dvnxpaek - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem dvnxpaek 40157

Description: The

-th derivative of the polynomial (x+A)^K. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dvnxpaek.s
dvnxpaek.x	ℂ_fld ↾_t
dvnxpaek.a
dvnxpaek.k
dvnxpaek.f

**Assertion**
Ref	Expression
dvnxpaek	$/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem dvnxpaek Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . 3
2		breq2 4657	. . . . 5
3		eqidd 2623	. . . . 5
4		oveq2 6658	. . . . . . . 8
5	4	fveq2d 6195	. . . . . . 7
6	5	oveq2d 6666	. . . . . 6
7	4	oveq2d 6666	. . . . . 6
8	6, 7	oveq12d 6668	. . . . 5
9	2, 3, 8	ifbieq12d 4113	. . . 4
10	9	mpteq2dv 4745	. . 3
11	1, 10	eqeq12d 2637	. 2
12		fveq2 6191	. . 3
13		breq2 4657	. . . . 5
14		eqidd 2623	. . . . 5
15		oveq2 6658	. . . . . . . 8
16	15	fveq2d 6195	. . . . . . 7
17	16	oveq2d 6666	. . . . . 6
18	15	oveq2d 6666	. . . . . 6
19	17, 18	oveq12d 6668	. . . . 5
20	13, 14, 19	ifbieq12d 4113	. . . 4
21	20	mpteq2dv 4745	. . 3
22	12, 21	eqeq12d 2637	. 2
23		fveq2 6191	. . 3
24		breq2 4657	. . . . 5
25		eqidd 2623	. . . . 5
26		oveq2 6658	. . . . . . . 8
27	26	fveq2d 6195	. . . . . . 7
28	27	oveq2d 6666	. . . . . 6
29	26	oveq2d 6666	. . . . . 6
30	28, 29	oveq12d 6668	. . . . 5
31	24, 25, 30	ifbieq12d 4113	. . . 4
32	31	mpteq2dv 4745	. . 3
33	23, 32	eqeq12d 2637	. 2
34		fveq2 6191	. . 3
35		breq2 4657	. . . . 5
36		eqidd 2623	. . . . 5
37		oveq2 6658	. . . . . . . 8
38	37	fveq2d 6195	. . . . . . 7
39	38	oveq2d 6666	. . . . . 6
40	37	oveq2d 6666	. . . . . 6
41	39, 40	oveq12d 6668	. . . . 5
42	35, 36, 41	ifbieq12d 4113	. . . 4
43	42	mpteq2dv 4745	. . 3
44	34, 43	eqeq12d 2637	. 2
45		dvnxpaek.s	. . . . 5
46		recnprss 23668	. . . . 5
47	45, 46	syl 17	. . . 4
48		cnex 10017	. . . . . 6
49	48	a1i 11	. . . . 5
50		dvnxpaek.x	. . . . . . . . . . . 12 ℂ_fld ↾_t
51		restsspw 16092	. . . . . . . . . . . . . 14 ℂ_fld ↾_t
52		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ℂ_fld ↾_t ℂ_fld ↾_t
53	51, 52	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 ℂ_fld ↾_t
54		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . 13
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ℂ_fld ↾_t
56	50, 55	syl 17	. . . . . . . . . . 11
57	56, 47	sstrd 3613	. . . . . . . . . 10
58	57	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
59		simpr 477	. . . . . . . . 9 $/\$
60	58, 59	sseldd 3604	. . . . . . . 8 $/\$
61		dvnxpaek.a	. . . . . . . . 9
62	61	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
63	60, 62	addcld 10059	. . . . . . 7 $/\$
64		dvnxpaek.k	. . . . . . . 8
65	64	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
66	63, 65	expcld 13008	. . . . . 6 $/\$
67		dvnxpaek.f	. . . . . 6
68	66, 67	fmptd 6385	. . . . 5
69		elpm2r 7875	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
70	49, 45, 68, 56, 69	syl22anc 1327	. . . 4
71		dvn0 23687	. . . 4 $/\$
72	47, 70, 71	syl2anc 693	. . 3
73	67	a1i 11	. . 3
74	64	nn0ge0d 11354	. . . . . . . 8
75		0red 10041	. . . . . . . . 9
76	64	nn0red 11352	. . . . . . . . 9
77	75, 76	lenltd 10183	. . . . . . . 8
78	74, 77	mpbid 222	. . . . . . 7
79	78	iffalsed 4097	. . . . . 6
80	79	adantr 481	. . . . 5 $/\$
81	64	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . 11
82	81	subid1d 10381	. . . . . . . . . 10
83	82	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9
84	83	oveq2d 6666	. . . . . . . 8
85		faccl 13070	. . . . . . . . . . 11
86	64, 85	syl 17	. . . . . . . . . 10
87	86	nncnd 11036	. . . . . . . . 9
88	86	nnne0d 11065	. . . . . . . . 9
89	87, 88	dividd 10799	. . . . . . . 8
90	84, 89	eqtrd 2656	. . . . . . 7
91	82	oveq2d 6666	. . . . . . 7
92	90, 91	oveq12d 6668	. . . . . 6
93	92	adantr 481	. . . . 5 $/\$
94	66	mulid2d 10058	. . . . 5 $/\$
95	80, 93, 94	3eqtrrd 2661	. . . 4 $/\$
96	95	mpteq2dva 4744	. . 3
97	72, 73, 96	3eqtrd 2660	. 2
98	47	adantr 481	. . . . 5 $/\$
99	70	adantr 481	. . . . 5 $/\$
100		simpr 477	. . . . 5 $/\$
101		dvnp1 23688	. . . . 5 $/\$ $/\$
102	98, 99, 100, 101	syl3anc 1326	. . . 4 $/\$
103	102	adantr 481	. . 3 $/\$ $/\$
104		oveq2 6658	. . . 4
105	104	adantl 482	. . 3 $/\$ $/\$
106		iftrue 4092	. . . . . . . . 9
107	106	mpteq2dv 4745	. . . . . . . 8
108	107	oveq2d 6666	. . . . . . 7
109	108	adantl 482	. . . . . 6 $/\$ $/\$
110		0cnd 10033	. . . . . . . 8
111	45, 50, 110	dvmptconst 40129	. . . . . . 7
112	111	ad2antrr 762	. . . . . 6 $/\$ $/\$
113	76	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
114		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . 12
115	114	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
116		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
117	113, 115, 116	ltled 10185	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
118	64	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . 13
119	118	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
120	100	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
121		zleltp1 11428	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
122	119, 120, 121	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$
123	122	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
124	117, 123	mpbid 222	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
125	124	iftrued 4094	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
126	125	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
127	126	eqcomd 2628	. . . . . 6 $/\$ $/\$
128	109, 112, 127	3eqtrd 2660	. . . . 5 $/\$ $/\$
129		simpl 473	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
130		simpr 477	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
131	129, 100, 114	3syl 18	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
132	76	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
133	131, 132	lenltd 10183	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
134	130, 133	mpbird 247	. . . . . 6 $/\$ $/\$
135		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
