Theorem ioodvbdlimc1 40148

Description: A real function with bounded derivative, has a limit at the upper bound of an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Proof shortened by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioodvbdlimc1.a	|- ( ph -> A e. RR )
ioodvbdlimc1.b	|- ( ph -> B e. RR )
ioodvbdlimc1.f	|- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> RR )
ioodvbdlimc1.dmdv	|- ( ph -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
ioodvbdlimc1.dvbd	|- ( ph -> E. y e. RR A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) <_ y )

Assertion

Ref	Expression
ioodvbdlimc1	|- ( ph -> ( F lim CC A ) =/= (/) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, F, y   ph, x, y

Proof of Theorem ioodvbdlimc1

Dummy variables k j z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioodvbdlimc1.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
2	1	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < B ) -> A e. RR )
3		ioodvbdlimc1.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR )
4	3	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < B ) -> B e. RR )
5		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < B ) -> A < B )
6		ioodvbdlimc1.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> RR )
7	6	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < B ) -> F : ( A (,) B ) --> RR )
8		ioodvbdlimc1.dmdv	. . . . 5 |- ( ph -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
9	8	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < B ) -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
10		ioodvbdlimc1.dvbd	. . . . 5 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) <_ y )
11	10	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < B ) -> E. y e. RR A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) <_ y )
12		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( ( RR _D F ) ` y ) = ( ( RR _D F ) ` x ) )
13	12	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) = ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) )
14	13	cbvmptv 4750	. . . . . 6 |- ( y e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) ) = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) )
15	14	rneqi 5352	. . . . 5 |- ran ( y e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) ) = ran ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) )
16	15	supeq1i 8353	. . . 4 |- sup ( ran ( y e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) ) , RR , < ) = sup ( ran ( x e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) ) , RR , < )
17		eqid 2622	. . . 4 |- ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) = ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 )
18		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( 1 / j ) = ( 1 / k ) )
19	18	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( A + ( 1 / j ) ) = ( A + ( 1 / k ) ) )
20	19	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( j = k -> ( F ` ( A + ( 1 / j ) ) ) = ( F ` ( A + ( 1 / k ) ) ) )
21	20	cbvmptv 4750	. . . 4 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) ) |-> ( F ` ( A + ( 1 / j ) ) ) ) = ( k e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) ) |-> ( F ` ( A + ( 1 / k ) ) ) )
22	19	cbvmptv 4750	. . . 4 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) ) |-> ( A + ( 1 / j ) ) ) = ( k e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) ) |-> ( A + ( 1 / k ) ) )
23		eqid 2622	. . . 4 |- if ( ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) <_ ( ( |_ ` ( sup ( ran ( y e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) ) , RR , < ) / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) , ( ( |_ ` ( sup ( ran ( y e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) ) , RR , < ) / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) , ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) ) = if ( ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) <_ ( ( |_ ` ( sup ( ran ( y e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) ) , RR , < ) / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) , ( ( |_ ` ( sup ( ran ( y e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) ) , RR , < ) / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) , ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) )
24		biid 251	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ A < B ) /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) <_ ( ( |_ ` ( sup ( ran ( y e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) ) , RR , < ) / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) , ( ( |_ ` ( sup ( ran ( y e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) ) , RR , < ) / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) , ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( ( ( j e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) ) |-> ( F ` ( A + ( 1 / j ) ) ) ) ` k ) - ( limsup ` ( j e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) ) |-> ( F ` ( A + ( 1 / j ) ) ) ) ) ) ) < ( x / 2 ) ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < ( 1 / k ) ) <-> ( ( ( ( ( ( ph /\ A < B ) /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( ZZ>= ` if ( ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) <_ ( ( |_ ` ( sup ( ran ( y e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) ) , RR , < ) / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) , ( ( |_ ` ( sup ( ran ( y e. ( A (,) B ) |-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) ) , RR , < ) / ( x / 2 ) ) ) + 1 ) , ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( ( ( j e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) ) |-> ( F ` ( A + ( 1 / j ) ) ) ) ` k ) - ( limsup ` ( j e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) ) |-> ( F ` ( A + ( 1 / j ) ) ) ) ) ) ) < ( x / 2 ) ) /\ z e. ( A (,) B ) ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < ( 1 / k ) ) )
25	2, 4, 5, 7, 9, 11, 16, 17, 21, 22, 23, 24	ioodvbdlimc1lem2 40147	. . 3 |- ( ( ph /\ A < B ) -> ( limsup ` ( j e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) ) |-> ( F ` ( A + ( 1 / j ) ) ) ) ) e. ( F lim CC A ) )
26		ne0i 3921	. . 3 |- ( ( limsup ` ( j e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 1 / ( B - A ) ) ) + 1 ) ) |-> ( F ` ( A + ( 1 / j ) ) ) ) ) e. ( F lim CC A ) -> ( F lim CC A ) =/= (/) )
27	25, 26	syl 17	. 2 |- ( ( ph /\ A < B ) -> ( F lim CC A ) =/= (/) )
28		ax-resscn 9993	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR C_ CC )
30	6, 29	fssd 6057	. . . . . 6 |- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> CC )
31	30	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> F : ( A (,) B ) --> CC )
32		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> B <_ A )
33	1	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR* )
34	33	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> A e. RR* )
35	3	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. RR* )
36	35	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> B e. RR* )
37		ioo0 12200	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A (,) B ) = (/) <-> B <_ A ) )
38	34, 36, 37	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> ( ( A (,) B ) = (/) <-> B <_ A ) )
39	32, 38	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> ( A (,) B ) = (/) )
40	39	feq2d 6031	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> ( F : ( A (,) B ) --> CC <-> F : (/) --> CC ) )
41	31, 40	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> F : (/) --> CC )
42	1	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> A e. CC )
43	42	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> A e. CC )
44	41, 43	limcdm0 39850	. . 3 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> ( F lim CC A ) = CC )
45		0cn 10032	. . . . 5 |- 0 e. CC
46	45	ne0ii 3923	. . . 4 |- CC =/= (/)
47	46	a1i 11	. . 3 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> CC =/= (/) )
48	44, 47	eqnetrd 2861	. 2 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> ( F lim CC A ) =/= (/) )
49	27, 48, 1, 3	ltlecasei 10145	1 |- ( ph -> ( F lim CC A ) =/= (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   |_cfl 12591   abscabs 13974   limsupclsp 14201   lim CC climc 23626   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  fourierdlem94  40417  fourierdlem113  40436