Theorem rrnequiv 33634

Description: The supremum metric on RR ^ I is equivalent to the Rn metric. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrnequiv.y	|- Y = ( (ℂfld ↾s RR ) ^s I )
rrnequiv.d	|- D = ( dist ` Y )
rrnequiv.1	|- X = ( RR ^m I )
rrnequiv.i	|- ( ph -> I e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
rrnequiv	|- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( ( F D G ) <_ ( F ( Rn ` I ) G ) /\ ( F ( Rn ` I ) G ) <_ ( ( sqr ` ( # ` I ) ) x. ( F D G ) ) ) )

Proof of Theorem rrnequiv

Dummy variables k r z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrnequiv.d	. . . . . 6 |- D = ( dist ` Y )
2		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- (ℂfld ↾s RR ) e. _V
3		rrnequiv.i	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> I e. Fin )
4	3	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> I e. Fin )
5		rrnequiv.y	. . . . . . . . 9 |- Y = ( (ℂfld ↾s RR ) ^s I )
6		reex 10027	. . . . . . . . . 10 |- RR e. _V
7		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- (ℂfld ↾s RR ) = (ℂfld ↾s RR )
8		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- (Scalar ` ℂfld ) = (Scalar ` ℂfld )
9	7, 8	resssca 16031	. . . . . . . . . 10 |- ( RR e. _V -> (Scalar ` ℂfld ) = (Scalar ` (ℂfld ↾s RR ) ) )
10	6, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- (Scalar ` ℂfld ) = (Scalar ` (ℂfld ↾s RR ) )
11	5, 10	pwsval 16146	. . . . . . . 8 |- ( ( (ℂfld ↾s RR ) e. _V /\ I e. Fin ) -> Y = ( (Scalar ` ℂfld ) X_s ( I X. { (ℂfld ↾s RR ) } ) ) )
12	2, 4, 11	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> Y = ( (Scalar ` ℂfld ) X_s ( I X. { (ℂfld ↾s RR ) } ) ) )
13	12	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( dist ` Y ) = ( dist ` ( (Scalar ` ℂfld ) X_s ( I X. { (ℂfld ↾s RR ) } ) ) ) )
14	1, 13	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> D = ( dist ` ( (Scalar ` ℂfld ) X_s ( I X. { (ℂfld ↾s RR ) } ) ) ) )
15	14	oveqd 6667	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( F D G ) = ( F ( dist ` ( (Scalar ` ℂfld ) X_s ( I X. { (ℂfld ↾s RR ) } ) ) ) G ) )
16		fconstmpt 5163	. . . . . 6 |- ( I X. { (ℂfld ↾s RR ) } ) = ( k e. I |-> (ℂfld ↾s RR ) )
17	16	oveq2i 6661	. . . . 5 |- ( (Scalar ` ℂfld ) X_s ( I X. { (ℂfld ↾s RR ) } ) ) = ( (Scalar ` ℂfld ) X_s ( k e. I |-> (ℂfld ↾s RR ) ) )
18		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` ( (Scalar ` ℂfld ) X_s ( I X. { (ℂfld ↾s RR ) } ) ) ) = ( Base ` ( (Scalar ` ℂfld ) X_s ( I X. { (ℂfld ↾s RR ) } ) ) )
19		fvexd 6203	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> (Scalar ` ℂfld ) e. _V )
20	2	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ k e. I ) -> (ℂfld ↾s RR ) e. _V )
21	20	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> A. k e. I (ℂfld ↾s RR ) e. _V )
22		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> F e. X )
23		rrnequiv.1	. . . . . . 7 |- X = ( RR ^m I )
24		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . 11 |- RR C_ CC
25		cnfldbas 19750	. . . . . . . . . . . 12 |- CC = ( Base ` ℂfld )
26	7, 25	ressbas2 15931	. . . . . . . . . . 11 |- ( RR C_ CC -> RR = ( Base ` (ℂfld ↾s RR ) ) )
27	24, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- RR = ( Base ` (ℂfld ↾s RR ) )
28	5, 27	pwsbas 16147	. . . . . . . . 9 |- ( ( (ℂfld ↾s RR ) e. _V /\ I e. Fin ) -> ( RR ^m I ) = ( Base ` Y ) )
29	2, 4, 28	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( RR ^m I ) = ( Base ` Y ) )
30	12	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( Base ` Y ) = ( Base ` ( (Scalar ` ℂfld ) X_s ( I X. { (ℂfld ↾s RR ) } ) ) ) )
31	29, 30	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( RR ^m I ) = ( Base ` ( (Scalar ` ℂfld ) X_s ( I X. { (ℂfld ↾s RR ) } ) ) ) )
32	23, 31	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> X = ( Base ` ( (Scalar ` ℂfld ) X_s ( I X. { (ℂfld ↾s RR ) } ) ) ) )
33	22, 32	eleqtrd 2703	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> F e. ( Base ` ( (Scalar ` ℂfld ) X_s ( I X. { (ℂfld ↾s RR ) } ) ) ) )
34		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> G e. X )
35	34, 32	eleqtrd 2703	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> G e. ( Base ` ( (Scalar ` ℂfld ) X_s ( I X. { (ℂfld ↾s RR ) } ) ) ) )
36		cnfldds 19756	. . . . . . . 8 |- ( abs o. - ) = ( dist ` ℂfld )
37	7, 36	ressds 16073	. . . . . . 7 |- ( RR e. _V -> ( abs o. - ) = ( dist ` (ℂfld ↾s RR ) ) )
