Theorem pi1cpbl 22844

Description: The group operation, loop concatenation, is compatible with homotopy equivalence. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1val.g	|- G = ( J pi1 Y )
pi1val.1	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
pi1val.2	|- ( ph -> Y e. X )
pi1bas2.b	|- ( ph -> B = ( Base ` G ) )
pi1bas3.r	|- R = ( ( ~=ph ` J ) i^i ( U. B X. U. B ) )
pi1cpbl.o	|- O = ( J Om1 Y )
pi1cpbl.a	|- .+ = ( +g ` O )

Assertion

Ref	Expression
pi1cpbl	|- ( ph -> ( ( M R N /\ P R Q ) -> ( M .+ P ) R ( N .+ Q ) ) )

Proof of Theorem pi1cpbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1cpbl.o	. . . . 5 |- O = ( J Om1 Y )
2		pi1val.1	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
3	2	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( M R N /\ P R Q ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
4		pi1val.2	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. X )
5	4	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( M R N /\ P R Q ) ) -> Y e. X )
6		pi1val.g	. . . . . 6 |- G = ( J pi1 Y )
7		pi1bas2.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B = ( Base ` G ) )
8	7	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( M R N /\ P R Q ) ) -> B = ( Base ` G ) )
9		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( M R N /\ P R Q ) ) -> ( Base ` O ) = ( Base ` O ) )
10	6, 3, 5, 1, 8, 9	pi1buni 22840	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( M R N /\ P R Q ) ) -> U. B = ( Base ` O ) )
11		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( M R N /\ P R Q ) ) -> M R N )
12		pi1bas3.r	. . . . . . . . 9 |- R = ( ( ~=ph ` J ) i^i ( U. B X. U. B ) )
13	12	breqi 4659	. . . . . . . 8 |- ( M R N <-> M ( ( ~=ph ` J ) i^i ( U. B X. U. B ) ) N )
14		brinxp2 5180	. . . . . . . 8 |- ( M ( ( ~=ph ` J ) i^i ( U. B X. U. B ) ) N <-> ( M e. U. B /\ N e. U. B /\ M ( ~=ph ` J ) N ) )
15	13, 14	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( M R N <-> ( M e. U. B /\ N e. U. B /\ M ( ~=ph ` J ) N ) )
16	11, 15	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( M R N /\ P R Q ) ) -> ( M e. U. B /\ N e. U. B /\ M ( ~=ph ` J ) N ) )
17	16	simp1d 1073	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( M R N /\ P R Q ) ) -> M e. U. B )
18		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( M R N /\ P R Q ) ) -> P R Q )
19	12	breqi 4659	. . . . . . . 8 |- ( P R Q <-> P ( ( ~=ph ` J ) i^i ( U. B X. U. B ) ) Q )
20		brinxp2 5180	. . . . . . . 8 |- ( P ( ( ~=ph ` J ) i^i ( U. B X. U. B ) ) Q <-> ( P e. U. B /\ Q e. U. B /\ P ( ~=ph ` J ) Q ) )
21	19, 20	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( P R Q <-> ( P e. U. B /\ Q e. U. B /\ P ( ~=ph ` J ) Q ) )
22	18, 21	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( M R N /\ P R Q ) ) -> ( P e. U. B /\ Q e. U. B /\ P ( ~=ph ` J ) Q ) )
23	22	simp1d 1073	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( M R N /\ P R Q ) ) -> P e. U. B )
24	1, 3, 5, 10, 17, 23	om1addcl 22833	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M R N /\ P R Q ) ) -> ( M ( *p ` J ) P ) e. U. B )
25	16	simp2d 1074	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( M R N /\ P R Q ) ) -> N e. U. B )
26	22	simp2d 1074	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( M R N /\ P R Q ) ) -> Q e. U. B )
