Theorem rplogsumlem1 25173

Description: Lemma for rplogsum 25216. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rplogsumlem1	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ≤ 2)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem rplogsumlem1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 12772	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2...𝐴) ∈ Fin)
2		elfzuz 12338	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (2...𝐴) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2))
3		eluz2nn 11726	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑛 ∈ ℕ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (2...𝐴) → 𝑛 ∈ ℕ)
5	4	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
6	5	nnrpd 11870	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
7	6	relogcld 24369	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
8	2	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2))
9		uz2m1nn 11763	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ)
11	5, 10	nnmulcld 11068	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 · (𝑛 − 1)) ∈ ℕ)
12	7, 11	nndivred 11069	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ∈ ℝ)
13	1, 12	fsumrecl 14465	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ∈ ℝ)
14		2re 11090	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	10	nnrpd 11870	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 − 1) ∈ ℝ+)
16	15	rpsqrtcld 14150	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘(𝑛 − 1)) ∈ ℝ+)
17		rerpdivcl 11861	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘(𝑛 − 1)) ∈ ℝ+) → (2 / (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℝ)
18	14, 16, 17	sylancr 695	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (2 / (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℝ)
19	6	rpsqrtcld 14150	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘𝑛) ∈ ℝ+)
20		rerpdivcl 11861	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘𝑛) ∈ ℝ+) → (2 / (√‘𝑛)) ∈ ℝ)
21	14, 19, 20	sylancr 695	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (2 / (√‘𝑛)) ∈ ℝ)
22	18, 21	resubcld 10458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) ∈ ℝ)
23	1, 22	fsumrecl 14465	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) ∈ ℝ)
24	14	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
25	16	rpred 11872	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘(𝑛 − 1)) ∈ ℝ)
26	5	nnred 11035	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 𝑛 ∈ ℝ)
27		peano2rem 10348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
29	26, 28	remulcld 10070	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 · (𝑛 − 1)) ∈ ℝ)
30	29, 22	remulcld 10070	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((𝑛 · (𝑛 − 1)) · ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛)))) ∈ ℝ)
31	5	nncnd 11036	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 𝑛 ∈ ℂ)
32		ax-1cn 9994	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
33		npcan 10290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
34	31, 32, 33	sylancl 694	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
35	34	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (log‘((𝑛 − 1) + 1)) = (log‘𝑛))
36	15	rpge0d 11876	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 0 ≤ (𝑛 − 1))
37		loglesqrt 24499	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛 − 1)) → (log‘((𝑛 − 1) + 1)) ≤ (√‘(𝑛 − 1)))
38	28, 36, 37	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (log‘((𝑛 − 1) + 1)) ≤ (√‘(𝑛 − 1)))
39	35, 38	eqbrtrrd 4677	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (log‘𝑛) ≤ (√‘(𝑛 − 1)))
40	19	rpred 11872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘𝑛) ∈ ℝ)
41	40, 25	readdcld 10069	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) + (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℝ)
42		remulcl 10021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((√‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((√‘𝑛) · 2) ∈ ℝ)
43	40, 14, 42	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · 2) ∈ ℝ)
44	40, 25	resubcld 10458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℝ)
45	26	lem1d 10957	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 − 1) ≤ 𝑛)
46	6	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 0 ≤ 𝑛)
47	28, 36, 26, 46	sqrtled 14165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((𝑛 − 1) ≤ 𝑛 ↔ (√‘(𝑛 − 1)) ≤ (√‘𝑛)))
48	45, 47	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘(𝑛 − 1)) ≤ (√‘𝑛))
49	40, 25	subge0d 10617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (0 ≤ ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))) ↔ (√‘(𝑛 − 1)) ≤ (√‘𝑛)))
50	48, 49	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 0 ≤ ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))
51	25, 40, 40, 48	leadd2dd 10642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) + (√‘(𝑛 − 1))) ≤ ((√‘𝑛) + (√‘𝑛)))
52	19	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘𝑛) ∈ ℂ)
53	52	times2d 11276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · 2) = ((√‘𝑛) + (√‘𝑛)))
54	51, 53	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) + (√‘(𝑛 − 1))) ≤ ((√‘𝑛) · 2))
55	41, 43, 44, 50, 54	lemul1ad 10963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) + (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) ≤ (((√‘𝑛) · 2) · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))))
56	31	sqsqrtd 14178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛)↑2) = 𝑛)
57		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
58	31, 32, 57	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
59	58	sqsqrtd 14178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘(𝑛 − 1))↑2) = (𝑛 − 1))
60	56, 59	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛)↑2) − ((√‘(𝑛 − 1))↑2)) = (𝑛 − (𝑛 − 1)))
61	16	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
62		subsq 12972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((√‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (√‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ) → (((√‘𝑛)↑2) − ((√‘(𝑛 − 1))↑2)) = (((√‘𝑛) + (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))))
63	52, 61, 62	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛)↑2) − ((√‘(𝑛 − 1))↑2)) = (((√‘𝑛) + (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))))
64		nncan 10310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑛 − (𝑛 − 1)) = 1)
65	31, 32, 64	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 − (𝑛 − 1)) = 1)
66	60, 63, 65	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) + (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) = 1)
67		2cn 11091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 2 ∈ ℂ)
69	44	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℂ)
70	52, 68, 69	mulassd 10063	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) · 2) · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) = ((√‘𝑛) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))))
