Theorem sincosq3sgn 24252

Description: The signs of the sine and cosine functions in the third quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sincosq3sgn	|- ( A e. ( pi (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( sin ` A ) < 0 /\ ( cos ` A ) < 0 ) )

Proof of Theorem sincosq3sgn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 24210	. . 3 |- pi e. RR
2		3re 11094	. . . 4 |- 3 e. RR
3		halfpire 24216	. . . 4 |- ( pi / 2 ) e. RR
4	2, 3	remulcli 10054	. . 3 |- ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR
5		rexr 10085	. . . 4 |- ( pi e. RR -> pi e. RR* )
6		rexr 10085	. . . 4 |- ( ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR -> ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR* )
7		elioo2 12216	. . . 4 |- ( ( pi e. RR* /\ ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR* ) -> ( A e. ( pi (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) <-> ( A e. RR /\ pi < A /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) ) )
8	5, 6, 7	syl2an 494	. . 3 |- ( ( pi e. RR /\ ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR ) -> ( A e. ( pi (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) <-> ( A e. RR /\ pi < A /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) ) )
9	1, 4, 8	mp2an 708	. 2 |- ( A e. ( pi (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) <-> ( A e. RR /\ pi < A /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) )
10		pidiv2halves 24219	. . . . . . . . 9 |- ( ( pi / 2 ) + ( pi / 2 ) ) = pi
11	10	breq1i 4660	. . . . . . . 8 |- ( ( ( pi / 2 ) + ( pi / 2 ) ) < A <-> pi < A )
12		ltaddsub 10502	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( ( pi / 2 ) + ( pi / 2 ) ) < A <-> ( pi / 2 ) < ( A - ( pi / 2 ) ) ) )
13	3, 3, 12	mp3an12 1414	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( ( ( pi / 2 ) + ( pi / 2 ) ) < A <-> ( pi / 2 ) < ( A - ( pi / 2 ) ) ) )
14	11, 13	syl5bbr 274	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( pi < A <-> ( pi / 2 ) < ( A - ( pi / 2 ) ) ) )
15		ltsubadd 10498	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( A - ( pi / 2 ) ) < pi <-> A < ( pi + ( pi / 2 ) ) ) )
16	3, 1, 15	mp3an23 1416	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( ( A - ( pi / 2 ) ) < pi <-> A < ( pi + ( pi / 2 ) ) ) )
17		df-3 11080	. . . . . . . . . . 11 |- 3 = ( 2 + 1 )
18	17	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 |- ( 3 x. ( pi / 2 ) ) = ( ( 2 + 1 ) x. ( pi / 2 ) )
19		2cn 11091	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
20		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
21	3	recni 10052	. . . . . . . . . . 11 |- ( pi / 2 ) e. CC
22	19, 20, 21	adddiri 10051	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 + 1 ) x. ( pi / 2 ) ) = ( ( 2 x. ( pi / 2 ) ) + ( 1 x. ( pi / 2 ) ) )
23	1	recni 10052	. . . . . . . . . . . 12 |- pi e. CC
24		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 =/= 0
25	23, 19, 24	divcan2i 10768	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. ( pi / 2 ) ) = pi
26	21	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 x. ( pi / 2 ) ) = ( pi / 2 )
27	25, 26	oveq12i 6662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. ( pi / 2 ) ) + ( 1 x. ( pi / 2 ) ) ) = ( pi + ( pi / 2 ) )
28	18, 22, 27	3eqtrri 2649	. . . . . . . . 9 |- ( pi + ( pi / 2 ) ) = ( 3 x. ( pi / 2 ) )
29	28	breq2i 4661	. . . . . . . 8 |- ( A < ( pi + ( pi / 2 ) ) <-> A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) )
30	16, 29	syl6rbb 277	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) <-> ( A - ( pi / 2 ) ) < pi ) )
31	14, 30	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( ( pi < A /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) <-> ( ( pi / 2 ) < ( A - ( pi / 2 ) ) /\ ( A - ( pi / 2 ) ) < pi ) ) )
32		resubcl 10345	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( A - ( pi / 2 ) ) e. RR )
33	3, 32	mpan2 707	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( A - ( pi / 2 ) ) e. RR )
34		sincosq2sgn 24251	. . . . . . . . 9 |- ( ( A - ( pi / 2 ) ) e. ( ( pi / 2 ) (,) pi ) -> ( 0 < ( sin ` ( A - ( pi / 2 ) ) ) /\ ( cos ` ( A - ( pi / 2 ) ) ) < 0 ) )
35		rexr 10085	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( pi / 2 ) e. RR -> ( pi / 2 ) e. RR* )
36		elioo2 12216	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR* /\ pi e. RR* ) -> ( ( A - ( pi / 2 ) ) e. ( ( pi / 2 ) (,) pi ) <-> ( ( A - ( pi / 2 ) ) e. RR /\ ( pi / 2 ) < ( A - ( pi / 2 ) ) /\ ( A - ( pi / 2 ) ) < pi ) ) )
37	35, 5, 36	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( A - ( pi / 2 ) ) e. ( ( pi / 2 ) (,) pi ) <-> ( ( A - ( pi / 2 ) ) e. RR /\ ( pi / 2 ) < ( A - ( pi / 2 ) ) /\ ( A - ( pi / 2 ) ) < pi ) ) )
