Theorem prmreclem6 15625

Description: Lemma for prmrec 15626. If the series F was convergent, there would be some k such that the sum starting from k + 1 sums to less than 1 / 2; this is a sufficient hypothesis for prmreclem5 15624 to produce the contradictory bound N / 2 < ( 2 ^ k ) sqr N, which is false for N = 2 ^ ( 2 k + 2 ). (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmrec.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( 1 / n ) , 0 ) )

Assertion

Ref	Expression
prmreclem6	|- -. seq 1 ( + , F ) e. dom ~~>

Distinct variable group:   n, F

Proof of Theorem prmreclem6

Dummy variables j k m p r w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11723	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 11408	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
3		nnrecre 11057	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( 1 / n ) e. RR )
4	3	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( 1 / n ) e. RR )
5		0re 10040	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
6		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 / n ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( n e. Prime , ( 1 / n ) , 0 ) e. RR )
7	4, 5, 6	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> if ( n e. Prime , ( 1 / n ) , 0 ) e. RR )
8		prmrec.1	. . . . . . . . . . 11 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( 1 / n ) , 0 ) )
9	7, 8	fmptd 6385	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> F : NN --> RR )
10	9	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) e. RR )
11	1, 2, 10	serfre 12830	. . . . . . . 8 |- ( T. -> seq 1 ( + , F ) : NN --> RR )
12	11	trud 1493	. . . . . . 7 |- seq 1 ( + , F ) : NN --> RR
13		frn 6053	. . . . . . 7 |- ( seq 1 ( + , F ) : NN --> RR -> ran seq 1 ( + , F ) C_ RR )
14	12, 13	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> -> ran seq 1 ( + , F ) C_ RR )
15		1nn 11031	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN
16	12	fdmi 6052	. . . . . . . 8 |- dom seq 1 ( + , F ) = NN
17	15, 16	eleqtrri 2700	. . . . . . 7 |- 1 e. dom seq 1 ( + , F )
18		ne0i 3921	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. dom seq 1 ( + , F ) -> dom seq 1 ( + , F ) =/= (/) )
19		dm0rn0 5342	. . . . . . . . 9 |- ( dom seq 1 ( + , F ) = (/) <-> ran seq 1 ( + , F ) = (/) )
20	19	necon3bii 2846	. . . . . . . 8 |- ( dom seq 1 ( + , F ) =/= (/) <-> ran seq 1 ( + , F ) =/= (/) )
21	18, 20	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( 1 e. dom seq 1 ( + , F ) -> ran seq 1 ( + , F ) =/= (/) )
22	17, 21	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> -> ran seq 1 ( + , F ) =/= (/) )
23		1zzd 11408	. . . . . . . . 9 |- ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> -> 1 e. ZZ )
24		climdm 14285	. . . . . . . . . 10 |- ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> <-> seq 1 ( + , F ) ~~> ( ~~> ` seq 1 ( + , F ) ) )
25	24	biimpi 206	. . . . . . . . 9 |- ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> -> seq 1 ( + , F ) ~~> ( ~~> ` seq 1 ( + , F ) ) )
26	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> -> seq 1 ( + , F ) : NN --> RR )
27	26	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` k ) e. RR )
28	1, 23, 25, 27	climrecl 14314	. . . . . . . 8 |- ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> -> ( ~~> ` seq 1 ( + , F ) ) e. RR )
29		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> k e. NN )
30	25	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> seq 1 ( + , F ) ~~> ( ~~> ` seq 1 ( + , F ) ) )
31		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = j -> ( n e. Prime <-> j e. Prime ) )
32		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = j -> ( 1 / n ) = ( 1 / j ) )
33	31, 32	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = j -> if ( n e. Prime , ( 1 / n ) , 0 ) = if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) )
34		prmnn 15388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j e. Prime -> j e. NN )
35	34	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( T. /\ j e. Prime ) -> j e. NN )
36	35	nnrecred 11066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( T. /\ j e. Prime ) -> ( 1 / j ) e. RR )
37	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( T. /\ -. j e. Prime ) -> 0 e. RR )
38	36, 37	ifclda 4120	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( T. -> if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) e. RR )
39	38	trud 1493	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) e. RR
40	39	elexi 3213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) e. _V
41	33, 8, 40	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( F ` j ) = if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) )
42	41	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) = if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) )
43	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ j e. NN ) -> if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) e. RR )
44	42, 43	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) e. RR )
45	44	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) e. RR )
46		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> j e. RR+ )