38	6, 37	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( abs o. - ) = ( dist ` (ℂfld ↾s RR ) )
39	38	reseq1i 5392	. . . . 5 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) = ( ( dist ` (ℂfld ↾s RR ) ) |` ( RR X. RR ) )
40		eqid 2622	. . . . 5 |- ( dist ` ( (Scalar ` ℂfld ) X_s ( I X. { (ℂfld ↾s RR ) } ) ) ) = ( dist ` ( (Scalar ` ℂfld ) X_s ( I X. { (ℂfld ↾s RR ) } ) ) )
41	17, 18, 19, 4, 21, 33, 35, 27, 39, 40	prdsdsval3 16145	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( F ( dist ` ( (Scalar ` ℂfld ) X_s ( I X. { (ℂfld ↾s RR ) } ) ) ) G ) = sup ( ( ran ( k e. I |-> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
42	15, 41	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( F D G ) = sup ( ( ran ( k e. I |-> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
43		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
44	23, 43	rrndstprj1 33629	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. Fin /\ k e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) <_ ( F ( Rn ` I ) G ) )
45	44	an32s 846	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. Fin /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ k e. I ) -> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) <_ ( F ( Rn ` I ) G ) )
46	3, 45	sylanl1 682	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ k e. I ) -> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) <_ ( F ( Rn ` I ) G ) )
47	46	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> A. k e. I ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) <_ ( F ( Rn ` I ) G ) )
48		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) e. _V
49	48	rgenw 2924	. . . . . . 7 |- A. k e. I ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) e. _V
50		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( k e. I |-> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) ) = ( k e. I |-> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) )
51		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( z = ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) -> ( z <_ ( F ( Rn ` I ) G ) <-> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) <_ ( F ( Rn ` I ) G ) ) )
52	50, 51	ralrnmpt 6368	. . . . . . 7 |- ( A. k e. I ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) e. _V -> ( A. z e. ran ( k e. I |-> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) ) z <_ ( F ( Rn ` I ) G ) <-> A. k e. I ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) <_ ( F ( Rn ` I ) G ) ) )
53	49, 52	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( A. z e. ran ( k e. I |-> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) ) z <_ ( F ( Rn ` I ) G ) <-> A. k e. I ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) <_ ( F ( Rn ` I ) G ) )
54	47, 53	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> A. z e. ran ( k e. I |-> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) ) z <_ ( F ( Rn ` I ) G ) )
55	23	rrnmet 33628	. . . . . . . . 9 |- ( I e. Fin -> ( Rn ` I ) e. ( Met ` X ) )
56	4, 55	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( Rn ` I ) e. ( Met ` X ) )
57		metge0 22150	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Rn ` I ) e. ( Met ` X ) /\ F e. X /\ G e. X ) -> 0 <_ ( F ( Rn ` I ) G ) )
58	56, 22, 34, 57	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> 0 <_ ( F ( Rn ` I ) G ) )
59		elsni 4194	. . . . . . . 8 |- ( z e. { 0 } -> z = 0 )
60	59	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( z e. { 0 } -> ( z <_ ( F ( Rn ` I ) G ) <-> 0 <_ ( F ( Rn ` I ) G ) ) )
61	58, 60	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( z e. { 0 } -> z <_ ( F ( Rn ` I ) G ) ) )
62	61	ralrimiv 2965	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> A. z e. { 0 } z <_ ( F ( Rn ` I ) G ) )
63		ralunb 3794	. . . . 5 |- ( A. z e. ( ran ( k e. I |-> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) ) u. { 0 } ) z <_ ( F ( Rn ` I ) G ) <-> ( A. z e. ran ( k e. I |-> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) ) z <_ ( F ( Rn ` I ) G ) /\ A. z e. { 0 } z <_ ( F ( Rn ` I ) G ) ) )
64	54, 62, 63	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> A. z e. ( ran ( k e. I |-> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) ) u. { 0 } ) z <_ ( F ( Rn ` I ) G ) )