136	114	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
137	76	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
138	136, 137	lttri3d 10177	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
139	135, 138	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
140		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
141	139, 140	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
142	141	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
143	142	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
144	143	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
145		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
146	145	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
147	146	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
148	81	subidd 10380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
149	148	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
150		fac0 13063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
152	149, 151	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
153	152	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
154	147, 153	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
155	154	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
156	87	div1d 10793	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
157	156	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
158	155, 157	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
159	158	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
160	145	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
161	148	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
162	160, 161	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
163	162	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
164	163	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
165	63	exp0d 13002	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
166	165	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
167	164, 166	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
168	159, 167	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
169	87	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . 15
170	169	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
171	168, 170	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
172	171	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
173	172	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$
174	45, 50, 87	dvmptconst 40129	. . . . . . . . . . . 12
175	174	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
176	173, 175	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$
177	176	adantlr 751	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
178	137	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
179		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15
180	179	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14
181	180	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
182	178, 181	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
183	182	iftrued 4094	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
184	183	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
185	184	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
186	144, 177, 185	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
187	186	adantlr 751	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
188		simpll 790	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
189	188, 100, 114	3syl 18	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
190	76	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
191		simplr 792	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
192		neqne 2802	. . . . . . . . . . 11
193	192	necomd 2849	. . . . . . . . . 10
194	193	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
195	189, 190, 191, 194	leneltd 10191	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
196	114	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
197	76	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
198		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
199	196, 197, 198	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
200	196, 197	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
201	199, 200	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
202	201	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
203	202	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
204	203	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
205	45	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
206	205	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
207	87	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
208	100	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
209	64	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
210		nn0sub 11343	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
211	208, 209, 210	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
212	199, 211	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
213		faccl 13070	. . . . . . . . . . . . . 14
214	212, 213	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
215	214	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
216	214	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
217	207, 215, 216	divcld 10801	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
218	217	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
219	75	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
220	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ℂ_fld ↾_t
221	220	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ ℂ_fld ↾_t
222	206, 221, 217	dvmptconst 40129	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
223	63	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
224	223	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
225	212	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
226	224, 225	expcld 13008	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
