itg2cnlem1 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > itg2cnlem1		Structured version Visualization version Unicode version

Theorem itg2cnlem1 23528

Description: Lemma for itgcn 23609. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
itg2cn.1
itg2cn.2	MblFn
itg2cn.3

**Assertion**
Ref	Expression
itg2cnlem1

Distinct variable groups:

Proof of Theorem itg2cnlem1 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6201	. . . . . . . . . 10
2		c0ex 10034	. . . . . . . . . 10
3	1, 2	ifex 4156	. . . . . . . . 9
4		eqid 2622	. . . . . . . . . 10
5	4	fvmpt2 6291	. . . . . . . . 9 $/\$
6	3, 5	mpan2 707	. . . . . . . 8
7	6	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7
8	7	rneqd 5353	. . . . . 6
9	8	supeq1d 8352	. . . . 5
10	9	mpteq2ia 4740	. . . 4
11		nfcv 2764	. . . . 5
12		nfcv 2764	. . . . . . . 8
13		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . 11
14	12, 13	nfmpt 4746	. . . . . . . . . 10
15		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10
16	14, 15	nffv 6198	. . . . . . . . 9
17		nfcv 2764	. . . . . . . . 9
18	16, 17	nffv 6198	. . . . . . . 8
19	12, 18	nfmpt 4746	. . . . . . 7
20	19	nfrn 5368	. . . . . 6
21		nfcv 2764	. . . . . 6
22		nfcv 2764	. . . . . 6
23	20, 21, 22	nfsup 8357	. . . . 5
24		fveq2 6191	. . . . . . . . 9
25	24	mpteq2dv 4745	. . . . . . . 8
26		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13
27	26	ifbid 4108	. . . . . . . . . . . 12
28	27	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . 11
29	28	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10
30	29	cbvmptv 4750	. . . . . . . . 9
31		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12
32		reex 10027	. . . . . . . . . . . . 13
33	32	mptex 6486	. . . . . . . . . . . 12
34	28, 31, 33	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11
35	34	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10
36	35	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . 9
37	30, 36	eqtr4i 2647	. . . . . . . 8
38	25, 37	syl6eq 2672	. . . . . . 7
39	38	rneqd 5353	. . . . . 6
40	39	supeq1d 8352	. . . . 5
41	11, 23, 40	cbvmpt 4749	. . . 4
42	10, 41	eqtr3i 2646	. . 3
43		fveq2 6191	. . . . . . . 8
44	43	breq1d 4663	. . . . . . 7
45	44, 43	ifbieq1d 4109	. . . . . 6
46	45	cbvmptv 4750	. . . . 5
47	34	adantl 482	. . . . 5 $/\$
48		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . 13
49	48	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
50	49	rexrd 10089	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
51		elioopnf 12267	. . . . . . . . . . 11 $/\$
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
53		itg2cn.1	. . . . . . . . . . . . . 14
54		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . 14
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
56	55	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
57		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
59		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
60	59	biantrurd 529	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
61	58, 60	bitr4d 271	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
62		rge0ssre 12280	. . . . . . . . . . . . . 14
63		fss 6056	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
64	53, 62, 63	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
66	65	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
67	66	biantrurd 529	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
68	52, 61, 67	3bitr4d 300	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
69	68	notbid 308	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
70		eldif 3584	. . . . . . . . . 10 $\$ $/\$
71	70	baib 944	. . . . . . . . 9 $\$
72	71	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\$
73	66, 49	lenltd 10183	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
74	69, 72, 73	3bitr4d 300	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\$
75	74	ifbid 4108	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\$
76	75	mpteq2dva 4744	. . . . 5 $/\$ $\$
77	46, 47, 76	3eqtr4a 2682	. . . 4 $/\$ $\$
78		difss 3737	. . . . . 6 $\$
79	78	a1i 11	. . . . 5 $/\$ $\$
80		rembl 23308	. . . . . 6
81	80	a1i 11	. . . . 5 $/\$
82		fvex 6201	. . . . . . 7
83	82, 2	ifex 4156	. . . . . 6 $\$
84	83	a1i 11	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\$ $\$
85		eldifn 3733	. . . . . . 7 $\$ $\$ $\$
86	85	adantl 482	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
87	86	iffalsed 4097	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
88		iftrue 4092	. . . . . . . . 9 $\$ $\$
89	88	mpteq2ia 4740	. . . . . . . 8 $\$ $\$ $\$
90		resmpt 5449	. . . . . . . . 9 $\$ $\$ $\$
91	78, 90	ax-mp 5	. . . . . . . 8 $\$ $\$
92	89, 91	eqtr4i 2647	. . . . . . 7 $\$ $\$ $\$
93	53	feqmptd 6249	. . . . . . . . 9
94		itg2cn.2	. . . . . . . . 9 MblFn
95	93, 94	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 MblFn
96		mbfima 23399	. . . . . . . . . 10 MblFn $/\$
