Theorem lgsval2lem 25032

Description: Lemma for lgsval2 25038. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgsval.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
lgsval2lem	|- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( A /L N ) = if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   n, N

Allowed substitution hint:   F( n)

Proof of Theorem lgsval2lem

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 15389	. . 3 |- ( N e. Prime -> N e. ZZ )
2		lgsval.1	. . . 4 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
3	2	lgsval 25026	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) = if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) )
4	1, 3	sylan2 491	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( A /L N ) = if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) )
5		prmnn 15388	. . . . . 6 |- ( N e. Prime -> N e. NN )
6	5	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. NN )
7	6	nnne0d 11065	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N =/= 0 )
8	7	neneqd 2799	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> -. N = 0 )
9	8	iffalsed 4097	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) ) = ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) )
10	6	nnnn0d 11351	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. NN0 )
11	10	nn0ge0d 11354	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> 0 <_ N )
12		0re 10040	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
13	6	nnred 11035	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. RR )
14		lenlt 10116	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 <_ N <-> -. N < 0 ) )
15	12, 13, 14	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( 0 <_ N <-> -. N < 0 ) )
16	11, 15	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> -. N < 0 )
17	16	intnanrd 963	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> -. ( N < 0 /\ A < 0 ) )
18	17	iffalsed 4097	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) = 1 )
19	13, 11	absidd 14161	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( abs ` N ) = N )
20	19	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) )
21		1z 11407	. . . . . . 7 |- 1 e. ZZ
22		prmuz2 15408	. . . . . . . . 9 |- ( N e. Prime -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
23	22	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
24		df-2 11079	. . . . . . . . 9 |- 2 = ( 1 + 1 )
25	24	fveq2i 6194	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` 2 ) = ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) )
26	23, 25	syl6eleq 2711	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
27		seqm1 12818	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( N - 1 ) ) x. ( F ` N ) ) )
28	21, 26, 27	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( N - 1 ) ) x. ( F ` N ) ) )
29		1t1e1 11175	. . . . . . . . 9 |- ( 1 x. 1 ) = 1
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( 1 x. 1 ) = 1 )
31		uz2m1nn 11763	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - 1 ) e. NN )
32	23, 31	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( N - 1 ) e. NN )
33		nnuz 11723	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
34	32, 33	syl6eleq 2711	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
35		elfznn 12370	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> x e. NN )
36	35	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> x e. NN )
37	2	lgsfval 25027	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. NN -> ( F ` x ) = if ( x e. Prime , ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ ( x pCnt N ) ) , 1 ) )
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` x ) = if ( x e. Prime , ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ ( x pCnt N ) ) , 1 ) )
39		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> N e. ZZ )
40	39	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> N e. RR )
41	40	ltm1d 10956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( N - 1 ) < N )
42		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> N <_ ( N - 1 ) )
43		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( N e. RR -> ( N - 1 ) e. RR )
44	40, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( N - 1 ) e. RR )
45	40, 44	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( N <_ ( N - 1 ) <-> -. ( N - 1 ) < N ) )
46	42, 45	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> -. ( N - 1 ) < N )
47	41, 46	pm2.65i 185	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -. N e. ( 1 ... ( N - 1 ) )
48		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = N -> ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) <-> N e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
49	47, 48	mtbiri 317	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = N -> -. x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
50	49	con2i 134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> -. x = N )
51	50	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> -. x = N )
52		prmuz2 15408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. Prime -> x e. ( ZZ>= ` 2 ) )
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> x e. ( ZZ>= ` 2 ) )
54		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> N e. Prime )
55		dvdsprm 15415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. Prime ) -> ( x || N <-> x = N ) )
56	53, 54, 55	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> ( x || N <-> x = N ) )
57	51, 56	mtbird 315	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> -. x || N )
58		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> x e. Prime )
59	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> N e. NN )
60		pceq0 15575	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. Prime /\ N e. NN ) -> ( ( x pCnt N ) = 0 <-> -. x || N ) )
61	58, 59, 60	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> ( ( x pCnt N ) = 0 <-> -. x || N ) )
62	57, 61	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> ( x pCnt N ) = 0 )
63	62	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ ( x pCnt N ) ) = ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ 0 ) )
64		0z 11388	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. ZZ
65		neg1z 11413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -u 1 e. ZZ
66	21, 65	keepel 4155	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) e. ZZ
67	64, 66	keepel 4155	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) e. ZZ
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ x = 2 ) -> if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) e. ZZ )
69		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> A e. ZZ )
70	69	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> A e. ZZ )
71		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> x e. Prime )
72		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> -. x = 2 )
73	72	neqned 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> x =/= 2 )
74		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x e. ( Prime \ { 2 } ) <-> ( x e. Prime /\ x =/= 2 ) )
75	71, 73, 74	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> x e. ( Prime \ { 2 } ) )
76		oddprm 15515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( x - 1 ) / 2 ) e. NN )
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> ( ( x - 1 ) / 2 ) e. NN )
78	77	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> ( ( x - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