65	17, 18, 19, 4, 21, 27, 33	prdsbascl 16143	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> A. k e. I ( F ` k ) e. RR )
66	65	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ k e. I ) -> ( F ` k ) e. RR )
67	17, 18, 19, 4, 21, 27, 35	prdsbascl 16143	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> A. k e. I ( G ` k ) e. RR )
68	67	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ k e. I ) -> ( G ` k ) e. RR )
69	43	remet 22593	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( Met ` RR )
70		metcl 22137	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( Met ` RR ) /\ ( F ` k ) e. RR /\ ( G ` k ) e. RR ) -> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) e. RR )
71	69, 70	mp3an1 1411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` k ) e. RR /\ ( G ` k ) e. RR ) -> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) e. RR )
72	66, 68, 71	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ k e. I ) -> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) e. RR )
73	72, 50	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( k e. I |-> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) ) : I --> RR )
74		frn 6053	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. I |-> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) ) : I --> RR -> ran ( k e. I |-> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) ) C_ RR )
75	73, 74	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ran ( k e. I |-> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) ) C_ RR )
76		ressxr 10083	. . . . . . 7 |- RR C_ RR*
77	75, 76	syl6ss 3615	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ran ( k e. I |-> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) ) C_ RR* )
78		0xr 10086	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR*
79	78	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> 0 e. RR* )
80	79	snssd 4340	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> { 0 } C_ RR* )
81	77, 80	unssd 3789	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( ran ( k e. I |-> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
82		metcl 22137	. . . . . . 7 |- ( ( ( Rn ` I ) e. ( Met ` X ) /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( F ( Rn ` I ) G ) e. RR )
83	56, 22, 34, 82	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( F ( Rn ` I ) G ) e. RR )
84	76, 83	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( F ( Rn ` I ) G ) e. RR* )
85		supxrleub 12156	. . . . 5 |- ( ( ( ran ( k e. I |-> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* /\ ( F ( Rn ` I ) G ) e. RR* ) -> ( sup ( ( ran ( k e. I |-> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) <_ ( F ( Rn ` I ) G ) <-> A. z e. ( ran ( k e. I |-> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) ) u. { 0 } ) z <_ ( F ( Rn ` I ) G ) ) )
86	81, 84, 85	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( sup ( ( ran ( k e. I |-> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) <_ ( F ( Rn ` I ) G ) <-> A. z e. ( ran ( k e. I |-> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) ) u. { 0 } ) z <_ ( F ( Rn ` I ) G ) ) )
87	64, 86	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> sup ( ( ran ( k e. I |-> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) <_ ( F ( Rn ` I ) G ) )
88	42, 87	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( F D G ) <_ ( F ( Rn ` I ) G ) )
89		rzal 4073	. . . . . . 7 |- ( I = (/) -> A. k e. I ( F ` k ) = ( G ` k ) )
90	22, 23	syl6eleq 2711	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> F e. ( RR ^m I ) )
91		elmapi 7879	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( RR ^m I ) -> F : I --> RR )
92		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( F : I --> RR -> F Fn I )
93	90, 91, 92	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> F Fn I )
94	34, 23	syl6eleq 2711	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> G e. ( RR ^m I ) )
95		elmapi 7879	. . . . . . . . 9 |- ( G e. ( RR ^m I ) -> G : I --> RR )
96		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( G : I --> RR -> G Fn I )
97	94, 95, 96	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> G Fn I )
98		eqfnfv 6311	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn I /\ G Fn I ) -> ( F = G <-> A. k e. I ( F ` k ) = ( G ` k ) ) )
99	93, 97, 98	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( F = G <-> A. k e. I ( F ` k ) = ( G ` k ) ) )
