Theorem pcohtpy 22820

Description: Homotopy invariance of path concatenation. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcohtpy.4	|- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( G ` 0 ) )
pcohtpy.5	|- ( ph -> F ( ~=ph ` J ) H )
pcohtpy.6	|- ( ph -> G ( ~=ph ` J ) K )

Assertion

Ref	Expression
pcohtpy	|- ( ph -> ( F ( *p ` J ) G ) ( ~=ph ` J ) ( H ( *p ` J ) K ) )

Proof of Theorem pcohtpy

Dummy variables m n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcohtpy.5	. . . . 5 |- ( ph -> F ( ~=ph ` J ) H )
2		isphtpc 22793	. . . . 5 |- ( F ( ~=ph ` J ) H <-> ( F e. ( II Cn J ) /\ H e. ( II Cn J ) /\ ( F ( PHtpy ` J ) H ) =/= (/) ) )
3	1, 2	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> ( F e. ( II Cn J ) /\ H e. ( II Cn J ) /\ ( F ( PHtpy ` J ) H ) =/= (/) ) )
4	3	simp1d 1073	. . 3 |- ( ph -> F e. ( II Cn J ) )
5		pcohtpy.6	. . . . 5 |- ( ph -> G ( ~=ph ` J ) K )
6		isphtpc 22793	. . . . 5 |- ( G ( ~=ph ` J ) K <-> ( G e. ( II Cn J ) /\ K e. ( II Cn J ) /\ ( G ( PHtpy ` J ) K ) =/= (/) ) )
7	5, 6	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> ( G e. ( II Cn J ) /\ K e. ( II Cn J ) /\ ( G ( PHtpy ` J ) K ) =/= (/) ) )
8	7	simp1d 1073	. . 3 |- ( ph -> G e. ( II Cn J ) )
9		pcohtpy.4	. . 3 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( G ` 0 ) )
10	4, 8, 9	pcocn 22817	. 2 |- ( ph -> ( F ( *p ` J ) G ) e. ( II Cn J ) )
11	3	simp2d 1074	. . 3 |- ( ph -> H e. ( II Cn J ) )
12	7	simp2d 1074	. . 3 |- ( ph -> K e. ( II Cn J ) )
13		phtpc01 22796	. . . . . 6 |- ( F ( ~=ph ` J ) H -> ( ( F ` 0 ) = ( H ` 0 ) /\ ( F ` 1 ) = ( H ` 1 ) ) )
14	1, 13	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` 0 ) = ( H ` 0 ) /\ ( F ` 1 ) = ( H ` 1 ) ) )
15	14	simprd 479	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( H ` 1 ) )
16		phtpc01 22796	. . . . . 6 |- ( G ( ~=ph ` J ) K -> ( ( G ` 0 ) = ( K ` 0 ) /\ ( G ` 1 ) = ( K ` 1 ) ) )
17	5, 16	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( G ` 0 ) = ( K ` 0 ) /\ ( G ` 1 ) = ( K ` 1 ) ) )
18	17	simpld 475	. . . 4 |- ( ph -> ( G ` 0 ) = ( K ` 0 ) )
19	9, 15, 18	3eqtr3d 2664	. . 3 |- ( ph -> ( H ` 1 ) = ( K ` 0 ) )
20	11, 12, 19	pcocn 22817	. 2 |- ( ph -> ( H ( *p ` J ) K ) e. ( II Cn J ) )
21	3	simp3d 1075	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ( PHtpy ` J ) H ) =/= (/) )
22		n0 3931	. . . . 5 |- ( ( F ( PHtpy ` J ) H ) =/= (/) <-> E. m m e. ( F ( PHtpy ` J ) H ) )
23	21, 22	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> E. m m e. ( F ( PHtpy ` J ) H ) )
24	7	simp3d 1075	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ( PHtpy ` J ) K ) =/= (/) )
25		n0 3931	. . . . 5 |- ( ( G ( PHtpy ` J ) K ) =/= (/) <-> E. n n e. ( G ( PHtpy ` J ) K ) )
26	24, 25	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> E. n n e. ( G ( PHtpy ` J ) K ) )
27		eeanv 2182	. . . 4 |- ( E. m E. n ( m e. ( F ( PHtpy ` J ) H ) /\ n e. ( G ( PHtpy ` J ) K ) ) <-> ( E. m m e. ( F ( PHtpy ` J ) H ) /\ E. n n e. ( G ( PHtpy ` J ) K ) ) )
28	23, 26, 27	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ph -> E. m E. n ( m e. ( F ( PHtpy ` J ) H ) /\ n e. ( G ( PHtpy ` J ) K ) ) )