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ j e. NN ) -> j e. RR+ )
48	47	rpreccld 11882	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ j e. NN ) -> ( 1 / j ) e. RR+ )
49	48	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ j e. NN ) -> 0 <_ ( 1 / j ) )
50		0le0 11110	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ 0
51		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 / j ) = if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) -> ( 0 <_ ( 1 / j ) <-> 0 <_ if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) ) )
52		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 = if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) -> ( 0 <_ 0 <-> 0 <_ if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) ) )
53	51, 52	ifboth 4124	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 <_ ( 1 / j ) /\ 0 <_ 0 ) -> 0 <_ if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) )
54	49, 50, 53	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ j e. NN ) -> 0 <_ if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) )
55	54, 42	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ j e. NN ) -> 0 <_ ( F ` j ) )
56	55	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) /\ j e. NN ) -> 0 <_ ( F ` j ) )
57	1, 29, 30, 45, 56	climserle 14393	. . . . . . . . 9 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` k ) <_ ( ~~> ` seq 1 ( + , F ) ) )
58	57	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> -> A. k e. NN ( seq 1 ( + , F ) ` k ) <_ ( ~~> ` seq 1 ( + , F ) ) )
59		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ~~> ` seq 1 ( + , F ) ) -> ( ( seq 1 ( + , F ) ` k ) <_ x <-> ( seq 1 ( + , F ) ` k ) <_ ( ~~> ` seq 1 ( + , F ) ) ) )
60	59	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ~~> ` seq 1 ( + , F ) ) -> ( A. k e. NN ( seq 1 ( + , F ) ` k ) <_ x <-> A. k e. NN ( seq 1 ( + , F ) ` k ) <_ ( ~~> ` seq 1 ( + , F ) ) ) )
61	60	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ~~> ` seq 1 ( + , F ) ) e. RR /\ A. k e. NN ( seq 1 ( + , F ) ` k ) <_ ( ~~> ` seq 1 ( + , F ) ) ) -> E. x e. RR A. k e. NN ( seq 1 ( + , F ) ` k ) <_ x )
62	28, 58, 61	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> -> E. x e. RR A. k e. NN ( seq 1 ( + , F ) ` k ) <_ x )
63		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( seq 1 ( + , F ) : NN --> RR -> seq 1 ( + , F ) Fn NN )
64		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( seq 1 ( + , F ) ` k ) -> ( z <_ x <-> ( seq 1 ( + , F ) ` k ) <_ x ) )
65	64	ralrn 6362	. . . . . . . . 9 |- ( seq 1 ( + , F ) Fn NN -> ( A. z e. ran seq 1 ( + , F ) z <_ x <-> A. k e. NN ( seq 1 ( + , F ) ` k ) <_ x ) )
66	12, 63, 65	mp2b 10	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. ran seq 1 ( + , F ) z <_ x <-> A. k e. NN ( seq 1 ( + , F ) ` k ) <_ x )
67	66	rexbii 3041	. . . . . . 7 |- ( E. x e. RR A. z e. ran seq 1 ( + , F ) z <_ x <-> E. x e. RR A. k e. NN ( seq 1 ( + , F ) ` k ) <_ x )
68	62, 67	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> -> E. x e. RR A. z e. ran seq 1 ( + , F ) z <_ x )
69		suprcl 10983	. . . . . 6 |- ( ( ran seq 1 ( + , F ) C_ RR /\ ran seq 1 ( + , F ) =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. ran seq 1 ( + , F ) z <_ x ) -> sup ( ran seq 1 ( + , F ) , RR , < ) e. RR )
70	14, 22, 68, 69	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> -> sup ( ran seq 1 ( + , F ) , RR , < ) e. RR )
71		2rp 11837	. . . . . 6 |- 2 e. RR+
72		rpreccl 11857	. . . . . 6 |- ( 2 e. RR+ -> ( 1 / 2 ) e. RR+ )
73	71, 72	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 1 / 2 ) e. RR+
74		ltsubrp 11866	. . . . 5 |- ( ( sup ( ran seq 1 ( + , F ) , RR , < ) e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR+ ) -> ( sup ( ran seq 1 ( + , F ) , RR , < ) - ( 1 / 2 ) ) < sup ( ran seq 1 ( + , F ) , RR , < ) )
75	70, 73, 74	sylancl 694	. . . 4 |- ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> -> ( sup ( ran seq 1 ( + , F ) , RR , < ) - ( 1 / 2 ) ) < sup ( ran seq 1 ( + , F ) , RR , < ) )
76		halfre 11246	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) e. RR
77		resubcl 10345	. . . . . 6 |- ( ( sup ( ran seq 1 ( + , F ) , RR , < ) e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( sup ( ran seq 1 ( + , F ) , RR , < ) - ( 1 / 2 ) ) e. RR )
78	70, 76, 77	sylancl 694	. . . . 5 |- ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> -> ( sup ( ran seq 1 ( + , F ) , RR , < ) - ( 1 / 2 ) ) e. RR )
79		suprlub 10987	. . . . 5 |- ( ( ( ran seq 1 ( + , F ) C_ RR /\ ran seq 1 ( + , F ) =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. ran seq 1 ( + , F ) z <_ x ) /\ ( sup ( ran seq 1 ( + , F ) , RR , < ) - ( 1 / 2 ) ) e. RR ) -> ( ( sup ( ran seq 1 ( + , F ) , RR , < ) - ( 1 / 2 ) ) < sup ( ran seq 1 ( + , F ) , RR , < ) <-> E. y e. ran seq 1 ( + , F ) ( sup ( ran seq 1 ( + , F ) , RR , < ) - ( 1 / 2 ) ) < y ) )
80	14, 22, 68, 78, 79	syl31anc 1329	. . . 4 |- ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> -> ( ( sup ( ran seq 1 ( + , F ) , RR , < ) - ( 1 / 2 ) ) < sup ( ran seq 1 ( + , F ) , RR , < ) <-> E. y e. ran seq 1 ( + , F ) ( sup ( ran seq 1 ( + , F ) , RR , < ) - ( 1 / 2 ) ) < y ) )
