Theorem ovolscalem1 23281

Description: Lemma for ovolsca 23283. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovolsca.1	|- ( ph -> A C_ RR )
ovolsca.2	|- ( ph -> C e. RR+ )
ovolsca.3	|- ( ph -> B = { x e. RR | ( C x. x ) e. A } )
ovolsca.4	|- ( ph -> ( vol* ` A ) e. RR )
ovolsca.5	|- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
ovolsca.6	|- G = ( n e. NN |-> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. )
ovolsca.7	|- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
ovolsca.8	|- ( ph -> A C_ U. ran ( (,) o. F ) )
ovolsca.9	|- ( ph -> R e. RR+ )
ovolsca.10	|- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ovolscalem1	|- ( ph -> ( vol* ` B ) <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) )

Distinct variable groups:   x, n, A   B, n   n, F, x   n, G   x, R   C, n, x   ph, n   x, S

Allowed substitution hints:   ph( x)   B( x)   R( n)   S( n)   G( x)

Proof of Theorem ovolscalem1

Dummy variables k y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolsca.3	. . . 4 |- ( ph -> B = { x e. RR | ( C x. x ) e. A } )
2		ssrab2 3687	. . . 4 |- { x e. RR | ( C x. x ) e. A } C_ RR
3	1, 2	syl6eqss 3655	. . 3 |- ( ph -> B C_ RR )
4		ovolcl 23246	. . 3 |- ( B C_ RR -> ( vol* ` B ) e. RR* )
5	3, 4	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( vol* ` B ) e. RR* )
6		ovolsca.7	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
7		ovolfcl 23235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
8	6, 7	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
9	8	simp3d 1075	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) )
10	8	simp1d 1073	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR )
11	8	simp2d 1074	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR )
12		ovolsca.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C e. RR+ )
13	12	rpregt0d 11878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C e. RR /\ 0 < C ) )
14	13	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( C e. RR /\ 0 < C ) )
15		lediv1 10888	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) <-> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) <_ ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) ) )
16	10, 11, 14, 15	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( F ` n ) ) <-> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) <_ ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) ) )
17	9, 16	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) <_ ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) )
18		df-br 4654	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) <_ ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) <-> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. e. <_ )
19	17, 18	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. e. <_ )
20	12	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> C e. RR+ )
21	10, 20	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) e. RR )
22	11, 20	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) e. RR )
23		opelxpi 5148	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) e. RR /\ ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) e. RR ) -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. e. ( RR X. RR ) )
24	21, 22, 23	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. e. ( RR X. RR ) )
25	19, 24	elind 3798	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
26		ovolsca.6	. . . . . . 7 |- G = ( n e. NN |-> <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. )
27	25, 26	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
28		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( ( abs o. - ) o. G ) = ( ( abs o. - ) o. G )
29		eqid 2622	. . . . . . 7 |- seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
30	28, 29	ovolsf 23241	. . . . . 6 |- ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
31	27, 30	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
32		frn 6053	. . . . 5 |- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) C_ ( 0 [,) +oo ) )
33	31, 32	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) C_ ( 0 [,) +oo ) )
34		icossxr 12258	. . . 4 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR*
35	33, 34	syl6ss 3615	. . 3 |- ( ph -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) C_ RR* )
36		supxrcl 12145	. . 3 |- ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) C_ RR* -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) , RR* , < ) e. RR* )
37	35, 36	syl 17	. 2 |- ( ph -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) , RR* , < ) e. RR* )
38		ovolsca.4	. . . . 5 |- ( ph -> ( vol* ` A ) e. RR )
39	38, 12	rerpdivcld 11903	. . . 4 |- ( ph -> ( ( vol* ` A ) / C ) e. RR )
40		ovolsca.9	. . . . 5 |- ( ph -> R e. RR+ )
41	40	rpred 11872	. . . 4 |- ( ph -> R e. RR )
42	39, 41	readdcld 10069	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) e. RR )
43	42	rexrd 10089	. 2 |- ( ph -> ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) e. RR* )
44	1	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y e. B <-> y e. { x e. RR | ( C x. x ) e. A } ) )
45		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( C x. x ) = ( C x. y ) )
46	45	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( C x. x ) e. A <-> ( C x. y ) e. A ) )
47	46	elrab 3363	. . . . . . 7 |- ( y e. { x e. RR | ( C x. x ) e. A } <-> ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) )
48	44, 47	syl6bb 276	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. B <-> ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) )
49		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) -> ( C x. y ) e. A )
50		ovolsca.8	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ U. ran ( (,) o. F ) )
51		ovolsca.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A C_ RR )
52		ovolfioo 23236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ RR /\ F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) -> ( A C_ U. ran ( (,) o. F ) <-> A. x e. A E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) ) )
53	51, 6, 52	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A C_ U. ran ( (,) o. F ) <-> A. x e. A E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) ) )
