Theorem lebnumlem3 22762

Description: Lemma for lebnum 22763. By the previous lemmas, F is continuous and positive on a compact set, so it has a positive minimum r. Then setting d = r / # ( U ), since for each u e. U we have ball ( x , d ) C_ u iff d <_ d ( x , X \ u ), if -. ball ( x , d ) C_ u for all u then summing over u yields sum_ u e. U d ( x , X \ u ) = F ( x ) < sum_ u e. U d = r, in contradiction to the assumption that r is the minimum of F. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.) (Revised by AV, 30-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lebnum.j	|- J = ( MetOpen ` D )
lebnum.d	|- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
lebnum.c	|- ( ph -> J e. Comp )
lebnum.s	|- ( ph -> U C_ J )
lebnum.u	|- ( ph -> X = U. U )
lebnumlem1.u	|- ( ph -> U e. Fin )
lebnumlem1.n	|- ( ph -> -. X e. U )
lebnumlem1.f	|- F = ( y e. X |-> sum_ k e. U inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) )
lebnumlem2.k	|- K = ( topGen ` ran (,) )

Assertion

Ref	Expression
lebnumlem3	|- ( ph -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )

Distinct variable groups:   k, d, u, x, y, z, D   J, d, k, x, y, z   U, d, k, u, x, y, z   x, F   ph, d, k, x, y, z   X, d, k, u, x, y, z   x, K

Allowed substitution hints:   ph( u)   F( y, z, u, k, d)   J( u)   K( y, z, u, k, d)

