Theorem pi1xfr 22855

Description: Given a path F and its inverse I between two basepoints, there is an induced group homomorphism on the fundamental groups. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1xfr.p	|- P = ( J pi1 ( F ` 0 ) )
pi1xfr.q	|- Q = ( J pi1 ( F ` 1 ) )
pi1xfr.b	|- B = ( Base ` P )
pi1xfr.g	|- G = ran ( g e. U. B |-> <. [ g ] ( ~=ph ` J ) , [ ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) >. )
pi1xfr.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
pi1xfr.f	|- ( ph -> F e. ( II Cn J ) )
pi1xfr.i	|- I = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( 1 - x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
pi1xfr	|- ( ph -> G e. ( P GrpHom Q ) )

Distinct variable groups:   x, g, B   g, F, x   g, I, x   ph, g, x   g, J, x   P, g, x   Q, g, x

Allowed substitution hints:   G( x, g)   X( x, g)

Proof of Theorem pi1xfr

Dummy variables f h u y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1xfr.j	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		iitopon 22682	. . . . . . 7 |- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
3	2	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
4		pi1xfr.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. ( II Cn J ) )
5		cnf2 21053	. . . . . 6 |- ( ( II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) /\ J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( II Cn J ) ) -> F : ( 0 [,] 1 ) --> X )
6	3, 1, 4, 5	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( 0 [,] 1 ) --> X )
7		0elunit 12290	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
8		ffvelrn 6357	. . . . 5 |- ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> X /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` 0 ) e. X )
9	6, 7, 8	sylancl 694	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` 0 ) e. X )
10		pi1xfr.p	. . . . 5 |- P = ( J pi1 ( F ` 0 ) )
11	10	pi1grp 22850	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( F ` 0 ) e. X ) -> P e. Grp )
12	1, 9, 11	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> P e. Grp )
13		1elunit 12291	. . . . 5 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
14		ffvelrn 6357	. . . . 5 |- ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> X /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` 1 ) e. X )
15	6, 13, 14	sylancl 694	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. X )
16		pi1xfr.q	. . . . 5 |- Q = ( J pi1 ( F ` 1 ) )
17	16	pi1grp 22850	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( F ` 1 ) e. X ) -> Q e. Grp )
18	1, 15, 17	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> Q e. Grp )
19	12, 18	jca 554	. 2 |- ( ph -> ( P e. Grp /\ Q e. Grp ) )
20		pi1xfr.b	. . . 4 |- B = ( Base ` P )
21		pi1xfr.g	. . . 4 |- G = ran ( g e. U. B |-> <. [ g ] ( ~=ph ` J ) , [ ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) >. )
22		pi1xfr.i	. . . . . . 7 |- I = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( 1 - x ) ) )
23	22	pcorevcl 22825	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( I e. ( II Cn J ) /\ ( I ` 0 ) = ( F ` 1 ) /\ ( I ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) )
24	4, 23	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( I e. ( II Cn J ) /\ ( I ` 0 ) = ( F ` 1 ) /\ ( I ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) )
25	24	simp1d 1073	. . . 4 |- ( ph -> I e. ( II Cn J ) )
26	24	simp2d 1074	. . . . 5 |- ( ph -> ( I ` 0 ) = ( F ` 1 ) )
27	26	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( I ` 0 ) )
28	24	simp3d 1075	. . . 4 |- ( ph -> ( I ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
29	10, 16, 20, 21, 1, 4, 25, 27, 28	pi1xfrf 22853	. . 3 |- ( ph -> G : B --> ( Base ` Q ) )
30	20	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B = ( Base ` P ) )
31	10, 1, 9, 30	pi1bas2 22841	. . . . . . 7 |- ( ph -> B = ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) )
32	31	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. B <-> y e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) ) )
33	32	biimpa 501	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> y e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) )
34		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) = ( U. B /. ( ~=ph ` J ) )
35		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) = ( y ( +g ` P ) z ) )
36	35	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) )
37		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) = ( G ` y ) )
38	37	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
39	36, 38	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) <-> ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
40	39	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( A. z e. B ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) <-> A. z e. B ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
41	31	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( z e. B <-> z e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) ) )
42	41	biimpa 501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. B ) -> z e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) )
43	42	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. U. B ) /\ z e. B ) -> z e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) )
44		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) )
45	44	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) )
46		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = ( G ` z ) )
47	46	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
48	45, 47	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) <-> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
49		phtpcer 22794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ~=ph ` J ) Er ( II Cn J )