54	50, 53	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. A E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
55	54	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) -> A. x e. A E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
56		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( C x. y ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x <-> ( 1st ` ( F ` n ) ) < ( C x. y ) ) )
57		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( C x. y ) -> ( x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) <-> ( C x. y ) < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
58	56, 57	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( C x. y ) -> ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) <-> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < ( C x. y ) /\ ( C x. y ) < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) ) )
59	58	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( C x. y ) -> ( E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) <-> E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < ( C x. y ) /\ ( C x. y ) < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) ) )
60	59	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 |- ( ( C x. y ) e. A -> ( A. x e. A E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < x /\ x < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) -> E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < ( C x. y ) /\ ( C x. y ) < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) ) )
61	49, 55, 60	sylc 65	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) -> E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < ( C x. y ) /\ ( C x. y ) < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) )
62		opex 4932	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. e. _V
63	26	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. NN /\ <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. e. _V ) -> ( G ` n ) = <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. )
64	62, 63	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> ( G ` n ) = <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. )
65	64	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> ( 1st ` ( G ` n ) ) = ( 1st ` <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. ) )
66		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) e. _V
67		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) e. _V
68	66, 67	op1st 7176	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1st ` <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. ) = ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C )
69	65, 68	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( 1st ` ( G ` n ) ) = ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) )
70	69	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( G ` n ) ) = ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) )
71	70	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( G ` n ) ) < y <-> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) < y ) )
72	10	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR )
73		simplrl 800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> y e. RR )
74	14	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( C e. RR /\ 0 < C ) )
75		ltdivmul 10898	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) e. RR /\ y e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) < y <-> ( 1st ` ( F ` n ) ) < ( C x. y ) ) )
76	72, 73, 74, 75	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) < y <-> ( 1st ` ( F ` n ) ) < ( C x. y ) ) )
77	71, 76	bitr2d 269	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < ( C x. y ) <-> ( 1st ` ( G ` n ) ) < y ) )
78	11	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR )
79		ltmuldiv2 10897	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. RR /\ ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( C x. y ) < ( 2nd ` ( F ` n ) ) <-> y < ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) ) )
80	73, 78, 74, 79	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( C x. y ) < ( 2nd ` ( F ` n ) ) <-> y < ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) ) )
81	64	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> ( 2nd ` ( G ` n ) ) = ( 2nd ` <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. ) )
82	66, 67	op2nd 7177	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2nd ` <. ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) , ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) >. ) = ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C )
83	81, 82	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( 2nd ` ( G ` n ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) )
84	83	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` ( G ` n ) ) = ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) )
85	84	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( y < ( 2nd ` ( G ` n ) ) <-> y < ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) ) )
86	80, 85	bitr4d 271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( C x. y ) < ( 2nd ` ( F ` n ) ) <-> y < ( 2nd ` ( G ` n ) ) ) )
87	77, 86	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < ( C x. y ) /\ ( C x. y ) < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) <-> ( ( 1st ` ( G ` n ) ) < y /\ y < ( 2nd ` ( G ` n ) ) ) ) )
88	87	rexbidva 3049	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) -> ( E. n e. NN ( ( 1st ` ( F ` n ) ) < ( C x. y ) /\ ( C x. y ) < ( 2nd ` ( F ` n ) ) ) <-> E. n e. NN ( ( 1st ` ( G ` n ) ) < y /\ y < ( 2nd ` ( G ` n ) ) ) ) )
89	61, 88	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) ) -> E. n e. NN ( ( 1st ` ( G ` n ) ) < y /\ y < ( 2nd ` ( G ` n ) ) ) )
90	89	ex 450	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( y e. RR /\ ( C x. y ) e. A ) -> E. n e. NN ( ( 1st ` ( G ` n ) ) < y /\ y < ( 2nd ` ( G ` n ) ) ) ) )
91	48, 90	sylbid 230	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. B -> E. n e. NN ( ( 1st ` ( G ` n ) ) < y /\ y < ( 2nd ` ( G ` n ) ) ) ) )
92	91	ralrimiv 2965	. . . 4 |- ( ph -> A. y e. B E. n e. NN ( ( 1st ` ( G ` n ) ) < y /\ y < ( 2nd ` ( G ` n ) ) ) )