97	94, 64, 96	syl2anc 693	. . . . . . . . 9
98		cmmbl 23302	. . . . . . . . 9 $\$
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . 8 $\$
100		mbfres 23411	. . . . . . . 8 MblFn $/\$ $\$ $\$ MblFn
101	95, 99, 100	syl2anc 693	. . . . . . 7 $\$ MblFn
102	92, 101	syl5eqel 2705	. . . . . 6 $\$ $\$ MblFn
103	102	adantr 481	. . . . 5 $/\$ $\$ $\$ MblFn
104	79, 81, 84, 87, 103	mbfss 23413	. . . 4 $/\$ $\$ MblFn
105	77, 104	eqeltrd 2701	. . 3 $/\$ MblFn
106	53	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 $/\$
107		0e0icopnf 12282	. . . . . . 7
108		ifcl 4130	. . . . . . 7 $/\$
109	106, 107, 108	sylancl 694	. . . . . 6 $/\$
110	109	adantlr 751	. . . . 5 $/\$ $/\$
111		eqid 2622	. . . . 5
112	110, 111	fmptd 6385	. . . 4 $/\$
113	47	feq1d 6030	. . . 4 $/\$
114	112, 113	mpbird 247	. . 3 $/\$
115		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
116	106, 115	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
117	116	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 $/\$
118	117	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
119	118	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
120	119	leidd 10594	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
121		iftrue 4092	. . . . . . . . 9
122	121	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
123	48	ad3antlr 767	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
124		peano2re 10209	. . . . . . . . . . 11
125	123, 124	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
126		simpr 477	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
127	123	lep1d 10955	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
128	119, 123, 125, 126, 127	letrd 10194	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
129	128	iftrued 4094	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
130	120, 122, 129	3brtr4d 4685	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
131		iffalse 4095	. . . . . . . . 9
132	131	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
133	116	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 $/\$
134		0le0 11110	. . . . . . . . . . 11
135		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12
136		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12
137	135, 136	ifboth 4124	. . . . . . . . . . 11 $/\$
138	133, 134, 137	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 $/\$
139	138	adantlr 751	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
140	139	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
141	132, 140	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
142	130, 141	pm2.61dan 832	. . . . . 6 $/\$ $/\$
143	142	ralrimiva 2966	. . . . 5 $/\$
144	1, 2	ifex 4156	. . . . . . 7
145	144	a1i 11	. . . . . 6 $/\$ $/\$
146		eqidd 2623	. . . . . 6 $/\$
147		eqidd 2623	. . . . . 6 $/\$
148	81, 110, 145, 146, 147	ofrfval2 6915	. . . . 5 $/\$
149	143, 148	mpbird 247	. . . 4 $/\$
150		peano2nn 11032	. . . . . 6
151	150	adantl 482	. . . . 5 $/\$
152		breq2 4657	. . . . . . . 8
153	152	ifbid 4108	. . . . . . 7
154	153	mpteq2dv 4745	. . . . . 6
155	32	mptex 6486	. . . . . 6
156	154, 31, 155	fvmpt 6282	. . . . 5
157	151, 156	syl 17	. . . 4 $/\$
158	149, 47, 157	3brtr4d 4685	. . 3 $/\$
159	64	ffvelrnda 6359	. . . 4 $/\$
160	34	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
161	160	fveq1d 6193	. . . . . 6 $/\$ $/\$
162	117	leidd 10594	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
163		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14
164		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14
165	163, 164	ifboth 4124	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
166	162, 133, 165	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
167	166	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
168	167	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 $/\$
169	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 $/\$
170	1, 2	ifex 4156	. . . . . . . . . . . 12
171	170	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
172	53	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . 12
173	172	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
174	169, 171, 118, 146, 173	ofrfval2 6915	. . . . . . . . . 10 $/\$
175	168, 174	mpbird 247	. . . . . . . . 9 $/\$
176	171, 111	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 $/\$
177		ffn 6045	. . . . . . . . . . 11
178	176, 177	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
179	55	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
180		inidm 3822	. . . . . . . . . 10
181		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
182		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
183	178, 179, 169, 169, 180, 181, 182	ofrfval 6905	. . . . . . . . 9 $/\$
184	175, 183	mpbid 222	. . . . . . . 8 $/\$
185	184	r19.21bi 2932	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
186	185	an32s 846	. . . . . 6 $/\$ $/\$
187	161, 186	eqbrtrd 4675	. . . . 5 $/\$ $/\$