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ~=ph ` J ) Er ( II Cn J ) )
51	10, 1, 9, 30	pi1eluni 22842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( f e. U. B <-> ( f e. ( II Cn J ) /\ ( f ` 0 ) = ( F ` 0 ) /\ ( f ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) ) )
52	51	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( f e. ( II Cn J ) /\ ( f ` 0 ) = ( F ` 0 ) /\ ( f ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) )
53	52	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> f e. ( II Cn J ) )
54	53	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> f e. ( II Cn J ) )
55	10, 1, 9, 30	pi1eluni 22842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( h e. U. B <-> ( h e. ( II Cn J ) /\ ( h ` 0 ) = ( F ` 0 ) /\ ( h ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) ) )
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( h e. U. B <-> ( h e. ( II Cn J ) /\ ( h ` 0 ) = ( F ` 0 ) /\ ( h ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) ) )
57	56	biimp3a 1432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( h e. ( II Cn J ) /\ ( h ` 0 ) = ( F ` 0 ) /\ ( h ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) )
58	57	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> h e. ( II Cn J ) )
59	54, 58	pco0 22814	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 0 ) = ( f ` 0 ) )
60	52	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( f ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
61	60	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
62	59, 61	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
63	52	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( f ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
64	63	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
65	57	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( h ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
66	64, 65	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ` 1 ) = ( h ` 0 ) )
67	54, 58, 66	pcocn 22817	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ( *p ` J ) h ) e. ( II Cn J ) )
68	4	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> F e. ( II Cn J ) )
69	67, 68	pco0 22814	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( ( f ( *p ` J ) h ) ( *p ` J ) F ) ` 0 ) = ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 0 ) )
70	28	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
71	62, 69, 70	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ` 1 ) = ( ( ( f ( *p ` J ) h ) ( *p ` J ) F ) ` 0 ) )
72	25	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> I e. ( II Cn J ) )
73	50, 72	erref 7762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> I ( ~=ph ` J ) I )
74	57	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( h ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
75		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( u <_ ( 1 / 2 ) , if ( u <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. u ) , ( u + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( u / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) ) = ( u e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( u <_ ( 1 / 2 ) , if ( u <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. u ) , ( u + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( u / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
76	54, 58, 68, 66, 74, 75	pcoass 22824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) ( f ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) )
77	58, 68	pco0 22814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( h ( *p ` J ) F ) ` 0 ) = ( h ` 0 ) )
78	66, 77	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ` 1 ) = ( ( h ( *p ` J ) F ) ` 0 ) )
79	50, 54	erref 7762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> f ( ~=ph ` J ) f )
80	68, 72	pco1 22815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( F ( *p ` J ) I ) ` 1 ) = ( I ` 1 ) )
81	65, 77, 70	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ` 1 ) = ( ( h ( *p ` J ) F ) ` 0 ) )
82	80, 81	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( F ( *p ` J ) I ) ` 1 ) = ( ( h ( *p ` J ) F ) ` 0 ) )
83		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) = ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } )
84	22, 83	pcorev2 22828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( F ( *p ` J ) I ) ( ~=ph ` J ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) )
85	68, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( F ( *p ` J ) I ) ( ~=ph ` J ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) )
86	58, 68, 74	pcocn 22817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( h ( *p ` J ) F ) e. ( II Cn J ) )
87	50, 86	erref 7762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( h ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) )
88	82, 85, 87	pcohtpy 22820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( F ( *p ` J ) I ) ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) )
89	77, 65	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( h ( *p ` J ) F ) ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
90	83	pcopt 22822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( h ( *p ` J ) F ) e. ( II Cn J ) /\ ( ( h ( *p ` J ) F ) ` 0 ) = ( F ` 0 ) ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) )
91	86, 89, 90	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) )
92	50, 88, 91	ertrd 7758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( F ( *p ` J ) I ) ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) )
93	26	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ` 0 ) = ( F ` 1 ) )