93		ovolfioo 23236	. . . . 5 |- ( ( B C_ RR /\ G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) -> ( B C_ U. ran ( (,) o. G ) <-> A. y e. B E. n e. NN ( ( 1st ` ( G ` n ) ) < y /\ y < ( 2nd ` ( G ` n ) ) ) ) )
94	3, 27, 93	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( B C_ U. ran ( (,) o. G ) <-> A. y e. B E. n e. NN ( ( 1st ` ( G ` n ) ) < y /\ y < ( 2nd ` ( G ` n ) ) ) ) )
95	92, 94	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> B C_ U. ran ( (,) o. G ) )
96	29	ovollb 23247	. . 3 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ B C_ U. ran ( (,) o. G ) ) -> ( vol* ` B ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) , RR* , < ) )
97	27, 95, 96	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( vol* ` B ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) , RR* , < ) )
98		fzfid 12772	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 1 ... k ) e. Fin )
99	12	rpcnd 11874	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. CC )
100	99	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> C e. CC )
101		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ph )
102		elfznn 12370	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... k ) -> n e. NN )
103	11, 10	resubcld 10458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) e. RR )
104	101, 102, 103	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) e. RR )
105	104	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) e. CC )
106	12	rpne0d 11877	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C =/= 0 )
107	106	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> C =/= 0 )
108	98, 100, 105, 107	fsumdivc 14518	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) = sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) )
109	83, 69	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( ( 2nd ` ( G ` n ) ) - ( 1st ` ( G ` n ) ) ) = ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) - ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) ) )
110	109	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( 2nd ` ( G ` n ) ) - ( 1st ` ( G ` n ) ) ) = ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) - ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) ) )
111	28	ovolfsval 23239	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) = ( ( 2nd ` ( G ` n ) ) - ( 1st ` ( G ` n ) ) ) )
112	27, 111	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) = ( ( 2nd ` ( G ` n ) ) - ( 1st ` ( G ` n ) ) ) )
113	11	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. CC )
114	10	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( F ` n ) ) e. CC )
115	12	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C e. CC /\ C =/= 0 ) )
116	115	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( C e. CC /\ C =/= 0 ) )
117		divsubdir 10721	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) e. CC /\ ( 1st ` ( F ` n ) ) e. CC /\ ( C e. CC /\ C =/= 0 ) ) -> ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) = ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) - ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) ) )
118	113, 114, 116, 117	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) = ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) / C ) - ( ( 1st ` ( F ` n ) ) / C ) ) )
119	110, 112, 118	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) = ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) )
120	101, 102, 119	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` n ) = ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) )
121		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
122		nnuz 11723	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
123	121, 122	syl6eleq 2711	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
124	103, 20	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) e. RR )
125	124	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) e. CC )
126	101, 102, 125	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) e. CC )
127	120, 123, 126	fsumser 14461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k ) )
128	108, 127	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k ) )
129		ovolsca.10	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) )
130		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( abs o. - ) o. F ) = ( ( abs o. - ) o. F )
131		ovolsca.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
132	130, 131	ovolsf 23241	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
133	6, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> S : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
134		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran S C_ ( 0 [,) +oo ) )
135	133, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ran S C_ ( 0 [,) +oo ) )
136	135, 34	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ran S C_ RR* )
137	12, 40	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( C x. R ) e. RR+ )
138	137	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( C x. R ) e. RR )
139	38, 138	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) e. RR )
140	139	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) e. RR* )
141		supxrleub 12156	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ran S C_ RR* /\ ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) e. RR* ) -> ( sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) <-> A. x e. ran S x <_ ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) ) )
142	136, 140, 141	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) <-> A. x e. ran S x <_ ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) ) )
143	129, 142	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. ran S x <_ ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) )
144		ffn 6045	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> S Fn NN )
145	133, 144	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S Fn NN )
146		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( S ` k ) -> ( x <_ ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) <-> ( S ` k ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) ) )