81	75, 80	mpbid 222	. . 3 |- ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> -> E. y e. ran seq 1 ( + , F ) ( sup ( ran seq 1 ( + , F ) , RR , < ) - ( 1 / 2 ) ) < y )
82		breq2 4657	. . . . 5 |- ( y = ( seq 1 ( + , F ) ` k ) -> ( ( sup ( ran seq 1 ( + , F ) , RR , < ) - ( 1 / 2 ) ) < y <-> ( sup ( ran seq 1 ( + , F ) , RR , < ) - ( 1 / 2 ) ) < ( seq 1 ( + , F ) ` k ) ) )
83	82	rexrn 6361	. . . 4 |- ( seq 1 ( + , F ) Fn NN -> ( E. y e. ran seq 1 ( + , F ) ( sup ( ran seq 1 ( + , F ) , RR , < ) - ( 1 / 2 ) ) < y <-> E. k e. NN ( sup ( ran seq 1 ( + , F ) , RR , < ) - ( 1 / 2 ) ) < ( seq 1 ( + , F ) ` k ) ) )
84	12, 63, 83	mp2b 10	. . 3 |- ( E. y e. ran seq 1 ( + , F ) ( sup ( ran seq 1 ( + , F ) , RR , < ) - ( 1 / 2 ) ) < y <-> E. k e. NN ( sup ( ran seq 1 ( + , F ) , RR , < ) - ( 1 / 2 ) ) < ( seq 1 ( + , F ) ` k ) )
85	81, 84	sylib 208	. 2 |- ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> -> E. k e. NN ( sup ( ran seq 1 ( + , F ) , RR , < ) - ( 1 / 2 ) ) < ( seq 1 ( + , F ) ` k ) )
86		2re 11090	. . . . . 6 |- 2 e. RR
87		2nn 11185	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
88		nnmulcl 11043	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. NN /\ k e. NN ) -> ( 2 x. k ) e. NN )
89	87, 29, 88	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( 2 x. k ) e. NN )
90	89	peano2nnd 11037	. . . . . . 7 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN )
91	90	nnnn0d 11351	. . . . . 6 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN0 )
92		reexpcl 12877	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. RR )
93	86, 91, 92	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( 2 ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. RR )
94	93	ltnrd 10171	. . . 4 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> -. ( 2 ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) < ( 2 ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
95	29	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) /\ sum_ j e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) < ( 1 / 2 ) ) -> k e. NN )
96		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
97	96	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
98	97	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . 10 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN0 )
99		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. NN /\ ( k + 1 ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( k + 1 ) ) e. NN )
100	87, 98, 99	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( 2 ^ ( k + 1 ) ) e. NN )
101	100	nnsqcld 13029	. . . . . . . 8 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ^ 2 ) e. NN )
102	101	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) /\ sum_ j e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) < ( 1 / 2 ) ) -> ( ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ^ 2 ) e. NN )
103		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( p = w -> ( p || r <-> w || r ) )
104	103	notbid 308	. . . . . . . . . 10 |- ( p = w -> ( -. p || r <-> -. w || r ) )
105	104	cbvralv 3171	. . . . . . . . 9 |- ( A. p e. ( Prime \ ( 1 ... k ) ) -. p || r <-> A. w e. ( Prime \ ( 1 ... k ) ) -. w || r )
106		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = n -> ( w || r <-> w || n ) )
107	106	notbid 308	. . . . . . . . . 10 |- ( r = n -> ( -. w || r <-> -. w || n ) )
108	107	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( r = n -> ( A. w e. ( Prime \ ( 1 ... k ) ) -. w || r <-> A. w e. ( Prime \ ( 1 ... k ) ) -. w || n ) )
109	105, 108	syl5bb 272	. . . . . . . 8 |- ( r = n -> ( A. p e. ( Prime \ ( 1 ... k ) ) -. p || r <-> A. w e. ( Prime \ ( 1 ... k ) ) -. w || n ) )
110	109	cbvrabv 3199	. . . . . . 7 |- { r e. ( 1 ... ( ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ^ 2 ) ) | A. p e. ( Prime \ ( 1 ... k ) ) -. p || r } = { n e. ( 1 ... ( ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ^ 2 ) ) | A. w e. ( Prime \ ( 1 ... k ) ) -. w || n }
111		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) /\ sum_ j e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) < ( 1 / 2 ) ) -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )
112		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( m = j -> ( m e. Prime <-> j e. Prime ) )
113		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( m = j -> ( 1 / m ) = ( 1 / j ) )
114	112, 113	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . 9 |- ( m = j -> if ( m e. Prime , ( 1 / m ) , 0 ) = if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) )
115	114	cbvsumv 14426	. . . . . . . 8 |- sum_ m e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) if ( m e. Prime , ( 1 / m ) , 0 ) = sum_ j e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 )
116		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) /\ sum_ j e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) < ( 1 / 2 ) ) -> sum_ j e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) < ( 1 / 2 ) )
117	115, 116	syl5eqbr 4688	. . . . . . 7 |- ( ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) /\ sum_ j e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) < ( 1 / 2 ) ) -> sum_ m e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) if ( m e. Prime , ( 1 / m ) , 0 ) < ( 1 / 2 ) )