94	93	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( F ` 1 ) = ( I ` 0 ) )
95	68, 72, 86, 94, 81, 75	pcoass 22824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( F ( *p ` J ) I ) ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( F ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) )
96	50, 92, 95	ertr3d 7760	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( h ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) ( F ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) )
97	78, 79, 96	pcohtpy 22820	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( f ( *p ` J ) ( F ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) ) )
98	72, 86, 81	pcocn 22817	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) e. ( II Cn J ) )
99	72, 86	pco0 22814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) = ( I ` 0 ) )
100	99, 93	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) = ( F ` 1 ) )
101	100	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( F ` 1 ) = ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) )
102	54, 68, 98, 64, 101, 75	pcoass 22824	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) F ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) ( ~=ph ` J ) ( f ( *p ` J ) ( F ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) ) )
103	50, 97, 102	ertr4d 7761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( ( f ( *p ` J ) F ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) )
104	50, 76, 103	ertrd 7758	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) ( ( f ( *p ` J ) F ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) )
105	71, 73, 104	pcohtpy 22820	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ( *p ` J ) ( ( f ( *p ` J ) h ) ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( I ( *p ` J ) ( ( f ( *p ` J ) F ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) ) )
106	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> F e. ( II Cn J ) )
107	53, 106, 63	pcocn 22817	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( f ( *p ` J ) F ) e. ( II Cn J ) )
108	107	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ( *p ` J ) F ) e. ( II Cn J ) )
109	53, 106	pco0 22814	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) F ) ` 0 ) = ( f ` 0 ) )
110	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( I ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
111	60, 109, 110	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( I ` 1 ) = ( ( f ( *p ` J ) F ) ` 0 ) )
112	111	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ` 1 ) = ( ( f ( *p ` J ) F ) ` 0 ) )
113	54, 68	pco1 22815	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) F ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
114	113, 100	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) F ) ` 1 ) = ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) )
115	72, 108, 98, 112, 114, 75	pcoass 22824	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) ( ~=ph ` J ) ( I ( *p ` J ) ( ( f ( *p ` J ) F ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) ) )
116	50, 105, 115	ertr4d 7761	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ( *p ` J ) ( ( f ( *p ` J ) h ) ( *p ` J ) F ) ) ( ~=ph ` J ) ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) )
117	50, 116	erthi 7793	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> [ ( I ( *p ` J ) ( ( f ( *p ` J ) h ) ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) = [ ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) ] ( ~=ph ` J ) )
118	1	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> J e. (TopOn ` X ) )
119	54, 58	pco1 22815	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 1 ) = ( h ` 1 ) )
120	119, 74	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
121	10, 1, 9, 30	pi1eluni 22842	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( f ( *p ` J ) h ) e. U. B <-> ( ( f ( *p ` J ) h ) e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 0 ) = ( F ` 0 ) /\ ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) ) )
122	121	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) e. U. B <-> ( ( f ( *p ` J ) h ) e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 0 ) = ( F ` 0 ) /\ ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) ) )
123	67, 62, 120, 122	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( f ( *p ` J ) h ) e. U. B )
124	10, 16, 20, 21, 118, 68, 72, 94, 70, 123	pi1xfrval 22854	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( G ` [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( I ( *p ` J ) ( ( f ( *p ` J ) h ) ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) )
125		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` Q ) = ( Base ` Q )
126	15	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( F ` 1 ) e. X )
127		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` Q ) = ( +g ` Q )
128	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> I e. ( II Cn J ) )
129	128, 107, 111	pcocn 22817	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) e. ( II Cn J ) )
130	129	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) e. ( II Cn J ) )
131	128, 107	pco0 22814	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) = ( I ` 0 ) )
132	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( I ` 0 ) = ( F ` 1 ) )
133	131, 132	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) = ( F ` 1 ) )
134	133	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) = ( F ` 1 ) )
135	128, 107	pco1 22815	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ` 1 ) = ( ( f ( *p ` J ) F ) ` 1 ) )
136	53, 106	pco1 22815	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( ( f ( *p ` J ) F ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
