Theorem fourierdlem82 40405

Description: Integral by substitution, adding a constant to the function's argument, for a function on an open interval with finite limits ad boundary points. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem82.1	|- G = ( x e. ( A [,] B ) |-> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) )
fourierdlem82.2	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem82.3	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem82.4	|- ( ph -> A < B )
fourierdlem82.5	|- ( ph -> F : ( A [,] B ) --> CC )
fourierdlem82.6	|- ( ph -> ( F |` ( A (,) B ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
fourierdlem82.7	|- ( ph -> L e. ( F lim CC B ) )
fourierdlem82.8	|- ( ph -> R e. ( F lim CC A ) )
fourierdlem82.9	|- ( ph -> X e. RR )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem82	|- ( ph -> S. ( A [,] B ) ( F ` t ) _d t = S. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ( F ` ( X + t ) ) _d t )

Distinct variable groups:   t, A, x   t, B, x   x, F   t, G   x, L   x, R   t, X, x   ph, t, x

Allowed substitution hints:   R( t)   F( t)   G( x)   L( t)

Proof of Theorem fourierdlem82

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem82.2	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
2		fourierdlem82.3	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR )
3		fourierdlem82.9	. . . . 5 |- ( ph -> X e. RR )
4		fourierdlem82.4	. . . . . 6 |- ( ph -> A < B )
5	1, 2, 4	ltled 10185	. . . . 5 |- ( ph -> A <_ B )
6	1, 2, 3, 5	lesub1dd 10643	. . . 4 |- ( ph -> ( A - X ) <_ ( B - X ) )
7	6	ditgpos 23620	. . 3 |- ( ph -> S__ [ ( A - X ) -> ( B - X ) ] ( G ` ( X + t ) ) _d t = S. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ( G ` ( X + t ) ) _d t )
8		fourierdlem82.1	. . . . . . 7 |- G = ( x e. ( A [,] B ) |-> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) )
9		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = A -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = R )
10	9	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x = A ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = R )
11		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = A -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) = R )
12	11	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x = A ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) = R )
13	10, 12	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x = A ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) )
14	13	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ x = A ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) )
15		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. x = A -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) )
16		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = B -> if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) = L )
17	15, 16	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. x = A /\ x = B ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = L )
18	17	adantll 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ x = B ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = L )
19		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. x = A -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) = if ( x = B , L , ( F ` x ) ) )
20		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = B -> if ( x = B , L , ( F ` x ) ) = L )
21	19, 20	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. x = A /\ x = B ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) = L )
22	21	adantll 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ x = B ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) = L )
23	18, 22	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ x = B ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) )
24		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. x = B -> if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) = ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) )
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) = ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) )
26	15	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) )
27		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. x = B -> if ( x = B , L , ( F ` x ) ) = ( F ` x ) )
28	27	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> if ( x = B , L , ( F ` x ) ) = ( F ` x ) )
29	19	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) = if ( x = B , L , ( F ` x ) ) )
30	1	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. RR* )
31	30	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> A e. RR* )
32	2	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. RR* )
33	32	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> B e. RR* )
34	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> A e. RR )
35	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> B e. RR )
36		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
37		eliccre 39728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x e. RR )
38	34, 35, 36, 37	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x e. RR )
39	38	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> x e. RR )
40	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) -> A e. RR )
41	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) -> x e. RR )
42		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( x e. ( A [,] B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) ) )