118		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( w e. NN |-> { n e. ( 1 ... ( ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ^ 2 ) ) | ( w e. Prime /\ w || n ) } ) = ( w e. NN |-> { n e. ( 1 ... ( ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ^ 2 ) ) | ( w e. Prime /\ w || n ) } )
119	8, 95, 102, 110, 111, 117, 118	prmreclem5 15624	. . . . . 6 |- ( ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) /\ sum_ j e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) < ( 1 / 2 ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ^ 2 ) / 2 ) < ( ( 2 ^ k ) x. ( sqr ` ( ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ^ 2 ) ) ) )
120	119	ex 450	. . . . 5 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( sum_ j e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) < ( 1 / 2 ) -> ( ( ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ^ 2 ) / 2 ) < ( ( 2 ^ k ) x. ( sqr ` ( ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
121		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( k + 1 ) )
122	97	nnzd 11481	. . . . . . . . 9 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
123		eluznn 11758	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k + 1 ) e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) ) -> j e. NN )
124	97, 123	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) ) -> j e. NN )
125	124, 41	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) ) -> ( F ` j ) = if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) )
126	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) ) -> if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) e. RR )
127		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )
128	41	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) = if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) )
129	39	recni 10052	. . . . . . . . . . . . 13 |- if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) e. CC
130	129	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) /\ j e. NN ) -> if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) e. CC )
131	128, 130	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) e. CC )
132	1, 97, 131	iserex 14387	. . . . . . . . . 10 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> <-> seq ( k + 1 ) ( + , F ) e. dom ~~> ) )
133	127, 132	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> seq ( k + 1 ) ( + , F ) e. dom ~~> )
134	121, 122, 125, 126, 133	isumrecl 14496	. . . . . . . 8 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> sum_ j e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) e. RR )
135	76	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
136		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 1 ... k ) -> j e. NN )
137	136	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> j e. NN )
138	137, 41	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> ( F ` j ) = if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) )
139	29, 1	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
140	129	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) /\ j e. ( 1 ... k ) ) -> if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) e. CC )
141	138, 139, 140	fsumser 14461	. . . . . . . . 9 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> sum_ j e. ( 1 ... k ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) = ( seq 1 ( + , F ) ` k ) )
142	141, 27	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> sum_ j e. ( 1 ... k ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) e. RR )
143	134, 135, 142	ltadd2d 10193	. . . . . . 7 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( sum_ j e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) < ( 1 / 2 ) <-> ( sum_ j e. ( 1 ... k ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) + sum_ j e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) ) < ( sum_ j e. ( 1 ... k ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
144	1, 121, 97, 128, 130, 127	isumsplit 14572	. . . . . . . . 9 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> sum_ j e. NN if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) = ( sum_ j e. ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) + sum_ j e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) ) )
145		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> k e. CC )
146	145	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> k e. CC )
147		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
148		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
149	146, 147, 148	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
150	149	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... k ) )
151	150	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . 10 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> sum_ j e. ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) = sum_ j e. ( 1 ... k ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) )
152	151	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( sum_ j e. ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) + sum_ j e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) ) = ( sum_ j e. ( 1 ... k ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) + sum_ j e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) ) )