227	225	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
228	212	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
229	196, 197	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
230	198, 229	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
231	228, 230	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
232		elnnz 11387	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
233	231, 232	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
234		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . 14
235	233, 234	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
236	235	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
237	224, 236	expcld 13008	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
238	227, 237	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
239	61	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
240	206, 221, 239, 233	dvxpaek 40155	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
241	206, 218, 219, 222, 226, 238, 240	dvmptmul 23724	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
242	226	mul02d 10234	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
243	242	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
244	238, 218	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
245	244	addid2d 10237	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
246	120	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
247	119	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
248		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
249	246, 247, 248	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
250	198, 249	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
251		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
252	196, 251	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
253	252, 197	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
254	250, 253	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
255	254	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
256	255	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
257	218, 227, 237	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
258	257	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
259	233	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
260	207, 215, 259, 216	div32d 10824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
261		facnn2 13069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
262	233, 261	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
263	262	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
264		faccl 13070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
265	234, 264	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
266	265	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
267	233, 266	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
268	235, 264	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
269		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
270	268, 269	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
271		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
272	233, 271	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
273	267, 259, 270, 272	divcan8d 39527	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
274	263, 273	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
275	274	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
276		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
277	260, 275, 276	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
278	277	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
279	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
280	100	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
281		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
282	279, 280, 281	subsub4d 10423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
283	282	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
284	283	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
285	278, 284	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
286	282	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
287	286	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
288	287	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
289	288	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
290	207, 267, 270	divrecd 10804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
291	289, 290	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
292	291	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
293	292	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
294	258, 285, 293	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
295	218, 238	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
296	256, 294, 295	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
297	243, 245, 296	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
298	297	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
299	204, 241, 298	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
300	188, 195, 299	syl2anc 693	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
301	187, 300	pm2.61dan 832	. . . . . 6 $/\$ $/\$
302	129, 134, 301	syl2anc 693	. . . . 5 $/\$ $/\$
303	128, 302	pm2.61dan 832	. . . 4 $/\$
304	303	adantr 481	. . 3 $/\$ $/\$
305	103, 105, 304	3eqtrd 2660	. 2 $/\$ $/\$
306	11, 22, 33, 44, 97, 305	nn0indd 11474	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

cvv 3200

wss 3574

cif 4086

cpw 4158

cpr 4179 class class class wbr 4653

cmpt 4729

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cpm 7858

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

cn0 11292

cz 11377

cexp 12860

cfa 13060 ↾_t crest 16081

ctopn 16082 ℂ_fldccnfld 19746

cdv 23627

cdvn 23628

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631 df-dvn 23632

This theorem is referenced by: etransclem17 40468

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