43	34, 35, 42	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( x e. ( A [,] B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) ) )
44	36, 43	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) )
45	44	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> A <_ x )
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) -> A <_ x )
47		neqne 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. x = A -> x =/= A )
48	47	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) -> x =/= A )
49	40, 41, 46, 48	leneltd 10191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) -> A < x )
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> A < x )
51	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = B ) -> x e. RR )
52	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = B ) -> B e. RR )
53	44	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x <_ B )
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = B ) -> x <_ B )
55		nesym 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( B =/= x <-> -. x = B )
56	55	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. x = B -> B =/= x )
57	56	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = B ) -> B =/= x )
58	51, 52, 54, 57	leneltd 10191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = B ) -> x < B )
59	58	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> x < B )
60	31, 33, 39, 50, 59	eliood 39720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> x e. ( A (,) B ) )
61		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( A (,) B ) -> ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) = ( F ` x ) )
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) = ( F ` x ) )
63	28, 29, 62	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) = ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) )
64	25, 26, 63	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) )
65	23, 64	pm2.61dan 832	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) )
66	14, 65	pm2.61dan 832	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) )
67	66	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) |-> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) ) = ( x e. ( A [,] B ) |-> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) ) )
68	8, 67	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( ph -> G = ( x e. ( A [,] B ) |-> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) ) )
69	68	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> G = ( x e. ( A [,] B ) |-> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) ) )
70		eqeq1 2626	. . . . . . 7 |- ( x = ( X + t ) -> ( x = A <-> ( X + t ) = A ) )
71		eqeq1 2626	. . . . . . . 8 |- ( x = ( X + t ) -> ( x = B <-> ( X + t ) = B ) )
72		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = ( X + t ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( X + t ) ) )
73	71, 72	ifbieq2d 4111	. . . . . . 7 |- ( x = ( X + t ) -> if ( x = B , L , ( F ` x ) ) = if ( ( X + t ) = B , L , ( F ` ( X + t ) ) ) )
74	70, 73	ifbieq2d 4111	. . . . . 6 |- ( x = ( X + t ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) = if ( ( X + t ) = A , R , if ( ( X + t ) = B , L , ( F ` ( X + t ) ) ) ) )
75	1	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> A e. RR )
76		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) )
77	1, 3	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( A - X ) e. RR )
78	77	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( A - X ) e. RR* )
79	78	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( A - X ) e. RR* )
80	2, 3	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( B - X ) e. RR )
81	80	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( B - X ) e. RR* )
82	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( B - X ) e. RR* )
83		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A - X ) e. RR* /\ ( B - X ) e. RR* ) -> ( t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) <-> ( t e. RR /\ ( A - X ) < t /\ t < ( B - X ) ) ) )
84	79, 82, 83	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) <-> ( t e. RR /\ ( A - X ) < t /\ t < ( B - X ) ) ) )
85	76, 84	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( t e. RR /\ ( A - X ) < t /\ t < ( B - X ) ) )
86	85	simp2d 1074	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( A - X ) < t )
87	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> X e. RR )
88	85	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> t e. RR )
89	75, 87, 88	ltsubadd2d 10625	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( ( A - X ) < t <-> A < ( X + t ) ) )
90	86, 89	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> A < ( X + t ) )
91	75, 90	gtned 10172	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( X + t ) =/= A )
92	91	neneqd 2799	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> -. ( X + t ) = A )
93	92	iffalsed 4097	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> if ( ( X + t ) = A , R , if ( ( X + t ) = B , L , ( F ` ( X + t ) ) ) ) = if ( ( X + t ) = B , L , ( F ` ( X + t ) ) ) )
94	87, 88	readdcld 10069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( X + t ) e. RR )
95	85	simp3d 1075	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> t < ( B - X ) )
96	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> B e. RR )
97	87, 88, 96	ltaddsub2d 10628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( ( X + t ) < B <-> t < ( B - X ) ) )