147	146	ralrn 6362	. . . . . . . . . . 11 |- ( S Fn NN -> ( A. x e. ran S x <_ ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) <-> A. k e. NN ( S ` k ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) ) )
148	145, 147	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A. x e. ran S x <_ ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) <-> A. k e. NN ( S ` k ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) ) )
149	143, 148	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. NN ( S ` k ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) )
150	149	r19.21bi 2932	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) )
151	6	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
152	130	ovolfsval 23239	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` n ) = ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) )
153	151, 102, 152	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. F ) ` n ) = ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) )
154	153, 123, 105	fsumser 14461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) ) ` k ) )
155	131	fveq1i 6192	. . . . . . . . 9 |- ( S ` k ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) ) ` k )
156	154, 155	syl6eqr 2674	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) = ( S ` k ) )
157	39	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( vol* ` A ) / C ) e. CC )
158	40	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. CC )
159	99, 157, 158	adddid 10064	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C x. ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) ) = ( ( C x. ( ( vol* ` A ) / C ) ) + ( C x. R ) ) )
160	38	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( vol* ` A ) e. CC )
161	160, 99, 106	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( C x. ( ( vol* ` A ) / C ) ) = ( vol* ` A ) )
162	161	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( C x. ( ( vol* ` A ) / C ) ) + ( C x. R ) ) = ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) )
163	159, 162	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C x. ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) ) = ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) )
164	163	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( C x. ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) ) = ( ( vol* ` A ) + ( C x. R ) ) )
165	150, 156, 164	3brtr4d 4685	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) <_ ( C x. ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) ) )
166	98, 104	fsumrecl 14465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) e. RR )
167	42	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) e. RR )
168	13	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( C e. RR /\ 0 < C ) )
169		ledivmul 10899	. . . . . . . 8 |- ( ( sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) e. RR /\ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) <-> sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) <_ ( C x. ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) ) ) )
170	166, 167, 168, 169	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) <-> sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) <_ ( C x. ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) ) ) )
171	165, 170	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... k ) ( ( 2nd ` ( F ` n ) ) - ( 1st ` ( F ` n ) ) ) / C ) <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) )
172	128, 171	eqbrtrrd 4677	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k ) <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) )
173	172	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k ) <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) )
174		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) Fn NN )
175	31, 174	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) Fn NN )
176		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( y = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k ) -> ( y <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) <-> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k ) <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) ) )
177	176	ralrn 6362	. . . . 5 |- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) Fn NN -> ( A. y e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) y <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) <-> A. k e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k ) <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) ) )
178	175, 177	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) y <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) <-> A. k e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) ` k ) <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) ) )
179	173, 178	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> A. y e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) y <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) )
180		supxrleub 12156	. . . 4 |- ( ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) C_ RR* /\ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) e. RR* ) -> ( sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) , RR* , < ) <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) <-> A. y e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) y <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) ) )
181	35, 43, 180	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) , RR* , < ) <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) <-> A. y e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) y <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) ) )
182	179, 181	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) ) , RR* , < ) <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) )
183	5, 37, 43, 97, 182	xrletrd 11993	1 |- ( ph -> ( vol* ` B ) <_ ( ( ( vol* ` A ) / C ) + R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   ...cfz 12326   seqcseq 12801   abscabs 13974   sum_csu 14416   vol*covol 23231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-ovol 23233

This theorem is referenced by:  ovolscalem2  23282