Theorem dvbdfbdioolem2 40144

Description: A function on an open interval, with bounded derivative, is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvbdfbdioolem2.a	|- ( ph -> A e. RR )
dvbdfbdioolem2.b	|- ( ph -> B e. RR )
dvbdfbdioolem2.altb	|- ( ph -> A < B )
dvbdfbdioolem2.f	|- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> RR )
dvbdfbdioolem2.dmdv	|- ( ph -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
dvbdfbdioolem2.k	|- ( ph -> K e. RR )
dvbdfbdioolem2.dvbd	|- ( ph -> A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) <_ K )
dvbdfbdioolem2.m	|- M = ( ( abs ` ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) + ( K x. ( B - A ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dvbdfbdioolem2	|- ( ph -> A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ M )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F   x, K   ph, x

Allowed substitution hint:   M( x)

Proof of Theorem dvbdfbdioolem2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvbdfbdioolem2.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> RR )
2	1	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
3	2	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
4	3	abscld 14175	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) e. RR )
5		dvbdfbdioolem2.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR )
6	5	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR* )
7		dvbdfbdioolem2.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. RR )
8	7	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. RR* )
9	5, 7	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A + B ) e. RR )
10	9	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A + B ) / 2 ) e. RR )
11		dvbdfbdioolem2.altb	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A < B )
12		avglt1 11270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> A < ( ( A + B ) / 2 ) ) )
13	5, 7, 12	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A < B <-> A < ( ( A + B ) / 2 ) ) )
14	11, 13	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A < ( ( A + B ) / 2 ) )
15		avglt2 11271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> ( ( A + B ) / 2 ) < B ) )
16	5, 7, 15	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A < B <-> ( ( A + B ) / 2 ) < B ) )
17	11, 16	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A + B ) / 2 ) < B )
18	6, 8, 10, 14, 17	eliood 39720	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A + B ) / 2 ) e. ( A (,) B ) )
19	1, 18	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) e. RR )
20	19	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) e. CC )
21	20	abscld 14175	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) e. RR )
22	21	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) e. RR )
23	4, 22	resubcld 10458	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( abs ` ( F ` x ) ) - ( abs ` ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) ) e. RR )
24		dvbdfbdioolem2.k	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. RR )
25	24	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> K e. RR )
26	7	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
27	5	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
28	26, 27	resubcld 10458	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( B - A ) e. RR )
29	25, 28	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( K x. ( B - A ) ) e. RR )
30	20	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) e. CC )
31	3, 30	subcld 10392	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` x ) - ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) e. CC )
32	31	abscld 14175	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) ) e. RR )
33	3, 30	abs2difd 14196	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( abs ` ( F ` x ) ) - ( abs ` ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) ) )
34		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ ( ( A + B ) / 2 ) < x ) -> ph )
35	10	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A + B ) / 2 ) e. RR* )
36	35	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ ( ( A + B ) / 2 ) < x ) -> ( ( A + B ) / 2 ) e. RR* )
37	8	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ ( ( A + B ) / 2 ) < x ) -> B e. RR* )
38		elioore 12205	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( A (,) B ) -> x e. RR )
39	38	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> x e. RR )
40	39	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ ( ( A + B ) / 2 ) < x ) -> x e. RR )
41		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ ( ( A + B ) / 2 ) < x ) -> ( ( A + B ) / 2 ) < x )
42	6	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR* )
43	8	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR* )
44		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> x e. ( A (,) B ) )
45		iooltub 39735	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ x e. ( A (,) B ) ) -> x < B )
46	42, 43, 44, 45	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> x < B )
47	46	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ ( ( A + B ) / 2 ) < x ) -> x < B )
48	36, 37, 40, 41, 47	eliood 39720	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ ( ( A + B ) / 2 ) < x ) -> x e. ( ( ( A + B ) / 2 ) (,) B ) )
49	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( ( A + B ) / 2 ) (,) B ) ) -> A e. RR )
50	7	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( ( A + B ) / 2 ) (,) B ) ) -> B e. RR )
51	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( ( A + B ) / 2 ) (,) B ) ) -> F : ( A (,) B ) --> RR )
52		dvbdfbdioolem2.dmdv	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
53	52	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( ( A + B ) / 2 ) (,) B ) ) -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
54	24	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( ( A + B ) / 2 ) (,) B ) ) -> K e. RR )
55		dvbdfbdioolem2.dvbd	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) <_ K )
56		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( ( RR _D F ) ` x ) = ( ( RR _D F ) ` y ) )
57	56	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) = ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) )
58	57	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) <_ K <-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) <_ K ) )
