Theorem i1fibl 23574

Description: A simple function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1fibl	|- ( F e. dom S.1 -> F e. L^1 )

Proof of Theorem i1fibl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1ff 23443	. . 3 |- ( F e. dom S.1 -> F : RR --> RR )
2	1	feqmptd 6249	. 2 |- ( F e. dom S.1 -> F = ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) )
3		i1fmbf 23442	. . . 4 |- ( F e. dom S.1 -> F e. MblFn )
4	2, 3	eqeltrrd 2702	. . 3 |- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) e. MblFn )
5		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> x e. RR )
6	5	biantrurd 529	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> ( 0 <_ ( F ` x ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) ) )
7	6	ifbid 4108	. . . . . . 7 |- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) = if ( ( x e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) , ( F ` x ) , 0 ) )
8	7	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) , ( F ` x ) , 0 ) ) )
9	8	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( F e. dom S.1 -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) )
10		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) )
11	10	i1fpos 23473	. . . . . 6 |- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 )
12		0re 10040	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
13	1	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. RR )
14		max1 12016	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ ( F ` x ) e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) )
15	12, 13, 14	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) )
16	15	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( F e. dom S.1 -> A. x e. RR 0 <_ if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) )
17		reex 10027	. . . . . . . . . 10 |- RR e. _V
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( F e. dom S.1 -> RR e. _V )
19	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> 0 e. RR )
20		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( F ` x ) e. _V
21		c0ex 10034	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. _V
22	20, 21	ifex 4156	. . . . . . . . . 10 |- if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) e. _V
23	22	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) e. _V )
24		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . 10 |- ( RR X. { 0 } ) = ( x e. RR |-> 0 )
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( F e. dom S.1 -> ( RR X. { 0 } ) = ( x e. RR |-> 0 ) )
26		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) )
27	18, 19, 23, 25, 26	ofrfval2 6915	. . . . . . . 8 |- ( F e. dom S.1 -> ( ( RR X. { 0 } ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) <-> A. x e. RR 0 <_ if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) )
28	16, 27	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( F e. dom S.1 -> ( RR X. { 0 } ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) )
29		ax-resscn 9993	. . . . . . . . 9 |- RR C_ CC
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( F e. dom S.1 -> RR C_ CC )
31	22, 10	fnmpti 6022	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) Fn RR
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) Fn RR )
33	30, 32	0pledm 23440	. . . . . . 7 |- ( F e. dom S.1 -> ( 0p oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) <-> ( RR X. { 0 } ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) )
34	28, 33	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( F e. dom S.1 -> 0p oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) )
35		itg2itg1 23503	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 /\ 0p oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) = ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) )
36	11, 34, 35	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( F e. dom S.1 -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) = ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) )
37	9, 36	eqtr3d 2658	. . . 4 |- ( F e. dom S.1 -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) = ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) )
38		itg1cl 23452	. . . . 5 |- ( ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 -> ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) e. RR )
39	11, 38	syl 17	. . . 4 |- ( F e. dom S.1 -> ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) e. RR )
40	37, 39	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( F e. dom S.1 -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) e. RR )
41	5	biantrurd 529	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> ( 0 <_ -u ( F ` x ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ -u ( F ` x ) ) ) )
42	41	ifbid 4108	. . . . . . 7 |- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) = if ( ( x e. RR /\ 0 <_ -u ( F ` x ) ) , -u ( F ` x ) , 0 ) )
43	42	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. RR /\ 0 <_ -u ( F ` x ) ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) )
44	43	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( F e. dom S.1 -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. RR /\ 0 <_ -u ( F ` x ) ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) )
45		neg1rr 11125	. . . . . . . . . . 11 |- -u 1 e. RR
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> -u 1 e. RR )
47		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . . 11 |- ( RR X. { -u 1 } ) = ( x e. RR |-> -u 1 )
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. dom S.1 -> ( RR X. { -u 1 } ) = ( x e. RR |-> -u 1 ) )
49	18, 46, 13, 48, 2	offval2 6914	. . . . . . . . 9 |- ( F e. dom S.1 -> ( ( RR X. { -u 1 } ) oF x. F ) = ( x e. RR |-> ( -u 1 x. ( F ` x ) ) ) )
50	13	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. CC )
51	50	mulm1d 10482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> ( -u 1 x. ( F ` x ) ) = -u ( F ` x ) )
52	51	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . 9 |- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> ( -u 1 x. ( F ` x ) ) ) = ( x e. RR |-> -u ( F ` x ) ) )
53	49, 52	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( F e. dom S.1 -> ( ( RR X. { -u 1 } ) oF x. F ) = ( x e. RR |-> -u ( F ` x ) ) )
54		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( F e. dom S.1 -> F e. dom S.1 )
55	45	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( F e. dom S.1 -> -u 1 e. RR )
56	54, 55	i1fmulc 23470	. . . . . . . 8 |- ( F e. dom S.1 -> ( ( RR X. { -u 1 } ) oF x. F ) e. dom S.1 )
57	53, 56	eqeltrrd 2702	. . . . . . 7 |- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> -u ( F ` x ) ) e. dom S.1 )
58	57	i1fposd 23474	. . . . . 6 |- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 )
59	13	renegcld 10457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> -u ( F ` x ) e. RR )
60		max1 12016	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ -u ( F ` x ) e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) )
61	12, 59, 60	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) )
62	61	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( F e. dom S.1 -> A. x e. RR 0 <_ if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) )
63		negex 10279	. . . . . . . . . . 11 |- -u ( F ` x ) e. _V
64	63, 21	ifex 4156	. . . . . . . . . 10 |- if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) e. _V
65	64	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) e. _V )
66		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) )
67	18, 19, 65, 25, 66	ofrfval2 6915	. . . . . . . 8 |- ( F e. dom S.1 -> ( ( RR X. { 0 } ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) <-> A. x e. RR 0 <_ if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) )
68	62, 67	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( F e. dom S.1 -> ( RR X. { 0 } ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) )
69		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) )
70	64, 69	fnmpti 6022	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) Fn RR
71	70	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) Fn RR )
72	30, 71	0pledm 23440	. . . . . . 7 |- ( F e. dom S.1 -> ( 0p oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) <-> ( RR X. { 0 } ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) )
73	68, 72	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( F e. dom S.1 -> 0p oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) )
74		itg2itg1 23503	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 /\ 0p oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) = ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) )
75	58, 73, 74	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( F e. dom S.1 -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) = ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) )
76	44, 75	eqtr3d 2658	. . . 4 |- ( F e. dom S.1 -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. RR /\ 0 <_ -u ( F ` x ) ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) = ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) )
77		itg1cl 23452	. . . . 5 |- ( ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 -> ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) e. RR )
78	58, 77	syl 17	. . . 4 |- ( F e. dom S.1 -> ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) e. RR )
79	76, 78	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( F e. dom S.1 -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. RR /\ 0 <_ -u ( F ` x ) ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) e. RR )
80	13	iblrelem 23557	. . 3 |- ( F e. dom S.1 -> ( ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) e. L^1 <-> ( ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. RR /\ 0 <_ -u ( F ` x ) ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
81	4, 40, 79, 80	mpbir3and 1245	. 2 |- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) e. L^1 )
82	2, 81	eqeltrd 2701	1 |- ( F e. dom S.1 -> F e. L^1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   oRcofr 6896   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   <_ cle 10075   -ucneg 10267  MblFncmbf 23383   S.1citg1 23384   S.2citg2 23385   L^1cibl 23386   0pc0p 23436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  itgitg1  23575  ftc1anclem4  33488