Theorem ovnsubadd 40786

Description: (voln^* ` X ) is subadditive. Proposition 115D (a)(iv) of [Fremlin1] p. 31 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovnsubadd.1	|- ( ph -> X e. Fin )
ovnsubadd.2	|- ( ph -> A : NN --> ~P ( RR ^m X ) )

Assertion

Ref	Expression
ovnsubadd	|- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   n, X   ph, n

Proof of Theorem ovnsubadd

Dummy variables k a e i j l y z b d f m h o are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( X = (/) -> (voln* ` X ) = (voln* ` (/) ) )
2	1	fveq1d 6193	. . . . 5 |- ( X = (/) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) = ( (voln* ` (/) ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) )
3	2	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) = ( (voln* ` (/) ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) )
4		ovnsubadd.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A : NN --> ~P ( RR ^m X ) )
5	4	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A : NN --> ~P ( RR ^m X ) )
6		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
7	5, 6	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) e. ~P ( RR ^m X ) )
8		elpwi 4168	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ` n ) e. ~P ( RR ^m X ) -> ( A ` n ) C_ ( RR ^m X ) )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) C_ ( RR ^m X ) )
10	9	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. n e. NN ( A ` n ) C_ ( RR ^m X ) )
11		iunss 4561	. . . . . . . 8 |- ( U_ n e. NN ( A ` n ) C_ ( RR ^m X ) <-> A. n e. NN ( A ` n ) C_ ( RR ^m X ) )
12	10, 11	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ph -> U_ n e. NN ( A ` n ) C_ ( RR ^m X ) )
13	12	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> U_ n e. NN ( A ` n ) C_ ( RR ^m X ) )
14		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( X = (/) -> ( RR ^m X ) = ( RR ^m (/) ) )
15	14	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( RR ^m X ) = ( RR ^m (/) ) )
16	13, 15	sseqtrd 3641	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> U_ n e. NN ( A ` n ) C_ ( RR ^m (/) ) )
17	16	ovn0val 40764	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( (voln* ` (/) ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) = 0 )
18	3, 17	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) = 0 )
19		nnex 11026	. . . . . 6 |- NN e. _V
20	19	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> NN e. _V )
21		ovnsubadd.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. Fin )
22	21	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X e. Fin )
23	22, 9	ovncl 40781	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
24		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) )
25	23, 24	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
26	20, 25	sge0ge0 40601	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) )
27	26	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> 0 <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) )
28	18, 27	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) )
29	21, 12	ovnxrcl 40783	. . . 4 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) e. RR* )
30	29	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) e. RR* )
31	20, 25	sge0xrcl 40602	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) e. RR* )
32	31	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) e. RR* )
33	21	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. X = (/) ) /\ y e. RR+ ) -> X e. Fin )
34		neqne 2802	. . . . 5 |- ( -. X = (/) -> X =/= (/) )
35	34	ad2antlr 763	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. X = (/) ) /\ y e. RR+ ) -> X =/= (/) )
36	4	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. X = (/) ) /\ y e. RR+ ) -> A : NN --> ~P ( RR ^m X ) )
37		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. X = (/) ) /\ y e. RR+ ) -> y e. RR+ )
38		eqid 2622	. . . 4 |- ( a e. ~P ( RR ^m X ) |-> { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( a C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } ) = ( a e. ~P ( RR ^m X ) |-> { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( a C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } )
39		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( b = a -> ( b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) <-> a C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) ) )
40	39	rabbidv 3189	. . . . 5 |- ( b = a -> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } = { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | a C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } )
41	40	cbvmptv 4750	. . . 4 |- ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) = ( a e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | a C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } )
42		eqid 2622	. . . 4 |- ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) = ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) )
43		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( o = j -> ( l ` o ) = ( l ` j ) )
44	43	coeq2d 5284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( o = j -> ( [,) o. ( l ` o ) ) = ( [,) o. ( l ` j ) ) )
45	44	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( o = j -> ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) = ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` d ) )
46	45	ixpeq2dv 7924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( o = j -> X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) = X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` d ) )
47		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( d = k -> ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` d ) = ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) )
48	47	cbvixpv 7926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` d ) = X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k )
49	46, 48	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( o = j -> X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) = X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) )
50	49	cbviunv 4559	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) = U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k )
51	50	sseq2i 3630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) <-> b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) )
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) -> ( b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) <-> b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) ) )
53	52	rabbiia 3185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) } = { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) }
54	53	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) } ) = ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } )
55	54	fveq1i 6192	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) } ) ` d ) = ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` d )
56		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d = a -> ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` d ) = ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) )
57	55, 56	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( d = a -> ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) } ) ` d ) = ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) )