Proof of Theorem lebnumlem3

Dummy variables r w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 11836	. . . 4 |- 1 e. RR+
2	1	ne0ii 3923	. . 3 |- RR+ =/= (/)
3		ral0 4076	. . . . 5 |- A. x e. (/) E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u
4		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> X = (/) )
5	4	raleqdv 3144	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u <-> A. x e. (/) E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u ) )
6	3, 5	mpbiri 248	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )
7	6	ralrimivw 2967	. . 3 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> A. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )
8		r19.2z 4060	. . 3 |- ( ( RR+ =/= (/) /\ A. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u ) -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )
9	2, 7, 8	sylancr 695	. 2 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )
10		lebnum.j	. . . . . . 7 |- J = ( MetOpen ` D )
11		lebnum.d	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
12		lebnum.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. Comp )
13		lebnum.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> U C_ J )
14		lebnum.u	. . . . . . 7 |- ( ph -> X = U. U )
15		lebnumlem1.u	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. Fin )
16		lebnumlem1.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. X e. U )
17		lebnumlem1.f	. . . . . . 7 |- F = ( y e. X |-> sum_ k e. U inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) )
18	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	lebnumlem1 22760	. . . . . 6 |- ( ph -> F : X --> RR+ )
19	18	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> F : X --> RR+ )
20		frn 6053	. . . . 5 |- ( F : X --> RR+ -> ran F C_ RR+ )
21	19, 20	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> ran F C_ RR+ )
22		eqid 2622	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
23		lebnumlem2.k	. . . . . . 7 |- K = ( topGen ` ran (,) )
24	12	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> J e. Comp )
25	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 23	lebnumlem2 22761	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
26	25	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> F e. ( J Cn K ) )
27		metxmet 22139	. . . . . . . . . 10 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
28	10	mopnuni 22246	. . . . . . . . . 10 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X = U. J )
29	11, 27, 28	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X = U. J )
30	29	neeq1d 2853	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X =/= (/) <-> U. J =/= (/) ) )
31	30	biimpa 501	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> U. J =/= (/) )
32	22, 23, 24, 26, 31	evth2 22759	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> E. w e. U. J A. x e. U. J ( F ` w ) <_ ( F ` x ) )
33	29	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> X = U. J )
34		raleq 3138	. . . . . . . 8 |- ( X = U. J -> ( A. x e. X ( F ` w ) <_ ( F ` x ) <-> A. x e. U. J ( F ` w ) <_ ( F ` x ) ) )
35	34	rexeqbi1dv 3147	. . . . . . 7 |- ( X = U. J -> ( E. w e. X A. x e. X ( F ` w ) <_ ( F ` x ) <-> E. w e. U. J A. x e. U. J ( F ` w ) <_ ( F ` x ) ) )
36	33, 35	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> ( E. w e. X A. x e. X ( F ` w ) <_ ( F ` x ) <-> E. w e. U. J A. x e. U. J ( F ` w ) <_ ( F ` x ) ) )
37	32, 36	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> E. w e. X A. x e. X ( F ` w ) <_ ( F ` x ) )
38		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( F : X --> RR+ -> F Fn X )
39		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( r = ( F ` w ) -> ( r <_ ( F ` x ) <-> ( F ` w ) <_ ( F ` x ) ) )
40	39	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( r = ( F ` w ) -> ( A. x e. X r <_ ( F ` x ) <-> A. x e. X ( F ` w ) <_ ( F ` x ) ) )
41	40	rexrn 6361	. . . . . 6 |- ( F Fn X -> ( E. r e. ran F A. x e. X r <_ ( F ` x ) <-> E. w e. X A. x e. X ( F ` w ) <_ ( F ` x ) ) )
42	19, 38, 41	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> ( E. r e. ran F A. x e. X r <_ ( F ` x ) <-> E. w e. X A. x e. X ( F ` w ) <_ ( F ` x ) ) )
43	37, 42	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> E. r e. ran F A. x e. X r <_ ( F ` x ) )
44		ssrexv 3667	. . . 4 |- ( ran F C_ RR+ -> ( E. r e. ran F A. x e. X r <_ ( F ` x ) -> E. r e. RR+ A. x e. X r <_ ( F ` x ) ) )
45	21, 43, 44	sylc 65	. . 3 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> E. r e. RR+ A. x e. X r <_ ( F ` x ) )
46		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> r e. RR+ )
47	14	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> X = U. U )
48		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> X =/= (/) )
49	47, 48	eqnetrrd 2862	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> U. U =/= (/) )
50		unieq 4444	. . . . . . . . . . 11 |- ( U = (/) -> U. U = U. (/) )
51		uni0 4465	. . . . . . . . . . 11 |- U. (/) = (/)
52	50, 51	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( U = (/) -> U. U = (/) )
53	52	necon3i 2826	. . . . . . . . 9 |- ( U. U =/= (/) -> U =/= (/) )
54	49, 53	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> U =/= (/) )
55	15	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> U e. Fin )
56		hashnncl 13157	. . . . . . . . 9 |- ( U e. Fin -> ( ( # ` U ) e. NN <-> U =/= (/) ) )
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> ( ( # ` U ) e. NN <-> U =/= (/) ) )
58	54, 57	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> ( # ` U ) e. NN )
59	58	nnrpd 11870	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> ( # ` U ) e. RR+ )
60	46, 59	rpdivcld 11889	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> ( r / ( # ` U ) ) e. RR+ )
61		ralnex 2992	. . . . . . . 8 |- ( A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u <-> -. E. u e. U ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u )
62	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> U e. Fin )
63	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> U =/= (/) )
64		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> x e. X )
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> x e. X )
66		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) ) = ( y e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) )
67	66	metdsval 22650	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X -> ( ( y e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) ) ` x ) = inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) , RR* , < ) )
68	65, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( ( y e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) ) ` x ) = inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) , RR* , < ) )
69	11	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> D e. ( Met ` X ) )
70	69	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> D e. ( Met ` X ) )
71		difssd 3738	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( X \ k ) C_ X )
72		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. U -> k C_ U. U )
73	72	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> k C_ U. U )
74	47	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> X = U. U )
75	73, 74	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> k C_ X )
76		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = X -> ( k e. U <-> X e. U ) )
77	76	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = X -> ( -. k e. U <-> -. X e. U ) )
78	16, 77	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( k = X -> -. k e. U ) )
79	78	necon2ad 2809	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( k e. U -> k =/= X ) )
80	79	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( k e. U -> k =/= X ) )
81	80	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> k =/= X )
82		pssdifn0 3944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k C_ X /\ k =/= X ) -> ( X \ k ) =/= (/) )
83	75, 81, 82	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( X \ k ) =/= (/) )
84	66	metdsre 22656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( X \ k ) C_ X /\ ( X \ k ) =/= (/) ) -> ( y e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) ) : X --> RR )
85	70, 71, 83, 84	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( y e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) ) : X --> RR )
86	85, 65	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( ( y e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) ) ` x ) e. RR )
87	68, 86	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) , RR* , < ) e. RR )
88	60	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( r / ( # ` U ) ) e. RR+ )
89	88	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( r / ( # ` U ) ) e. RR )
90		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u )