59	58	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) <_ K <-> A. y e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) <_ K )
60	55, 59	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. y e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) <_ K )
61	60	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( ( A + B ) / 2 ) (,) B ) ) -> A. y e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) <_ K )
62	18	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( ( A + B ) / 2 ) (,) B ) ) -> ( ( A + B ) / 2 ) e. ( A (,) B ) )
63		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( ( A + B ) / 2 ) (,) B ) ) -> x e. ( ( ( A + B ) / 2 ) (,) B ) )
64	49, 50, 51, 53, 54, 61, 62, 63	dvbdfbdioolem1 40143	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( ( A + B ) / 2 ) (,) B ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) ) <_ ( K x. ( x - ( ( A + B ) / 2 ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) ) <_ ( K x. ( B - A ) ) ) )
65	64	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ( ( A + B ) / 2 ) (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) ) <_ ( K x. ( B - A ) ) )
66	34, 48, 65	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ ( ( A + B ) / 2 ) < x ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) ) <_ ( K x. ( B - A ) ) )
67		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A + B ) / 2 ) = x -> ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) = ( F ` x ) )
68	67	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A + B ) / 2 ) = x -> ( F ` x ) = ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) )
69	68	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( A + B ) / 2 ) = x ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) )
70	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( A + B ) / 2 ) = x ) -> ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) e. CC )
71	69, 70	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( A + B ) / 2 ) = x ) -> ( F ` x ) e. CC )
72	71, 69	subeq0bd 10456	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( A + B ) / 2 ) = x ) -> ( ( F ` x ) - ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) = 0 )
73	72	abs00bd 14031	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( A + B ) / 2 ) = x ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) ) = 0 )
74	24	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( A + B ) / 2 ) = x ) -> K e. RR )
75	7	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( A + B ) / 2 ) = x ) -> B e. RR )
76	5	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( A + B ) / 2 ) = x ) -> A e. RR )
77	75, 76	resubcld 10458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( A + B ) / 2 ) = x ) -> ( B - A ) e. RR )
78		0red 10041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 e. RR )
79		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A (,) B ) C_ RR
80		dvfre 23714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : ( A (,) B ) --> RR /\ ( A (,) B ) C_ RR ) -> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR )
81	1, 79, 80	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR )
82	18, 52	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( A + B ) / 2 ) e. dom ( RR _D F ) )
83	81, 82	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) ` ( ( A + B ) / 2 ) ) e. RR )
84	83	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) ` ( ( A + B ) / 2 ) ) e. CC )
85	84	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) e. RR )
86	84	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` ( ( RR _D F ) ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) )
87		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( ( A + B ) / 2 ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) = ( ( RR _D F ) ` ( ( A + B ) / 2 ) ) )
88	87	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( ( A + B ) / 2 ) -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) = ( abs ` ( ( RR _D F ) ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) )
89	88	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( ( A + B ) / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) <_ K <-> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) <_ K ) )
90	89	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` x ) ) <_ K /\ ( ( A + B ) / 2 ) e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) <_ K )
91	55, 18, 90	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) <_ K )
92	78, 85, 24, 86, 91	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ K )
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( A + B ) / 2 ) = x ) -> 0 <_ K )
94	7, 5	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
95	5, 7	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
96	11, 95	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < ( B - A ) )
97	78, 94, 96	ltled 10185	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ ( B - A ) )
98	97	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( A + B ) / 2 ) = x ) -> 0 <_ ( B - A ) )
99	74, 77, 93, 98	mulge0d 10604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( A + B ) / 2 ) = x ) -> 0 <_ ( K x. ( B - A ) ) )
100	73, 99	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( A + B ) / 2 ) = x ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) ) <_ ( K x. ( B - A ) ) )
101	100	ad4ant14 1293	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ -. ( ( A + B ) / 2 ) < x ) /\ ( ( A + B ) / 2 ) = x ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) ) <_ ( K x. ( B - A ) ) )
102		simpll 790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ -. ( ( A + B ) / 2 ) < x ) /\ -. ( ( A + B ) / 2 ) = x ) -> ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) )
103	39	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ -. ( ( A + B ) / 2 ) < x ) /\ -. ( ( A + B ) / 2 ) = x ) -> x e. RR )
104	10	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ -. ( ( A + B ) / 2 ) < x ) /\ -. ( ( A + B ) / 2 ) = x ) -> ( ( A + B ) / 2 ) e. RR )
105	39	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ -. ( ( A + B ) / 2 ) < x ) -> x e. RR )
106	10	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ -. ( ( A + B ) / 2 ) < x ) -> ( ( A + B ) / 2 ) e. RR )
107		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ -. ( ( A + B ) / 2 ) < x ) -> -. ( ( A + B ) / 2 ) < x )