58	57	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( d = a -> ( m e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) } ) ` d ) <-> m e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) ) )
59		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( d = k -> ( ( [,) o. h ) ` d ) = ( ( [,) o. h ) ` k ) )
60	59	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( d = k -> ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) )
61	60	cbvprodv 14646	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) )
62	61	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) = ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) )
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( o = j -> ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) = ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) )
64		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( o = j -> ( m ` o ) = ( m ` j ) )
65	63, 64	fveq12d 6197	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( o = j -> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) ` ( m ` o ) ) = ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) )
66	65	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( o e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) ` ( m ` o ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) )
67	66	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . 12 |- (Σ^ ` ( o e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) ` ( m ` o ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) ) )
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( d = a -> (Σ^ ` ( o e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) ` ( m ` o ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) ) ) )
69		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d = a -> ( (voln* ` X ) ` d ) = ( (voln* ` X ) ` a ) )
70	69	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( d = a -> ( ( (voln* ` X ) ` d ) +e f ) = ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) )
71	68, 70	breq12d 4666	. . . . . . . . . 10 |- ( d = a -> ( (Σ^ ` ( o e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) ` ( m ` o ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` d ) +e f ) <-> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) ) )
72	58, 71	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( d = a -> ( ( m e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) } ) ` d ) /\ (Σ^ ` ( o e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) ` ( m ` o ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` d ) +e f ) ) <-> ( m e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) ) ) )
73	72	rabbidva2 3186	. . . . . . . 8 |- ( d = a -> { m e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) } ) ` d ) | (Σ^ ` ( o e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) ` ( m ` o ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` d ) +e f ) } = { m e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) } )
74		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = i -> ( m ` j ) = ( i ` j ) )
75	74	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = i -> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) = ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) )
76	75	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = i -> ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) )
77	76	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( m = i -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) )
78	77	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( m = i -> ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) <-> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) ) )
79	78	cbvrabv 3199	. . . . . . . 8 |- { m e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( m ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) } = { i e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) }
80	73, 79	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( d = a -> { m e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) } ) ` d ) | (Σ^ ` ( o e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) ` ( m ` o ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` d ) +e f ) } = { i e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) } )
81	80	mpteq2dv 4745	. . . . . 6 |- ( d = a -> ( f e. RR+ |-> { m e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) } ) ` d ) | (Σ^ ` ( o e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) ` ( m ` o ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` d ) +e f ) } ) = ( f e. RR+ |-> { i e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) } ) )
82		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( f = e -> ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) = ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e e ) )
83	82	breq2d 4665	. . . . . . . 8 |- ( f = e -> ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) <-> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e e ) ) )
84	83	rabbidv 3189	. . . . . . 7 |- ( f = e -> { i e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) } = { i e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e e ) } )
85	84	cbvmptv 4750	. . . . . 6 |- ( f e. RR+ |-> { i e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e f ) } ) = ( e e. RR+ |-> { i e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e e ) } )
86	81, 85	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( d = a -> ( f e. RR+ |-> { m e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) } ) ` d ) | (Σ^ ` ( o e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) ` ( m ` o ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` d ) +e f ) } ) = ( e e. RR+ |-> { i e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e e ) } ) )
87	86	cbvmptv 4750	. . . 4 |- ( d e. ~P ( RR ^m X ) |-> ( f e. RR+ |-> { m e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ o e. NN X_ d e. X ( ( [,) o. ( l ` o ) ) ` d ) } ) ` d ) | (Σ^ ` ( o e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ d e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` d ) ) ) ` ( m ` o ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` d ) +e f ) } ) ) = ( a e. ~P ( RR ^m X ) |-> ( e e. RR+ |-> { i e. ( ( b e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | b C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } ) ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e e ) } ) )
88	33, 35, 36, 37, 38, 41, 42, 87	ovnsubaddlem2 40785	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. X = (/) ) /\ y e. RR+ ) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ ( (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) +e y ) )
89	30, 32, 88	xrlexaddrp 39568	. 2 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) )
90	28, 89	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   X_cixp 7908   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   NNcn 11020   RR+crp 11832   +ecxad 11944   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   prod_cprod 14635   volcvol 23232  Σ^{^}csumge0 40579  voln^*covoln 40750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-sumge0 40580  df-ovoln 40751

This theorem is referenced by:  ovnome  40787  ovnsubadd2lem  40859