79		zexpcl 12875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( x - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
80	70, 78, 79	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
81	80	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) e. ZZ )
82		prmnn 15388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. Prime -> x e. NN )
83	82	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> x e. NN )
84	81, 83	zmodcld 12691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) e. NN0 )
85	84	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) e. ZZ )
86		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) e. ZZ -> ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) e. ZZ )
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) /\ -. x = 2 ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) e. ZZ )
88	68, 87	ifclda 4120	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) -> if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) e. ZZ )
89	88	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. Prime ) -> if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) e. CC )
90	89	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) e. CC )
91	90	exp0d 13002	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ 0 ) = 1 )
92	63, 91	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x e. Prime ) -> ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ ( x pCnt N ) ) = 1 )
93	92	ifeq1da 4116	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( x e. Prime , ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ ( x pCnt N ) ) , 1 ) = if ( x e. Prime , 1 , 1 ) )
94		ifid 4125	. . . . . . . . . 10 |- if ( x e. Prime , 1 , 1 ) = 1
95	93, 94	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( x e. Prime , ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) ^ ( x pCnt N ) ) , 1 ) = 1 )
96	38, 95	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` x ) = 1 )
97	30, 34, 96	seqid3 12845	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( N - 1 ) ) = 1 )
98	97	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( N - 1 ) ) x. ( F ` N ) ) = ( 1 x. ( F ` N ) ) )
99	1	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. ZZ )
100	2	lgsfcl 25030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> F : NN --> ZZ )
101	69, 99, 7, 100	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> F : NN --> ZZ )
102	101, 6	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( F ` N ) e. ZZ )
103	102	zcnd 11483	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( F ` N ) e. CC )
104	103	mulid2d 10058	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( 1 x. ( F ` N ) ) = ( F ` N ) )
105	28, 98, 104	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` N ) = ( F ` N ) )
106	20, 105	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) = ( F ` N ) )
107	18, 106	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) = ( 1 x. ( F ` N ) ) )
108	2	lgsfval 25027	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( F ` N ) = if ( N e. Prime , ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) , 1 ) )
109	6, 108	syl 17	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( F ` N ) = if ( N e. Prime , ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) , 1 ) )
110		iftrue 4092	. . . . 5 |- ( N e. Prime -> if ( N e. Prime , ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) , 1 ) = ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) )
111	110	adantl 482	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> if ( N e. Prime , ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) , 1 ) = ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) )
112	6	nncnd 11036	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. CC )
113	112	exp1d 13003	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( N ^ 1 ) = N )
114	113	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( N pCnt ( N ^ 1 ) ) = ( N pCnt N ) )
115		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> N e. Prime )
116		pcid 15577	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Prime /\ 1 e. ZZ ) -> ( N pCnt ( N ^ 1 ) ) = 1 )
117	115, 21, 116	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( N pCnt ( N ^ 1 ) ) = 1 )
118	114, 117	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( N pCnt N ) = 1 )
119	118	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) = ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ 1 ) )
120	89	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> A. x e. Prime if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) e. CC )
121		eqeq1 2626	. . . . . . . . . 10 |- ( x = N -> ( x = 2 <-> N = 2 ) )
122		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = N -> ( x - 1 ) = ( N - 1 ) )
123	122	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = N -> ( ( x - 1 ) / 2 ) = ( ( N - 1 ) / 2 ) )
124	123	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = N -> ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) = ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
125	124	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = N -> ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) )
126		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = N -> x = N )
127	125, 126	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = N -> ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) = ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) )
128	127	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( x = N -> ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) = ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) )
129	121, 128	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . 9 |- ( x = N -> if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) = if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) )
130	129	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) e. CC <-> if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) e. CC ) )
131	130	rspcv 3305	. . . . . . 7 |- ( N e. Prime -> ( A. x e. Prime if ( x = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( x - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod x ) - 1 ) ) e. CC -> if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) e. CC ) )
132	115, 120, 131	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) e. CC )
133	132	exp1d 13003	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ 1 ) = if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) )
134	119, 133	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) ^ ( N pCnt N ) ) = if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) )
135	109, 111, 134	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( F ` N ) = if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) )
136	107, 104, 135	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) = if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) )
137	4, 9, 136	3eqtrd 2660	1 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. Prime ) -> ( A /L N ) = if ( N = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod N ) - 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   \ cdif 3571   ifcif 4086   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   7c7 11075   8c8 11076   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   mod cmo 12668   seqcseq 12801   ^cexp 12860   abscabs 13974   || cdvds 14983   Primecprime 15385   pCnt cpc 15541   /Lclgs 25019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-phi 15471  df-pc 15542  df-lgs 25020

This theorem is referenced by:  lgsval4lem  25033  lgsval2  25038