Theorem itgreval 23563

Description: Decompose the integral of a real function into positive and negative parts. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblrelem.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
itgreval.2	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )

Assertion

Ref	Expression
itgreval	|- ( ph -> S. A B _d x = ( S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem itgreval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iblrelem.1	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
2		itgreval.2	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
3	1, 2	itgrevallem1 23561	. 2 |- ( ph -> S. A B _d x = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) - ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) ) )
4		0re 10040	. . . . . 6 |- 0 e. RR
5		ifcl 4130	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR )
6	1, 4, 5	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR )
7	1	iblrelem 23557	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
8	2, 7	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) e. RR ) )
9	8	simp1d 1073	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
10	1, 9	mbfpos 23418	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. MblFn )
11		ifan 4134	. . . . . . . . 9 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 )
12	11	mpteq2i 4741	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 ) )
13	12	fveq2i 6194	. . . . . . 7 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 ) ) )
14	8	simp2d 1074	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) e. RR )
15	13, 14	syl5eqelr 2706	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 ) ) ) e. RR )
16		max1 12016	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ B e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
17	4, 1, 16	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
18	6, 17	iblpos 23559	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
19	10, 15, 18	mpbir2and 957	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. L^1 )
20	6, 19, 17	itgposval 23562	. . . 4 |- ( ph -> S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ B , B , 0 ) , 0 ) ) ) )
21	20, 13	syl6eqr 2674	. . 3 |- ( ph -> S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) )
22	1	renegcld 10457	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u B e. RR )
23		ifcl 4130	. . . . . 6 |- ( ( -u B e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR )
24	22, 4, 23	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR )
25	1, 9	mbfneg 23417	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> -u B ) e. MblFn )
26	22, 25	mbfpos 23418	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. MblFn )
27		ifan 4134	. . . . . . . . 9 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) , 0 )
28	27	mpteq2i 4741	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) , 0 ) )
29	28	fveq2i 6194	. . . . . . 7 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) , 0 ) ) )
30	8	simp3d 1075	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) e. RR )
31	29, 30	syl5eqelr 2706	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) , 0 ) ) ) e. RR )
32		max1 12016	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ -u B e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
33	4, 22, 32	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
34	24, 33	iblpos 23559	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
35	26, 31, 34	mpbir2and 957	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. L^1 )
36	24, 35, 33	itgposval 23562	. . . 4 |- ( ph -> S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) , 0 ) ) ) )
37	36, 29	syl6eqr 2674	. . 3 |- ( ph -> S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) )
38	21, 37	oveq12d 6668	. 2 |- ( ph -> ( S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) , B , 0 ) ) ) - ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u B ) , -u B , 0 ) ) ) ) )
39	3, 38	eqtr4d 2659	1 |- ( ph -> S. A B _d x = ( S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267  MblFncmbf 23383   S.2citg2 23385   L^1cibl 23386   S.citg 23387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  itgneg  23570  itgitg1  23575  itgaddlem2  23590  itgmulc2lem2  23599  itgaddnclem2  33469  itgmulc2nclem2  33477