153	144, 152	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> sum_ j e. NN if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) = ( sum_ j e. ( 1 ... k ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) + sum_ j e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) ) )
154	153	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( sum_ j e. NN if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) < ( sum_ j e. ( 1 ... k ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) + ( 1 / 2 ) ) <-> ( sum_ j e. ( 1 ... k ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) + sum_ j e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) ) < ( sum_ j e. ( 1 ... k ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
155	143, 154	bitr4d 271	. . . . . 6 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( sum_ j e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) < ( 1 / 2 ) <-> sum_ j e. NN if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) < ( sum_ j e. ( 1 ... k ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
156		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- seq 1 ( + , F ) = seq 1 ( + , F )
157	1, 156, 23, 42, 43, 54, 62	isumsup 14579	. . . . . . . . 9 |- ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> -> sum_ j e. NN if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) = sup ( ran seq 1 ( + , F ) , RR , < ) )
158	157, 70	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> -> sum_ j e. NN if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) e. RR )
159	158	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> sum_ j e. NN if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) e. RR )
160	159, 135, 142	ltsubaddd 10623	. . . . . 6 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( ( sum_ j e. NN if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) - ( 1 / 2 ) ) < sum_ j e. ( 1 ... k ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) <-> sum_ j e. NN if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) < ( sum_ j e. ( 1 ... k ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
161	157	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> sum_ j e. NN if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) = sup ( ran seq 1 ( + , F ) , RR , < ) )
162	161	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( sum_ j e. NN if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) - ( 1 / 2 ) ) = ( sup ( ran seq 1 ( + , F ) , RR , < ) - ( 1 / 2 ) ) )
163	162, 141	breq12d 4666	. . . . . 6 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( ( sum_ j e. NN if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) - ( 1 / 2 ) ) < sum_ j e. ( 1 ... k ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) <-> ( sup ( ran seq 1 ( + , F ) , RR , < ) - ( 1 / 2 ) ) < ( seq 1 ( + , F ) ` k ) ) )
164	155, 160, 163	3bitr2d 296	. . . . 5 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( sum_ j e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) if ( j e. Prime , ( 1 / j ) , 0 ) < ( 1 / 2 ) <-> ( sup ( ran seq 1 ( + , F ) , RR , < ) - ( 1 / 2 ) ) < ( seq 1 ( + , F ) ` k ) ) )
165		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. CC
166	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> 2 e. CC )
167	147	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> 1 e. CC )
168	166, 146, 167	adddid 10064	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( 2 x. ( k + 1 ) ) = ( ( 2 x. k ) + ( 2 x. 1 ) ) )
169	97	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. CC )
170		mulcom 10022	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k + 1 ) e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( ( k + 1 ) x. 2 ) = ( 2 x. ( k + 1 ) ) )
171	169, 165, 170	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( ( k + 1 ) x. 2 ) = ( 2 x. ( k + 1 ) ) )
172	89	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( 2 x. k ) e. CC )
173	172, 167, 167	addassd 10062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. k ) + ( 1 + 1 ) ) )
174	147	2timesi 11147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 x. 1 ) = ( 1 + 1 )
175	174	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 x. k ) + ( 2 x. 1 ) ) = ( ( 2 x. k ) + ( 1 + 1 ) )
176	173, 175	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. k ) + ( 2 x. 1 ) ) )
177	168, 171, 176	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( ( k + 1 ) x. 2 ) = ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) + 1 ) )
178	177	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( 2 ^ ( ( k + 1 ) x. 2 ) ) = ( 2 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) + 1 ) ) )
179		2nn0 11309	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN0
180	179	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> 2 e. NN0 )
181	166, 180, 98	expmuld 13011	. . . . . . . . 9 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( 2 ^ ( ( k + 1 ) x. 2 ) ) = ( ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ^ 2 ) )
