( B - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) ) )
175	164, 174	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> ( B e. ( A [,] B ) /\ ( B - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) ) )
176	175	simprd 479	. 2 |- ( ph -> ( B - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ B , ( D ` j ) , B ) ) ) ) ) )
177	3, 55, 32, 176, 49	letrd 10194	1 |- ( ph -> ( B - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   volcvol 23232  Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-sumge0 40580

This theorem is referenced by:  hoidmv1le  40808