Theorem lebnum 22763

Description: The Lebesgue number lemma, or Lebesgue covering lemma. If X is a compact metric space and U is an open cover of X, then there exists a positive real number d such that every ball of size d (and every subset of a ball of size d, including every subset of diameter less than d) is a subset of some member of the cover. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lebnum.j	|- J = ( MetOpen ` D )
lebnum.d	|- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
lebnum.c	|- ( ph -> J e. Comp )
lebnum.s	|- ( ph -> U C_ J )
lebnum.u	|- ( ph -> X = U. U )

Assertion

Ref	Expression
lebnum	|- ( ph -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )

Distinct variable groups:   u, d, x, D   J, d, x   U, d, u, x   ph, d, x   X, d, u, x

Allowed substitution hints:   ph( u)   J( u)

Proof of Theorem lebnum

Dummy variables k w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lebnum.c	. . 3 |- ( ph -> J e. Comp )
2		lebnum.s	. . 3 |- ( ph -> U C_ J )
3		lebnum.d	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
4		metxmet 22139	. . . . . 6 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
6		lebnum.j	. . . . . 6 |- J = ( MetOpen ` D )
7	6	mopnuni 22246	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X = U. J )
8	5, 7	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> X = U. J )
9		lebnum.u	. . . 4 |- ( ph -> X = U. U )
10	8, 9	eqtr3d 2658	. . 3 |- ( ph -> U. J = U. U )
11		eqid 2622	. . . 4 |- U. J = U. J
12	11	cmpcov 21192	. . 3 |- ( ( J e. Comp /\ U C_ J /\ U. J = U. U ) -> E. w e. ( ~P U i^i Fin ) U. J = U. w )
13	1, 2, 10, 12	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> E. w e. ( ~P U i^i Fin ) U. J = U. w )
14		1rp 11836	. . . 4 |- 1 e. RR+
15		inss1 3833	. . . . . . . . . 10 |- ( ~P U i^i Fin ) C_ ~P U
16		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ U. J = U. w ) ) -> w e. ( ~P U i^i Fin ) )
17	15, 16	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ U. J = U. w ) ) -> w e. ~P U )
18	17	elpwid 4170	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ U. J = U. w ) ) -> w C_ U )
19	18	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ U. J = U. w ) ) /\ X e. w ) /\ x e. X ) -> w C_ U )
20		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ U. J = U. w ) ) /\ X e. w ) /\ x e. X ) -> X e. w )
21	19, 20	sseldd 3604	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ U. J = U. w ) ) /\ X e. w ) /\ x e. X ) -> X e. U )
22	5	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ U. J = U. w ) ) /\ X e. w ) /\ x e. X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
23		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ U. J = U. w ) ) /\ X e. w ) /\ x e. X ) -> x e. X )
24		rpxr 11840	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. RR+ -> 1 e. RR* )
25	14, 24	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ U. J = U. w ) ) /\ X e. w ) /\ x e. X ) -> 1 e. RR* )
26		blssm 22223	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ 1 e. RR* ) -> ( x ( ball ` D ) 1 ) C_ X )
27	22, 23, 25, 26	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ U. J = U. w ) ) /\ X e. w ) /\ x e. X ) -> ( x ( ball ` D ) 1 ) C_ X )
28		sseq2 3627	. . . . . . 7 |- ( u = X -> ( ( x ( ball ` D ) 1 ) C_ u <-> ( x ( ball ` D ) 1 ) C_ X ) )
29	28	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( X e. U /\ ( x ( ball ` D ) 1 ) C_ X ) -> E. u e. U ( x ( ball ` D ) 1 ) C_ u )
30	21, 27, 29	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ U. J = U. w ) ) /\ X e. w ) /\ x e. X ) -> E. u e. U ( x ( ball ` D ) 1 ) C_ u )
31	30	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ U. J = U. w ) ) /\ X e. w ) -> A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) 1 ) C_ u )
32		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( d = 1 -> ( x ( ball ` D ) d ) = ( x ( ball ` D ) 1 ) )
33	32	sseq1d 3632	. . . . . . 7 |- ( d = 1 -> ( ( x ( ball ` D ) d ) C_ u <-> ( x ( ball ` D ) 1 ) C_ u ) )
34	33	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( d = 1 -> ( E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u <-> E. u e. U ( x ( ball ` D ) 1 ) C_ u ) )
35	34	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( d = 1 -> ( A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u <-> A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) 1 ) C_ u ) )
36	35	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( 1 e. RR+ /\ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) 1 ) C_ u ) -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )
37	14, 31, 36	sylancr 695	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ U. J = U. w ) ) /\ X e. w ) -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )
38	3	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ U. J = U. w ) ) /\ -. X e. w ) -> D e. ( Met ` X ) )
39	1	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ U. J = U. w ) ) /\ -. X e. w ) -> J e. Comp )
40	18	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ U. J = U. w ) ) /\ -. X e. w ) -> w C_ U )
41	2	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ U. J = U. w ) ) /\ -. X e. w ) -> U C_ J )
42	40, 41	sstrd 3613	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ U. J = U. w ) ) /\ -. X e. w ) -> w C_ J )
43	8	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ U. J = U. w ) ) /\ -. X e. w ) -> X = U. J )
44		simplrr 801	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ U. J = U. w ) ) /\ -. X e. w ) -> U. J = U. w )
45	43, 44	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ U. J = U. w ) ) /\ -. X e. w ) -> X = U. w )
46		inss2 3834	. . . . . . 7 |- ( ~P U i^i Fin ) C_ Fin
47	46, 16	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ U. J = U. w ) ) -> w e. Fin )
48	47	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ U. J = U. w ) ) /\ -. X e. w ) -> w e. Fin )
49		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ U. J = U. w ) ) /\ -. X e. w ) -> -. X e. w )
50		eqid 2622	. . . . 5 |- ( y e. X |-> sum_ k e. w inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) ) = ( y e. X |-> sum_ k e. w inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) )
51		eqid 2622	. . . . 5 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
52	6, 38, 39, 42, 45, 48, 49, 50, 51	lebnumlem3 22762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ U. J = U. w ) ) /\ -. X e. w ) -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. w ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )
53		ssrexv 3667	. . . . . . 7 |- ( w C_ U -> ( E. u e. w ( x ( ball ` D ) d ) C_ u -> E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u ) )
54	40, 53	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ U. J = U. w ) ) /\ -. X e. w ) -> ( E. u e. w ( x ( ball ` D ) d ) C_ u -> E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u ) )
55	54	ralimdv 2963	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ U. J = U. w ) ) /\ -. X e. w ) -> ( A. x e. X E. u e. w ( x ( ball ` D ) d ) C_ u -> A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u ) )
56	55	reximdv 3016	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ U. J = U. w ) ) /\ -. X e. w ) -> ( E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. w ( x ( ball ` D ) d ) C_ u -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u ) )
57	52, 56	mpd 15	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ U. J = U. w ) ) /\ -. X e. w ) -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )
58	37, 57	pm2.61dan 832	. 2 |- ( ( ph /\ ( w e. ( ~P U i^i Fin ) /\ U. J = U. w ) ) -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )
59	13, 58	rexlimddv 3035	1 |- ( ph -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955  infcinf 8347   1c1 9937   RR*cxr 10073   < clt 10074   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   sum_csu 14416   topGenctg 16098   *Metcxmt 19731   Metcme 19732   ballcbl 19733   MetOpencmopn 19736   Compccmp 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127

This theorem is referenced by:  xlebnum  22764  lebnumii  22765