100	89, 99	syl5ibr 236	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( I = (/) -> F = G ) )
101	100	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ I = (/) ) -> F = G )
102	101	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ I = (/) ) -> ( F ( Rn ` I ) G ) = ( G ( Rn ` I ) G ) )
103		met0 22148	. . . . . . 7 |- ( ( ( Rn ` I ) e. ( Met ` X ) /\ G e. X ) -> ( G ( Rn ` I ) G ) = 0 )
104	56, 34, 103	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( G ( Rn ` I ) G ) = 0 )
105		hashcl 13147	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. Fin -> ( # ` I ) e. NN0 )
106	4, 105	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( # ` I ) e. NN0 )
107	106	nn0red 11352	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( # ` I ) e. RR )
108	106	nn0ge0d 11354	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> 0 <_ ( # ` I ) )
109	107, 108	resqrtcld 14156	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( sqr ` ( # ` I ) ) e. RR )
110	5, 1, 23	repwsmet 33633	. . . . . . . . 9 |- ( I e. Fin -> D e. ( Met ` X ) )
111	4, 110	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> D e. ( Met ` X ) )
112		metcl 22137	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( F D G ) e. RR )
113	111, 22, 34, 112	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( F D G ) e. RR )
114	107, 108	sqrtge0d 14159	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> 0 <_ ( sqr ` ( # ` I ) ) )
115		metge0 22150	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ F e. X /\ G e. X ) -> 0 <_ ( F D G ) )
116	111, 22, 34, 115	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> 0 <_ ( F D G ) )
117	109, 113, 114, 116	mulge0d 10604	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> 0 <_ ( ( sqr ` ( # ` I ) ) x. ( F D G ) ) )
118	104, 117	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( G ( Rn ` I ) G ) <_ ( ( sqr ` ( # ` I ) ) x. ( F D G ) ) )
119	118	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ I = (/) ) -> ( G ( Rn ` I ) G ) <_ ( ( sqr ` ( # ` I ) ) x. ( F D G ) ) )
120	102, 119	eqbrtrd 4675	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ I = (/) ) -> ( F ( Rn ` I ) G ) <_ ( ( sqr ` ( # ` I ) ) x. ( F D G ) ) )
121	83	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> ( F ( Rn ` I ) G ) e. RR )
122	109, 113	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( ( sqr ` ( # ` I ) ) x. ( F D G ) ) e. RR )
123	122	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> ( ( sqr ` ( # ` I ) ) x. ( F D G ) ) e. RR )
124		rpre 11839	. . . . . . . . 9 |- ( r e. RR+ -> r e. RR )
125	124	ad2antll 765	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> r e. RR )
126	123, 125	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> ( ( ( sqr ` ( # ` I ) ) x. ( F D G ) ) + r ) e. RR )
127	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> I e. Fin )
128		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> I =/= (/) )
129		eldifsn 4317	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. ( Fin \ { (/) } ) <-> ( I e. Fin /\ I =/= (/) ) )
130	127, 128, 129	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> I e. ( Fin \ { (/) } ) )
131	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> F e. X )
132	34	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> G e. X )
133	113	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> ( F D G ) e. RR )
134		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> r e. RR+ )
135		hashnncl 13157	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( I e. Fin -> ( ( # ` I ) e. NN <-> I =/= (/) ) )
136	127, 135	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> ( ( # ` I ) e. NN <-> I =/= (/) ) )
137	128, 136	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> ( # ` I ) e. NN )
138	137	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> ( # ` I ) e. RR+ )
139	138	rpsqrtcld 14150	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> ( sqr ` ( # ` I ) ) e. RR+ )
140	134, 139	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> ( r / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) e. RR+ )
141	140	rpred 11872	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> ( r / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) e. RR )
142	133, 141	readdcld 10069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> ( ( F D G ) + ( r / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) ) e. RR )