188	187	ralrimiva 2966	. . . 4 $/\$
189		breq2 4657	. . . . . 6
190	189	ralbidv 2986	. . . . 5
191	190	rspcev 3309	. . . 4 $/\$
192	159, 188, 191	syl2anc 693	. . 3 $/\$
193	28	fveq2d 6195	. . . . . . 7
194	193	cbvmptv 4750	. . . . . 6
195	34	fveq2d 6195	. . . . . . 7
196	195	mpteq2ia 4740	. . . . . 6
197	194, 196	eqtr4i 2647	. . . . 5
198	197	rneqi 5352	. . . 4
199	198	supeq1i 8353	. . 3
200	42, 105, 114, 158, 192, 199	itg2mono 23520	. 2
201		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12
202	27, 201, 170	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11
203	202	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
204	166	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
205	203, 204	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
206	205	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 $/\$
207	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
208	207, 201	fmptd 6385	. . . . . . . . . 10 $/\$
209		ffn 6045	. . . . . . . . . 10
210	208, 209	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$
211		breq1 4656	. . . . . . . . . 10
212	211	ralrn 6362	. . . . . . . . 9
213	210, 212	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$
214	206, 213	mpbird 247	. . . . . . 7 $/\$
215	117	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
216		0re 10040	. . . . . . . . . . 11
217		ifcl 4130	. . . . . . . . . . 11 $/\$
218	215, 216, 217	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
219	218, 201	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 $/\$
220		frn 6053	. . . . . . . . 9
221	219, 220	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$
222		1nn 11031	. . . . . . . . . 10
223	201, 218	dmmptd 6024	. . . . . . . . . 10 $/\$
224	222, 223	syl5eleqr 2708	. . . . . . . . 9 $/\$
225		n0i 3920	. . . . . . . . . 10
226		dm0rn0 5342	. . . . . . . . . . 11
227	226	necon3bbii 2841	. . . . . . . . . 10
228	225, 227	sylib 208	. . . . . . . . 9
229	224, 228	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$
230		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11
231	230	ralbidv 2986	. . . . . . . . . 10
232	231	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 $/\$
233	117, 214, 232	syl2anc 693	. . . . . . . 8 $/\$
234		suprleub 10989	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
235	221, 229, 233, 117, 234	syl31anc 1329	. . . . . . 7 $/\$
236	214, 235	mpbird 247	. . . . . 6 $/\$
237		arch 11289	. . . . . . . . 9
238	117, 237	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$
239	202	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
240		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
241	117, 48, 240	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
242	241	impr 649	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
243	242	iftrued 4094	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
244	239, 243	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
245	210	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
246		simprl 794	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
247		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . 10 $/\$
248	245, 246, 247	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
249	244, 248	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
250	238, 249	rexlimddv 3035	. . . . . . 7 $/\$
251		suprub 10984	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
252	221, 229, 233, 250, 251	syl31anc 1329	. . . . . 6 $/\$
253		suprcl 10983	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
254	221, 229, 233, 253	syl3anc 1326	. . . . . . 7 $/\$
255	254, 117	letri3d 10179	. . . . . 6 $/\$ $/\$
256	236, 252, 255	mpbir2and 957	. . . . 5 $/\$
257	256	mpteq2dva 4744	. . . 4
258	257, 172	eqtr4d 2659	. . 3
259	258	fveq2d 6195	. 2
260	200, 259	eqtr3d 2658	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

cvv 3200 $\$ cdif 3571

wss 3574

c0 3915

cif 4086 class class class wbr 4653

cmpt 4729

ccnv 5113

cdm 5114

crn 5115

cres 5116

cima 5117

wfn 5883

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cofr 6896

csup 8346

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cpnf 10071

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cn 11020

cioo 12175

cico 12177

cvol 23232 MblFncmbf 23383

citg2 23385

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cc 9257 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-disj 4621 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-ofr 6898 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-omul 7565 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-acn 8768 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-rest 16083 df-topgen 16104 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-top 20699 df-topon 20716 df-bases 20750 df-cmp 21190 df-ovol 23233 df-vol 23234 df-mbf 23388 df-itg1 23389 df-itg2 23390

This theorem is referenced by: itg2cn 23530

W3C validator