137	135, 136	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
138	137	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
139		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( Base ` Q ) = ( Base ` Q ) )
140	16, 118, 126, 139	pi1eluni 22842	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) e. U. ( Base ` Q ) <-> ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) e. ( II Cn J ) /\ ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) = ( F ` 1 ) /\ ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) ) ) )
141	130, 134, 138, 140	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) e. U. ( Base ` Q ) )
142	72, 86	pco1 22815	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ` 1 ) = ( ( h ( *p ` J ) F ) ` 1 ) )
143	58, 68	pco1 22815	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( h ( *p ` J ) F ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
144	142, 143	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
145	16, 118, 126, 139	pi1eluni 22842	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) e. U. ( Base ` Q ) <-> ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) e. ( II Cn J ) /\ ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) = ( F ` 1 ) /\ ( ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) ) ) )
146	98, 100, 144, 145	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) e. U. ( Base ` Q ) )
147	16, 125, 118, 126, 127, 141, 146	pi1addval 22848	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( [ ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` Q ) [ ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ) ] ( ~=ph ` J ) )
148	117, 124, 147	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( G ` [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) ) = ( [ ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` Q ) [ ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) ) )
149	9	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( F ` 0 ) e. X )
150		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` P ) = ( +g ` P )
151		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> f e. U. B )
152		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> h e. U. B )
153	10, 20, 118, 149, 150, 151, 152	pi1addval 22848	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) )
154	153	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( G ` [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) ) )
155	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> J e. (TopOn ` X ) )
156	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( F ` 1 ) = ( I ` 0 ) )
157		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> f e. U. B )
158	10, 16, 20, 21, 155, 106, 128, 156, 110, 157	pi1xfrval 22854	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) )
159	158	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) )
160	10, 16, 20, 21, 118, 68, 72, 94, 70, 152	pi1xfrval 22854	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) )
161	159, 160	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( [ ( I ( *p ` J ) ( f ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` Q ) [ ( I ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) ) )
162	148, 154, 161	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. U. B /\ h e. U. B ) -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) )
163	162	3expa 1265	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. U. B ) /\ h e. U. B ) -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) )
164	34, 48, 163	ectocld 7814	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. U. B ) /\ z e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) ) -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
165	43, 164	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. U. B ) /\ z e. B ) -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
166	165	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. U. B ) -> A. z e. B ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
167	34, 40, 166	ectocld 7814	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( U. B /. ( ~=ph ` J ) ) ) -> A. z e. B ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
168	33, 167	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> A. z e. B ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
169	168	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. y e. B A. z e. B ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
170	29, 169	jca 554	. 2 |- ( ph -> ( G : B --> ( Base ` Q ) /\ A. y e. B A. z e. B ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
171	20, 125, 150, 127	isghm 17660	. 2 |- ( G e. ( P GrpHom Q ) <-> ( ( P e. Grp /\ Q e. Grp ) /\ ( G : B --> ( Base ` Q ) /\ A. y e. B A. z e. B ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) ) )
172	19, 170, 171	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> G e. ( P GrpHom Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   ifcif 4086   {csn 4177   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Er wer 7739   [cec 7740   /.cqs 7741   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   4c4 11072   [,]cicc 12178   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   Grpcgrp 17422   GrpHom cghm 17657  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   IIcii 22678   ~=ph cphtpc 22768   *pcpco 22800   pi1 cpi1 22803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-qus 16169  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-mulg 17541  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-ii 22680  df-htpy 22769  df-phtpy 22770  df-phtpc 22791  df-pco 22805  df-om1 22806  df-pi1 22808

This theorem is referenced by:  pi1xfrcnv  22857  pi1xfrgim  22858