91		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u = k -> ( ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u <-> ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ k ) )
92	91	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = k -> ( -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u <-> -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ k ) )
93	92	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u /\ k e. U ) -> -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ k )
94	90, 93	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ k )
95	70, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> D e. ( *Met ` X ) )
96	88	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( r / ( # ` U ) ) e. RR* )
97	66	metdsge 22652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( X \ k ) C_ X /\ x e. X ) /\ ( r / ( # ` U ) ) e. RR* ) -> ( ( r / ( # ` U ) ) <_ ( ( y e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) ) ` x ) <-> ( ( X \ k ) i^i ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) ) = (/) ) )
98	95, 71, 65, 96, 97	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( ( r / ( # ` U ) ) <_ ( ( y e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) ) ` x ) <-> ( ( X \ k ) i^i ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) ) = (/) ) )
99		blssm 22223	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ ( r / ( # ` U ) ) e. RR* ) -> ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ X )
100	95, 65, 96, 99	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ X )
101		difin0ss 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X \ k ) i^i ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) ) = (/) -> ( ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ X -> ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ k ) )
102	100, 101	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( ( ( X \ k ) i^i ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) ) = (/) -> ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ k ) )
103	98, 102	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( ( r / ( # ` U ) ) <_ ( ( y e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) ) ` x ) -> ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ k ) )
104	94, 103	mtod 189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> -. ( r / ( # ` U ) ) <_ ( ( y e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) ) ` x ) )
105	86, 89	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( ( ( y e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) ) ` x ) < ( r / ( # ` U ) ) <-> -. ( r / ( # ` U ) ) <_ ( ( y e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) ) ` x ) ) )
106	104, 105	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> ( ( y e. X |-> inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) ) ` x ) < ( r / ( # ` U ) ) )
107	68, 106	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) /\ k e. U ) -> inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) , RR* , < ) < ( r / ( # ` U ) ) )
108	62, 63, 87, 89, 107	fsumlt 14532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> sum_ k e. U inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) , RR* , < ) < sum_ k e. U ( r / ( # ` U ) ) )
109		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = x -> ( y D z ) = ( x D z ) )
110	109	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = x -> ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) = ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) )
111	110	rneqd 5353	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = x -> ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) = ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) )
112	111	infeq1d 8383	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) = inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) , RR* , < ) )
113	112	sumeq2sdv 14435	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> sum_ k e. U inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( y D z ) ) , RR* , < ) = sum_ k e. U inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) , RR* , < ) )
114		sumex 14418	. . . . . . . . . . . . 13 |- sum_ k e. U inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) , RR* , < ) e. _V
115	113, 17, 114	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. X -> ( F ` x ) = sum_ k e. U inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) , RR* , < ) )
116	64, 115	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( F ` x ) = sum_ k e. U inf ( ran ( z e. ( X \ k ) |-> ( x D z ) ) , RR* , < ) )
117	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( r / ( # ` U ) ) e. RR+ )
118	117	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( r / ( # ` U ) ) e. CC )
119		fsumconst 14522	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. Fin /\ ( r / ( # ` U ) ) e. CC ) -> sum_ k e. U ( r / ( # ` U ) ) = ( ( # ` U ) x. ( r / ( # ` U ) ) ) )
120	62, 118, 119	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> sum_ k e. U ( r / ( # ` U ) ) = ( ( # ` U ) x. ( r / ( # ` U ) ) ) )
121		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> r e. RR+ )
122	121	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> r e. CC )
123	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( # ` U ) e. NN )
124	123	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( # ` U ) e. CC )
125	123	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( # ` U ) =/= 0 )
126	122, 124, 125	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( ( # ` U ) x. ( r / ( # ` U ) ) ) = r )
127	120, 126	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> r = sum_ k e. U ( r / ( # ` U ) ) )
128	108, 116, 127	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( F ` x ) < r )
129	19	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> F : X --> RR+ )
130	129, 64	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( F ` x ) e. RR+ )
131	130	rpred 11872	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
132	121	rpred 11872	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> r e. RR )
133	131, 132	ltnled 10184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> ( ( F ` x ) < r <-> -. r <_ ( F ` x ) ) )
134	128, 133	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) ) -> -. r <_ ( F ` x ) )
135	134	expr 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( A. u e. U -. ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u -> -. r <_ ( F ` x ) ) )
136	61, 135	syl5bir 233	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( -. E. u e. U ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u -> -. r <_ ( F ` x ) ) )
137	136	con4d 114	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( r <_ ( F ` x ) -> E. u e. U ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) )
138	137	ralimdva 2962	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> ( A. x e. X r <_ ( F ` x ) -> A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) )
139		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( d = ( r / ( # ` U ) ) -> ( x ( ball ` D ) d ) = ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) )
140	139	sseq1d 3632	. . . . . . . 8 |- ( d = ( r / ( # ` U ) ) -> ( ( x ( ball ` D ) d ) C_ u <-> ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) )
141	140	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( d = ( r / ( # ` U ) ) -> ( E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u <-> E. u e. U ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) )
142	141	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( d = ( r / ( # ` U ) ) -> ( A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u <-> A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) )
143	142	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( ( r / ( # ` U ) ) e. RR+ /\ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) ( r / ( # ` U ) ) ) C_ u ) -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )
144	60, 138, 143	syl6an 568	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> ( A. x e. X r <_ ( F ` x ) -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u ) )
145	144	rexlimdva 3031	. . 3 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> ( E. r e. RR+ A. x e. X r <_ ( F ` x ) -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u ) )
146	45, 145	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )
147	9, 146	pm2.61dane 2881	1 |- ( ph -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955  infcinf 8347   CCcc 9934   RRcr 9935   1c1 9937   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   #chash 13117   sum_csu 14416   topGenctg 16098   *Metcxmt 19731   Metcme 19732   ballcbl 19733   MetOpencmopn 19736   Cn ccn 21028   Compccmp 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127

This theorem is referenced by:  lebnum  22763