182		expp1 12867	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. CC /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) + 1 ) ) = ( ( 2 ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. 2 ) )
183	165, 91, 182	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( 2 ^ ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) + 1 ) ) = ( ( 2 ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. 2 ) )
184	178, 181, 183	3eqtr3d 2664	. . . . . . . 8 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. 2 ) )
185	184	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( ( ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ^ 2 ) / 2 ) = ( ( ( 2 ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. 2 ) / 2 ) )
186		expcl 12878	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. CC /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. CC )
187	165, 91, 186	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( 2 ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. CC )
188		2ne0 11113	. . . . . . . . 9 |- 2 =/= 0
189		divcan4 10712	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) -> ( ( ( 2 ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. 2 ) / 2 ) = ( 2 ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
190	165, 188, 189	mp3an23 1416	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) e. CC -> ( ( ( 2 ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. 2 ) / 2 ) = ( 2 ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
191	187, 190	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( ( ( 2 ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. 2 ) / 2 ) = ( 2 ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
192	185, 191	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( ( ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ^ 2 ) / 2 ) = ( 2 ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
193		nnnn0 11299	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
194	193	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> k e. NN0 )
195	166, 98, 194	expaddd 13010	. . . . . . 7 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( 2 ^ ( k + ( k + 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ k ) x. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) )
196	146	2timesd 11275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( 2 x. k ) = ( k + k ) )
197	196	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( ( k + k ) + 1 ) )
198	146, 146, 167	addassd 10062	. . . . . . . . 9 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( ( k + k ) + 1 ) = ( k + ( k + 1 ) ) )
199	197, 198	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( k + ( k + 1 ) ) )
200	199	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( 2 ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( 2 ^ ( k + ( k + 1 ) ) ) )
201	100	nnrpd 11870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( 2 ^ ( k + 1 ) ) e. RR+ )
202	201	rprege0d 11879	. . . . . . . . 9 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( k + 1 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) )
203		sqrtsq 14010	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 ^ ( k + 1 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) -> ( sqr ` ( ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 ^ ( k + 1 ) ) )
204	202, 203	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( sqr ` ( ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 ^ ( k + 1 ) ) )
205	204	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( ( 2 ^ k ) x. ( sqr ` ( ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( 2 ^ k ) x. ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) )
206	195, 200, 205	3eqtr4rd 2667	. . . . . 6 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( ( 2 ^ k ) x. ( sqr ` ( ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ^ 2 ) ) ) = ( 2 ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
207	192, 206	breq12d 4666	. . . . 5 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ^ 2 ) / 2 ) < ( ( 2 ^ k ) x. ( sqr ` ( ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ^ 2 ) ) ) <-> ( 2 ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) < ( 2 ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
208	120, 164, 207	3imtr3d 282	. . . 4 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> ( ( sup ( ran seq 1 ( + , F ) , RR , < ) - ( 1 / 2 ) ) < ( seq 1 ( + , F ) ` k ) -> ( 2 ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) < ( 2 ^ ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) ) )
209	94, 208	mtod 189	. . 3 |- ( ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ k e. NN ) -> -. ( sup ( ran seq 1 ( + , F ) , RR , < ) - ( 1 / 2 ) ) < ( seq 1 ( + , F ) ` k ) )
210	209	nrexdv 3001	. 2 |- ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> -> -. E. k e. NN ( sup ( ran seq 1 ( + , F ) , RR , < ) - ( 1 / 2 ) ) < ( seq 1 ( + , F ) ` k ) )
211	85, 210	pm2.65i 185	1 |- -. seq 1 ( + , F ) e. dom ~~>

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   seqcseq 12801   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973   ~~> cli 14215   sum_csu 14416   || cdvds 14983   Primecprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542

This theorem is referenced by:  prmrec  15626