143		0red 10041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> 0 e. RR )
144	116	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> 0 <_ ( F D G ) )
145	133, 140	ltaddrpd 11905	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> ( F D G ) < ( ( F D G ) + ( r / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) ) )
146	143, 133, 142, 144, 145	lelttrd 10195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> 0 < ( ( F D G ) + ( r / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) ) )
147	142, 146	elrpd 11869	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> ( ( F D G ) + ( r / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) ) e. RR+ )
148	72	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) /\ k e. I ) -> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) e. RR )
149	133	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) /\ k e. I ) -> ( F D G ) e. RR )
150	142	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) /\ k e. I ) -> ( ( F D G ) + ( r / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) ) e. RR )
151	81	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) /\ k e. I ) -> ( ran ( k e. I |-> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
152		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran ( k e. I |-> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) ) C_ ( ran ( k e. I |-> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) ) u. { 0 } )
153		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) /\ k e. I ) -> k e. I )
154	50	elrnmpt1 5374	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. I /\ ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) e. _V ) -> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) e. ran ( k e. I |-> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) ) )
155	153, 48, 154	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) /\ k e. I ) -> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) e. ran ( k e. I |-> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) ) )
156	152, 155	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) /\ k e. I ) -> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) e. ( ran ( k e. I |-> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) ) u. { 0 } ) )
157		supxrub 12154	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ran ( k e. I |-> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* /\ ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) e. ( ran ( k e. I |-> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) ) u. { 0 } ) ) -> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) <_ sup ( ( ran ( k e. I |-> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
158	151, 156, 157	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) /\ k e. I ) -> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) <_ sup ( ( ran ( k e. I |-> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
159	42	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) /\ k e. I ) -> ( F D G ) = sup ( ( ran ( k e. I |-> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
160	158, 159	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) /\ k e. I ) -> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) <_ ( F D G ) )
161	145	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) /\ k e. I ) -> ( F D G ) < ( ( F D G ) + ( r / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) ) )
162	148, 149, 150, 160, 161	lelttrd 10195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) /\ k e. I ) -> ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) < ( ( F D G ) + ( r / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) ) )
163	162	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> A. k e. I ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) < ( ( F D G ) + ( r / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) ) )
164	23, 43	rrndstprj2 33630	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. ( Fin \ { (/) } ) /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( ( ( F D G ) + ( r / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) ) e. RR+ /\ A. k e. I ( ( F ` k ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( G ` k ) ) < ( ( F D G ) + ( r / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) ) ) ) -> ( F ( Rn ` I ) G ) < ( ( ( F D G ) + ( r / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) ) x. ( sqr ` ( # ` I ) ) ) )