98	95, 97	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( X + t ) < B )
99	94, 98	ltned 10173	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( X + t ) =/= B )
100	99	neneqd 2799	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> -. ( X + t ) = B )
101	100	iffalsed 4097	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> if ( ( X + t ) = B , L , ( F ` ( X + t ) ) ) = ( F ` ( X + t ) ) )
102	93, 101	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> if ( ( X + t ) = A , R , if ( ( X + t ) = B , L , ( F ` ( X + t ) ) ) ) = ( F ` ( X + t ) ) )
103	74, 102	sylan9eqr 2678	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) /\ x = ( X + t ) ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) = ( F ` ( X + t ) ) )
104	75, 94, 90	ltled 10185	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> A <_ ( X + t ) )
105	94, 96, 98	ltled 10185	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( X + t ) <_ B )
106	75, 96, 94, 104, 105	eliccd 39726	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( X + t ) e. ( A [,] B ) )
107		fourierdlem82.5	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : ( A [,] B ) --> CC )
108		ffun 6048	. . . . . . . 8 |- ( F : ( A [,] B ) --> CC -> Fun F )
109	107, 108	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> Fun F )
110	109	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> Fun F )
111		fdm 6051	. . . . . . . . . 10 |- ( F : ( A [,] B ) --> CC -> dom F = ( A [,] B ) )
112	107, 111	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom F = ( A [,] B ) )
113	112	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A [,] B ) = dom F )
114	113	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( A [,] B ) = dom F )
115	106, 114	eleqtrd 2703	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( X + t ) e. dom F )
116		fvelrn 6352	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ ( X + t ) e. dom F ) -> ( F ` ( X + t ) ) e. ran F )
117	110, 115, 116	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( F ` ( X + t ) ) e. ran F )
118	69, 103, 106, 117	fvmptd 6288	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( G ` ( X + t ) ) = ( F ` ( X + t ) ) )
119	118	itgeq2dv 23548	. . 3 |- ( ph -> S. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ( G ` ( X + t ) ) _d t = S. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ( F ` ( X + t ) ) _d t )
120		frn 6053	. . . . . . 7 |- ( F : ( A [,] B ) --> CC -> ran F C_ CC )
121	107, 120	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ran F C_ CC )
122	121	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ran F C_ CC )
123	109	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> Fun F )
124	1	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> A e. RR )
125	2	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> B e. RR )
126	3	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> X e. RR )
127	77	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( A - X ) e. RR )
128	80	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( B - X ) e. RR )
129		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) )
130		eliccre 39728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A - X ) e. RR /\ ( B - X ) e. RR /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> t e. RR )
131	127, 128, 129, 130	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> t e. RR )
132	126, 131	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( X + t ) e. RR )
133		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A - X ) e. RR /\ ( B - X ) e. RR ) -> ( t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) <-> ( t e. RR /\ ( A - X ) <_ t /\ t <_ ( B - X ) ) ) )
134	127, 128, 133	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) <-> ( t e. RR /\ ( A - X ) <_ t /\ t <_ ( B - X ) ) ) )
135	129, 134	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( t e. RR /\ ( A - X ) <_ t /\ t <_ ( B - X ) ) )
136	135	simp2d 1074	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( A - X ) <_ t )
137	124, 126, 131	lesubadd2d 10626	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( ( A - X ) <_ t <-> A <_ ( X + t ) ) )
138	136, 137	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> A <_ ( X + t ) )
139	135	simp3d 1075	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> t <_ ( B - X ) )
140	126, 131, 125	leaddsub2d 10629	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( ( X + t ) <_ B <-> t <_ ( B - X ) ) )
141	139, 140	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( X + t ) <_ B )
142	124, 125, 132, 138, 141	eliccd 39726	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( X + t ) e. ( A [,] B ) )
143	113	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( A [,] B ) = dom F )
144	142, 143	eleqtrd 2703	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( X + t ) e. dom F )
145	123, 144, 116	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( F ` ( X + t ) ) e. ran F )
146	122, 145	sseldd 3604	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( F ` ( X + t ) ) e. CC )
147	77, 80, 146	itgioo 23582	. . 3 |- ( ph -> S. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ( F ` ( X + t ) ) _d t = S. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ( F ` ( X + t ) ) _d t )
148	7, 119, 147	3eqtrrd 2661	. 2 |- ( ph -> S. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ( F ` ( X + t ) ) _d t = S__ [ ( A - X ) -> ( B - X ) ] ( G ` ( X + t ) ) _d t )
149		nfv 1843	. . . 4 |- F/ x ph