27	1, 3, 5, 10, 25, 26	om1addcl 22833	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M R N /\ P R Q ) ) -> ( N ( *p ` J ) Q ) e. U. B )
28	6, 3, 5, 8	pi1eluni 22842	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( M R N /\ P R Q ) ) -> ( M e. U. B <-> ( M e. ( II Cn J ) /\ ( M ` 0 ) = Y /\ ( M ` 1 ) = Y ) ) )
29	17, 28	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( M R N /\ P R Q ) ) -> ( M e. ( II Cn J ) /\ ( M ` 0 ) = Y /\ ( M ` 1 ) = Y ) )
30	29	simp3d 1075	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( M R N /\ P R Q ) ) -> ( M ` 1 ) = Y )
31	6, 3, 5, 8	pi1eluni 22842	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( M R N /\ P R Q ) ) -> ( P e. U. B <-> ( P e. ( II Cn J ) /\ ( P ` 0 ) = Y /\ ( P ` 1 ) = Y ) ) )
32	23, 31	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( M R N /\ P R Q ) ) -> ( P e. ( II Cn J ) /\ ( P ` 0 ) = Y /\ ( P ` 1 ) = Y ) )
33	32	simp2d 1074	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( M R N /\ P R Q ) ) -> ( P ` 0 ) = Y )
34	30, 33	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( M R N /\ P R Q ) ) -> ( M ` 1 ) = ( P ` 0 ) )
35	16	simp3d 1075	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( M R N /\ P R Q ) ) -> M ( ~=ph ` J ) N )
36	22	simp3d 1075	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( M R N /\ P R Q ) ) -> P ( ~=ph ` J ) Q )
37	34, 35, 36	pcohtpy 22820	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M R N /\ P R Q ) ) -> ( M ( *p ` J ) P ) ( ~=ph ` J ) ( N ( *p ` J ) Q ) )
38	12	breqi 4659	. . . . 5 |- ( ( M ( *p ` J ) P ) R ( N ( *p ` J ) Q ) <-> ( M ( *p ` J ) P ) ( ( ~=ph ` J ) i^i ( U. B X. U. B ) ) ( N ( *p ` J ) Q ) )
39		brinxp2 5180	. . . . 5 |- ( ( M ( *p ` J ) P ) ( ( ~=ph ` J ) i^i ( U. B X. U. B ) ) ( N ( *p ` J ) Q ) <-> ( ( M ( *p ` J ) P ) e. U. B /\ ( N ( *p ` J ) Q ) e. U. B /\ ( M ( *p ` J ) P ) ( ~=ph ` J ) ( N ( *p ` J ) Q ) ) )
40	38, 39	bitri 264	. . . 4 |- ( ( M ( *p ` J ) P ) R ( N ( *p ` J ) Q ) <-> ( ( M ( *p ` J ) P ) e. U. B /\ ( N ( *p ` J ) Q ) e. U. B /\ ( M ( *p ` J ) P ) ( ~=ph ` J ) ( N ( *p ` J ) Q ) ) )
41	24, 27, 37, 40	syl3anbrc 1246	. . 3 |- ( ( ph /\ ( M R N /\ P R Q ) ) -> ( M ( *p ` J ) P ) R ( N ( *p ` J ) Q ) )
42	1, 3, 5	om1plusg 22834	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( M R N /\ P R Q ) ) -> ( *p ` J ) = ( +g ` O ) )
43		pi1cpbl.a	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` O )
44	42, 43	syl6eqr 2674	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( M R N /\ P R Q ) ) -> ( *p ` J ) = .+ )
45	44	oveqd 6667	. . 3 |- ( ( ph /\ ( M R N /\ P R Q ) ) -> ( M ( *p ` J ) P ) = ( M .+ P ) )
46	44	oveqd 6667	. . 3 |- ( ( ph /\ ( M R N /\ P R Q ) ) -> ( N ( *p ` J ) Q ) = ( N .+ Q ) )
47	41, 45, 46	3brtr3d 4684	. 2 |- ( ( ph /\ ( M R N /\ P R Q ) ) -> ( M .+ P ) R ( N .+ Q ) )
48	47	ex 450	1 |- ( ph -> ( ( M R N /\ P R Q ) -> ( M .+ P ) R ( N .+ Q ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   i^i cin 3573   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   IIcii 22678   ~=ph cphtpc 22768   *pcpco 22800   Om1 comi 22801   pi1 cpi1 22803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-qus 16169  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-ii 22680  df-htpy 22769  df-phtpy 22770  df-phtpc 22791  df-pco 22805  df-om1 22806  df-pi1 22808

This theorem is referenced by:  pi1addf  22847  pi1addval  22848  pi1grplem  22849