165	130, 131, 132, 147, 163, 164	syl32anc 1334	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> ( F ( Rn ` I ) G ) < ( ( ( F D G ) + ( r / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) ) x. ( sqr ` ( # ` I ) ) ) )
166	133	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> ( F D G ) e. CC )
167	141	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> ( r / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) e. CC )
168	109	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> ( sqr ` ( # ` I ) ) e. RR )
169	168	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> ( sqr ` ( # ` I ) ) e. CC )
170	166, 167, 169	adddird 10065	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> ( ( ( F D G ) + ( r / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) ) x. ( sqr ` ( # ` I ) ) ) = ( ( ( F D G ) x. ( sqr ` ( # ` I ) ) ) + ( ( r / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) x. ( sqr ` ( # ` I ) ) ) ) )
171	166, 169	mulcomd 10061	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> ( ( F D G ) x. ( sqr ` ( # ` I ) ) ) = ( ( sqr ` ( # ` I ) ) x. ( F D G ) ) )
172	125	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> r e. CC )
173	139	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> ( sqr ` ( # ` I ) ) =/= 0 )
174	172, 169, 173	divcan1d 10802	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> ( ( r / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) x. ( sqr ` ( # ` I ) ) ) = r )
175	171, 174	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> ( ( ( F D G ) x. ( sqr ` ( # ` I ) ) ) + ( ( r / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) x. ( sqr ` ( # ` I ) ) ) ) = ( ( ( sqr ` ( # ` I ) ) x. ( F D G ) ) + r ) )
176	170, 175	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> ( ( ( F D G ) + ( r / ( sqr ` ( # ` I ) ) ) ) x. ( sqr ` ( # ` I ) ) ) = ( ( ( sqr ` ( # ` I ) ) x. ( F D G ) ) + r ) )
177	165, 176	breqtrd 4679	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> ( F ( Rn ` I ) G ) < ( ( ( sqr ` ( # ` I ) ) x. ( F D G ) ) + r ) )
178	121, 126, 177	ltled 10185	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ ( I =/= (/) /\ r e. RR+ ) ) -> ( F ( Rn ` I ) G ) <_ ( ( ( sqr ` ( # ` I ) ) x. ( F D G ) ) + r ) )
179	178	anassrs 680	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ I =/= (/) ) /\ r e. RR+ ) -> ( F ( Rn ` I ) G ) <_ ( ( ( sqr ` ( # ` I ) ) x. ( F D G ) ) + r ) )
180	179	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ I =/= (/) ) -> A. r e. RR+ ( F ( Rn ` I ) G ) <_ ( ( ( sqr ` ( # ` I ) ) x. ( F D G ) ) + r ) )
181		alrple 12037	. . . . . 6 |- ( ( ( F ( Rn ` I ) G ) e. RR /\ ( ( sqr ` ( # ` I ) ) x. ( F D G ) ) e. RR ) -> ( ( F ( Rn ` I ) G ) <_ ( ( sqr ` ( # ` I ) ) x. ( F D G ) ) <-> A. r e. RR+ ( F ( Rn ` I ) G ) <_ ( ( ( sqr ` ( # ` I ) ) x. ( F D G ) ) + r ) ) )
182	83, 122, 181	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( ( F ( Rn ` I ) G ) <_ ( ( sqr ` ( # ` I ) ) x. ( F D G ) ) <-> A. r e. RR+ ( F ( Rn ` I ) G ) <_ ( ( ( sqr ` ( # ` I ) ) x. ( F D G ) ) + r ) ) )
183	182	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ I =/= (/) ) -> ( ( F ( Rn ` I ) G ) <_ ( ( sqr ` ( # ` I ) ) x. ( F D G ) ) <-> A. r e. RR+ ( F ( Rn ` I ) G ) <_ ( ( ( sqr ` ( # ` I ) ) x. ( F D G ) ) + r ) ) )
184	180, 183	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ I =/= (/) ) -> ( F ( Rn ` I ) G ) <_ ( ( sqr ` ( # ` I ) ) x. ( F D G ) ) )
185	120, 184	pm2.61dane 2881	. 2 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( F ( Rn ` I ) G ) <_ ( ( sqr ` ( # ` I ) ) x. ( F D G ) ) )
186	88, 185	jca 554	1 |- ( ( ph /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( ( F D G ) <_ ( F ( Rn ` I ) G ) /\ ( F ( Rn ` I ) G ) <_ ( ( sqr ` ( # ` I ) ) x. ( F D G ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   RR+crp 11832   #chash 13117   sqrcsqrt 13973   abscabs 13974   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858  Scalarcsca 15944   distcds 15950   X__scprds 16106   ^_s cpws 16107   Metcme 19732  ℂ_fldccnfld 19746   Rncrrn 33624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-prds 16108  df-pws 16110  df-xmet 19739  df-met 19740  df-cnfld 19747  df-rrn 33625

This theorem is referenced by:  rrntotbnd  33635