150		fourierdlem82.6	. . . 4 |- ( ph -> ( F |` ( A (,) B ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
151		fourierdlem82.7	. . . . 5 |- ( ph -> L e. ( F lim CC B ) )
152	1, 2, 4, 107	limcicciooub 39869	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F |` ( A (,) B ) ) lim CC B ) = ( F lim CC B ) )
153	151, 152	eleqtrrd 2704	. . . 4 |- ( ph -> L e. ( ( F |` ( A (,) B ) ) lim CC B ) )
154		fourierdlem82.8	. . . . 5 |- ( ph -> R e. ( F lim CC A ) )
155	1, 2, 4, 107	limciccioolb 39853	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F |` ( A (,) B ) ) lim CC A ) = ( F lim CC A ) )
156	154, 155	eleqtrrd 2704	. . . 4 |- ( ph -> R e. ( ( F |` ( A (,) B ) ) lim CC A ) )
157	149, 8, 1, 2, 150, 153, 156	cncfiooicc 40107	. . 3 |- ( ph -> G e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
158	1, 2, 5, 3, 157	itgsbtaddcnst 40198	. 2 |- ( ph -> S__ [ ( A - X ) -> ( B - X ) ] ( G ` ( X + t ) ) _d t = S__ [ A -> B ] ( G ` s ) _d s )
159	5	ditgpos 23620	. . 3 |- ( ph -> S__ [ A -> B ] ( G ` s ) _d s = S. ( A (,) B ) ( G ` s ) _d s )
160		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( s = t -> ( G ` s ) = ( G ` t ) )
161	160	cbvitgv 23543	. . . 4 |- S. ( A (,) B ) ( G ` s ) _d s = S. ( A (,) B ) ( G ` t ) _d t
162	8	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) -> G = ( x e. ( A [,] B ) |-> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) ) )
163	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> A e. RR )
164		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> t e. ( A (,) B ) )
165	30	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> A e. RR* )
166	32	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> B e. RR* )
167		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( t e. ( A (,) B ) <-> ( t e. RR /\ A < t /\ t < B ) ) )
168	165, 166, 167	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> ( t e. ( A (,) B ) <-> ( t e. RR /\ A < t /\ t < B ) ) )
169	164, 168	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> ( t e. RR /\ A < t /\ t < B ) )
170	169	simp2d 1074	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> A < t )
171		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> x = t )
172	170, 171	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> A < x )
173	163, 172	gtned 10172	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> x =/= A )
174	173	neneqd 2799	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> -. x = A )
175	174	iffalsed 4097	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) )
176	169	simp1d 1073	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> t e. RR )
177	171, 176	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> x e. RR )
178	169	simp3d 1075	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> t < B )
179	171, 178	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> x < B )
180	177, 179	ltned 10173	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> x =/= B )
181	180	neneqd 2799	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> -. x = B )
182	181	iffalsed 4097	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) = ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) )
183	171, 164	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> x e. ( A (,) B ) )
184	183, 61	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) = ( F ` x ) )
185		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( x = t -> ( F ` x ) = ( F ` t ) )
186	185	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> ( F ` x ) = ( F ` t ) )
187	184, 186	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) = ( F ` t ) )
188	175, 182, 187	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = ( F ` t ) )
189		ioossicc 12259	. . . . . . 7 |- ( A (,) B ) C_ ( A [,] B )
190		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) -> t e. ( A (,) B ) )
191	189, 190	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) -> t e. ( A [,] B ) )
192	109	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) -> Fun F )
193	113	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) -> ( A [,] B ) = dom F )
194	191, 193	eleqtrd 2703	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) -> t e. dom F )
195		fvelrn 6352	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ t e. dom F ) -> ( F ` t ) e. ran F )
196	192, 194, 195	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` t ) e. ran F )
197	162, 188, 191, 196	fvmptd 6288	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) -> ( G ` t ) = ( F ` t ) )
198	197	itgeq2dv 23548	. . . 4 |- ( ph -> S. ( A (,) B ) ( G ` t ) _d t = S. ( A (,) B ) ( F ` t ) _d t )
199	161, 198	syl5eq 2668	. . 3 |- ( ph -> S. ( A (,) B ) ( G ` s ) _d s = S. ( A (,) B ) ( F ` t ) _d t )
200	107	ffvelrnda 6359	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` t ) e. CC )
201	1, 2, 200	itgioo 23582	. . 3 |- ( ph -> S. ( A (,) B ) ( F ` t ) _d t = S. ( A [,] B ) ( F ` t ) _d t )
202	159, 199, 201	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ph -> S__ [ A -> B ] ( G ` s ) _d s = S. ( A [,] B ) ( F ` t ) _d t )
203	148, 158, 202	3eqtrrd 2661	1 |- ( ph -> S. ( A [,] B ) ( F ` t ) _d t = S. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ( F ` ( X + t ) ) _d t )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   -cn->ccncf 22679   S.citg 23387   S__cdit 23610   lim CC climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-ditg 23611  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  fourierdlem93  40416