38	3, 1, 37	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( ( A - ( pi / 2 ) ) e. ( ( pi / 2 ) (,) pi ) <-> ( ( A - ( pi / 2 ) ) e. RR /\ ( pi / 2 ) < ( A - ( pi / 2 ) ) /\ ( A - ( pi / 2 ) ) < pi ) )
39		ancom 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 < ( sin ` ( A - ( pi / 2 ) ) ) /\ ( cos ` ( A - ( pi / 2 ) ) ) < 0 ) <-> ( ( cos ` ( A - ( pi / 2 ) ) ) < 0 /\ 0 < ( sin ` ( A - ( pi / 2 ) ) ) ) )
40	34, 38, 39	3imtr3i 280	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A - ( pi / 2 ) ) e. RR /\ ( pi / 2 ) < ( A - ( pi / 2 ) ) /\ ( A - ( pi / 2 ) ) < pi ) -> ( ( cos ` ( A - ( pi / 2 ) ) ) < 0 /\ 0 < ( sin ` ( A - ( pi / 2 ) ) ) ) )
41	33, 40	syl3an1 1359	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ ( pi / 2 ) < ( A - ( pi / 2 ) ) /\ ( A - ( pi / 2 ) ) < pi ) -> ( ( cos ` ( A - ( pi / 2 ) ) ) < 0 /\ 0 < ( sin ` ( A - ( pi / 2 ) ) ) ) )
42	41	3expib 1268	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( ( ( pi / 2 ) < ( A - ( pi / 2 ) ) /\ ( A - ( pi / 2 ) ) < pi ) -> ( ( cos ` ( A - ( pi / 2 ) ) ) < 0 /\ 0 < ( sin ` ( A - ( pi / 2 ) ) ) ) ) )
43	31, 42	sylbid 230	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( pi < A /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( cos ` ( A - ( pi / 2 ) ) ) < 0 /\ 0 < ( sin ` ( A - ( pi / 2 ) ) ) ) ) )
44	33	resincld 14873	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( sin ` ( A - ( pi / 2 ) ) ) e. RR )
45	44	lt0neg2d 10598	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( 0 < ( sin ` ( A - ( pi / 2 ) ) ) <-> -u ( sin ` ( A - ( pi / 2 ) ) ) < 0 ) )
46	45	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( ( cos ` ( A - ( pi / 2 ) ) ) < 0 /\ 0 < ( sin ` ( A - ( pi / 2 ) ) ) ) <-> ( ( cos ` ( A - ( pi / 2 ) ) ) < 0 /\ -u ( sin ` ( A - ( pi / 2 ) ) ) < 0 ) ) )
47	43, 46	sylibd 229	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( ( pi < A /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( cos ` ( A - ( pi / 2 ) ) ) < 0 /\ -u ( sin ` ( A - ( pi / 2 ) ) ) < 0 ) ) )
48		recn 10026	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR -> A e. CC )
49		pncan3 10289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( pi / 2 ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( pi / 2 ) + ( A - ( pi / 2 ) ) ) = A )
50	21, 48, 49	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( ( pi / 2 ) + ( A - ( pi / 2 ) ) ) = A )
51	50	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) + ( A - ( pi / 2 ) ) ) ) = ( sin ` A ) )
52	33	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( A - ( pi / 2 ) ) e. CC )
53		sinhalfpip 24244	. . . . . . . 8 |- ( ( A - ( pi / 2 ) ) e. CC -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) + ( A - ( pi / 2 ) ) ) ) = ( cos ` ( A - ( pi / 2 ) ) ) )
54	52, 53	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) + ( A - ( pi / 2 ) ) ) ) = ( cos ` ( A - ( pi / 2 ) ) ) )
55	51, 54	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( sin ` A ) = ( cos ` ( A - ( pi / 2 ) ) ) )
56	55	breq1d 4663	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( sin ` A ) < 0 <-> ( cos ` ( A - ( pi / 2 ) ) ) < 0 ) )
57	50	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) + ( A - ( pi / 2 ) ) ) ) = ( cos ` A ) )
58		coshalfpip 24246	. . . . . . . 8 |- ( ( A - ( pi / 2 ) ) e. CC -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) + ( A - ( pi / 2 ) ) ) ) = -u ( sin ` ( A - ( pi / 2 ) ) ) )
59	52, 58	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) + ( A - ( pi / 2 ) ) ) ) = -u ( sin ` ( A - ( pi / 2 ) ) ) )
60	57, 59	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( cos ` A ) = -u ( sin ` ( A - ( pi / 2 ) ) ) )
61	60	breq1d 4663	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( cos ` A ) < 0 <-> -u ( sin ` ( A - ( pi / 2 ) ) ) < 0 ) )
62	56, 61	anbi12d 747	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( ( ( sin ` A ) < 0 /\ ( cos ` A ) < 0 ) <-> ( ( cos ` ( A - ( pi / 2 ) ) ) < 0 /\ -u ( sin ` ( A - ( pi / 2 ) ) ) < 0 ) ) )
63	47, 62	sylibrd 249	. . 3 |- ( A e. RR -> ( ( pi < A /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( sin ` A ) < 0 /\ ( cos ` A ) < 0 ) ) )
64	63	3impib 1262	. 2 |- ( ( A e. RR /\ pi < A /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( sin ` A ) < 0 /\ ( cos ` A ) < 0 ) )
65	9, 64	sylbi 207	1 |- ( A e. ( pi (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( sin ` A ) < 0 /\ ( cos ` A ) < 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   3c3 11071   (,)cioo 12175   sincsin 14794   cosccos 14795   picpi 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  sincosq4sgn  24253