29	9	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. ( F ( PHtpy ` J ) H ) /\ n e. ( G ( PHtpy ` J ) K ) ) ) -> ( F ` 1 ) = ( G ` 0 ) )
30	1	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. ( F ( PHtpy ` J ) H ) /\ n e. ( G ( PHtpy ` J ) K ) ) ) -> F ( ~=ph ` J ) H )
31	5	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. ( F ( PHtpy ` J ) H ) /\ n e. ( G ( PHtpy ` J ) K ) ) ) -> G ( ~=ph ` J ) K )
32		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) m y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) n y ) ) ) = ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) m y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) n y ) ) )
33		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. ( F ( PHtpy ` J ) H ) /\ n e. ( G ( PHtpy ` J ) K ) ) ) -> m e. ( F ( PHtpy ` J ) H ) )
34		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. ( F ( PHtpy ` J ) H ) /\ n e. ( G ( PHtpy ` J ) K ) ) ) -> n e. ( G ( PHtpy ` J ) K ) )
35	29, 30, 31, 32, 33, 34	pcohtpylem 22819	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( m e. ( F ( PHtpy ` J ) H ) /\ n e. ( G ( PHtpy ` J ) K ) ) ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) m y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) n y ) ) ) e. ( ( F ( *p ` J ) G ) ( PHtpy ` J ) ( H ( *p ` J ) K ) ) )
36		ne0i 3921	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) m y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) n y ) ) ) e. ( ( F ( *p ` J ) G ) ( PHtpy ` J ) ( H ( *p ` J ) K ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ( PHtpy ` J ) ( H ( *p ` J ) K ) ) =/= (/) )
37	35, 36	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( m e. ( F ( PHtpy ` J ) H ) /\ n e. ( G ( PHtpy ` J ) K ) ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ( PHtpy ` J ) ( H ( *p ` J ) K ) ) =/= (/) )
38	37	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( ( m e. ( F ( PHtpy ` J ) H ) /\ n e. ( G ( PHtpy ` J ) K ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ( PHtpy ` J ) ( H ( *p ` J ) K ) ) =/= (/) ) )
39	38	exlimdvv 1862	. . 3 |- ( ph -> ( E. m E. n ( m e. ( F ( PHtpy ` J ) H ) /\ n e. ( G ( PHtpy ` J ) K ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ( PHtpy ` J ) ( H ( *p ` J ) K ) ) =/= (/) ) )
40	28, 39	mpd 15	. 2 |- ( ph -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ( PHtpy ` J ) ( H ( *p ` J ) K ) ) =/= (/) )
41		isphtpc 22793	. 2 |- ( ( F ( *p ` J ) G ) ( ~=ph ` J ) ( H ( *p ` J ) K ) <-> ( ( F ( *p ` J ) G ) e. ( II Cn J ) /\ ( H ( *p ` J ) K ) e. ( II Cn J ) /\ ( ( F ( *p ` J ) G ) ( PHtpy ` J ) ( H ( *p ` J ) K ) ) =/= (/) ) )
42	10, 20, 40, 41	syl3anbrc 1246	1 |- ( ph -> ( F ( *p ` J ) G ) ( ~=ph ` J ) ( H ( *p ` J ) K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   (/)c0 3915   ifcif 4086   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   [,]cicc 12178   Cn ccn 21028   IIcii 22678   PHtpycphtpy 22767   ~=ph cphtpc 22768   *pcpco 22800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-ii 22680  df-htpy 22769  df-phtpy 22770  df-phtpc 22791  df-pco 22805

This theorem is referenced by:  pcophtb  22829  pi1cpbl  22844  pi1xfrf  22853  pi1xfr  22855  pi1xfrcnvlem  22856