108	105, 106, 107	nltled 10187	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ -. ( ( A + B ) / 2 ) < x ) -> x <_ ( ( A + B ) / 2 ) )
109	108	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ -. ( ( A + B ) / 2 ) < x ) /\ -. ( ( A + B ) / 2 ) = x ) -> x <_ ( ( A + B ) / 2 ) )
110		neqne 2802	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( ( A + B ) / 2 ) = x -> ( ( A + B ) / 2 ) =/= x )
111	110	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ -. ( ( A + B ) / 2 ) < x ) /\ -. ( ( A + B ) / 2 ) = x ) -> ( ( A + B ) / 2 ) =/= x )
112	103, 104, 109, 111	leneltd 10191	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ -. ( ( A + B ) / 2 ) < x ) /\ -. ( ( A + B ) / 2 ) = x ) -> x < ( ( A + B ) / 2 ) )
113	3, 30	abssubd 14192	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) - ( F ` x ) ) ) )
114	113	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ x < ( ( A + B ) / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) - ( F ` x ) ) ) )
115	5	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ x < ( ( A + B ) / 2 ) ) -> A e. RR )
116	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ x < ( ( A + B ) / 2 ) ) -> B e. RR )
117	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ x < ( ( A + B ) / 2 ) ) -> F : ( A (,) B ) --> RR )
118	52	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ x < ( ( A + B ) / 2 ) ) -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
119	24	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ x < ( ( A + B ) / 2 ) ) -> K e. RR )
120	60	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ x < ( ( A + B ) / 2 ) ) -> A. y e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` y ) ) <_ K )
121	44	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ x < ( ( A + B ) / 2 ) ) -> x e. ( A (,) B ) )
122	38	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( A (,) B ) -> x e. RR* )
123	122	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ x < ( ( A + B ) / 2 ) ) -> x e. RR* )
124	8	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ x < ( ( A + B ) / 2 ) ) -> B e. RR* )
125	10	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ x < ( ( A + B ) / 2 ) ) -> ( ( A + B ) / 2 ) e. RR )
126		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ x < ( ( A + B ) / 2 ) ) -> x < ( ( A + B ) / 2 ) )
127	17	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ x < ( ( A + B ) / 2 ) ) -> ( ( A + B ) / 2 ) < B )
128	123, 124, 125, 126, 127	eliood 39720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ x < ( ( A + B ) / 2 ) ) -> ( ( A + B ) / 2 ) e. ( x (,) B ) )
129	115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 128	dvbdfbdioolem1 40143	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ x < ( ( A + B ) / 2 ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( K x. ( ( ( A + B ) / 2 ) - x ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( K x. ( B - A ) ) ) )
130	129	simprd 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ x < ( ( A + B ) / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) - ( F ` x ) ) ) <_ ( K x. ( B - A ) ) )
131	114, 130	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ x < ( ( A + B ) / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) ) <_ ( K x. ( B - A ) ) )
132	102, 112, 131	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ -. ( ( A + B ) / 2 ) < x ) /\ -. ( ( A + B ) / 2 ) = x ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) ) <_ ( K x. ( B - A ) ) )
133	101, 132	pm2.61dan 832	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ -. ( ( A + B ) / 2 ) < x ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) ) <_ ( K x. ( B - A ) ) )
134	66, 133	pm2.61dan 832	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) ) <_ ( K x. ( B - A ) ) )
135	23, 32, 29, 33, 134	letrd 10194	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( abs ` ( F ` x ) ) - ( abs ` ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) ) <_ ( K x. ( B - A ) ) )
136	23, 29, 22, 135	leadd1dd 10641	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( abs ` ( F ` x ) ) - ( abs ` ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) ) + ( abs ` ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) ) <_ ( ( K x. ( B - A ) ) + ( abs ` ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) ) )
137	4	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) e. CC )
138	22	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) e. CC )
139	137, 138	npcand 10396	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( abs ` ( F ` x ) ) - ( abs ` ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) ) + ( abs ` ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) ) = ( abs ` ( F ` x ) ) )
140	139	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) = ( ( ( abs ` ( F ` x ) ) - ( abs ` ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) ) + ( abs ` ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) ) )
141		dvbdfbdioolem2.m	. . . . 5 |- M = ( ( abs ` ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) + ( K x. ( B - A ) ) )
142	21	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) e. CC )
143	24	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. CC )
144	7	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. CC )
145	5	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. CC )
146	144, 145	subcld 10392	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B - A ) e. CC )
147	143, 146	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K x. ( B - A ) ) e. CC )
148	142, 147	addcomd 10238	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) + ( K x. ( B - A ) ) ) = ( ( K x. ( B - A ) ) + ( abs ` ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) ) )
149	141, 148	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ph -> M = ( ( K x. ( B - A ) ) + ( abs ` ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) ) )
150	149	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> M = ( ( K x. ( B - A ) ) + ( abs ` ( F ` ( ( A + B ) / 2 ) ) ) ) )
151	136, 140, 150	3brtr4d 4685	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ M )
152	151	ralrimiva 2966	1 |- ( ph -> A. x e. ( A (,) B ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ M )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   (,)cioo 12175   abscabs 13974   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  dvbdfbdioo  40145