71	55, 66, 70	3brtr3d 4684	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 1 ≤ ((√‘𝑛) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))))
72		1red 10055	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 1 ∈ ℝ)
73		remulcl 10021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℝ) → (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) ∈ ℝ)
74	14, 44, 73	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) ∈ ℝ)
75	40, 74	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))) ∈ ℝ)
76	72, 75, 16	lemul1d 11915	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (1 ≤ ((√‘𝑛) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))) ↔ (1 · (√‘(𝑛 − 1))) ≤ (((√‘𝑛) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))) · (√‘(𝑛 − 1)))))
77	71, 76	mpbid 222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (1 · (√‘(𝑛 − 1))) ≤ (((√‘𝑛) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))) · (√‘(𝑛 − 1))))
78	61	mulid2d 10058	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (1 · (√‘(𝑛 − 1))) = (√‘(𝑛 − 1)))
79	74	recnd 10068	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) ∈ ℂ)
80	52, 79, 61	mul32d 10246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))) · (√‘(𝑛 − 1))) = (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))))
81	77, 78, 80	3brtr3d 4684	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘(𝑛 − 1)) ≤ (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))))
82		remsqsqrt 13997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛) → ((√‘𝑛) · (√‘𝑛)) = 𝑛)
83	26, 46, 82	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · (√‘𝑛)) = 𝑛)
84		remsqsqrt 13997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛 − 1)) → ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘(𝑛 − 1))) = (𝑛 − 1))
85	28, 36, 84	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘(𝑛 − 1))) = (𝑛 − 1))
86	83, 85	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) · (√‘𝑛)) · ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘(𝑛 − 1)))) = (𝑛 · (𝑛 − 1)))
87	52, 52, 61, 61	mul4d 10248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) · (√‘𝑛)) · ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘(𝑛 − 1)))) = (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))))
88	86, 87	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (𝑛 · (𝑛 − 1)) = (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))))
89	16	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ ∧ (√‘(𝑛 − 1)) ≠ 0))
90	19	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑛) ≠ 0))
91		divsubdiv 10741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) ∧ (((√‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ ∧ (√‘(𝑛 − 1)) ≠ 0) ∧ ((√‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑛) ≠ 0))) → ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) = (((2 · (√‘𝑛)) − (2 · (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘𝑛))))
92	68, 68, 89, 90, 91	syl22anc 1327	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) = (((2 · (√‘𝑛)) − (2 · (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘𝑛))))
93	68, 52, 61	subdid 10486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) = ((2 · (√‘𝑛)) − (2 · (√‘(𝑛 − 1)))))
94	52, 61	mulcomd 10061	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) = ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘𝑛)))
95	93, 94	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))) = (((2 · (√‘𝑛)) − (2 · (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘(𝑛 − 1)) · (√‘𝑛))))
96	92, 95	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) = ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))))
97	88, 96	oveq12d 6668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((𝑛 · (𝑛 − 1)) · ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛)))) = ((((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))) · ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))))))
98	52, 61	mulcld 10060	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℂ)
99	19, 16	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) ∈ ℝ+)
100	74, 99	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))) ∈ ℝ)
101	100	recnd 10068	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))) ∈ ℂ)
102	98, 98, 101	mulassd 10063	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))) · ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))))) = (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))))))
103	99	rpne0d 11877	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) ≠ 0)
104	79, 98, 103	divcan2d 10803	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))))) = (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))))
105	104	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · ((2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1)))) / ((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1)))))) = (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))))
106	97, 102, 105	3eqtrd 2660	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((𝑛 · (𝑛 − 1)) · ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛)))) = (((√‘𝑛) · (√‘(𝑛 − 1))) · (2 · ((√‘𝑛) − (√‘(𝑛 − 1))))))
107	81, 106	breqtrrd 4681	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘(𝑛 − 1)) ≤ ((𝑛 · (𝑛 − 1)) · ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛)))))
108	7, 25, 30, 39, 107	letrd 10194	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (log‘𝑛) ≤ ((𝑛 · (𝑛 − 1)) · ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛)))))
109	11	nngt0d 11064	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → 0 < (𝑛 · (𝑛 − 1)))
110		ledivmul 10899	. . . . 5 ⊢ (((log‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) ∈ ℝ ∧ ((𝑛 · (𝑛 − 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑛 · (𝑛 − 1)))) → (((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ≤ ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) ↔ (log‘𝑛) ≤ ((𝑛 · (𝑛 − 1)) · ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))))))
111	7, 22, 29, 109, 110	syl112anc 1330	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ≤ ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) ↔ (log‘𝑛) ≤ ((𝑛 · (𝑛 − 1)) · ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))))))
112	108, 111	mpbird 247	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ≤ ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))))
113	1, 12, 22, 112	fsumle 14531	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ≤ Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))))
114		oveq1 6657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 − 1) = (𝑛 − 1))
115	114	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (√‘(𝑘 − 1)) = (√‘(𝑛 − 1)))
116	115	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) = (2 / (√‘(𝑛 − 1))))
117		oveq1 6657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝑘 − 1) = ((𝑛 + 1) − 1))
118	117	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (√‘(𝑘 − 1)) = (√‘((𝑛 + 1) − 1)))
119	118	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) = (2 / (√‘((𝑛 + 1) − 1))))
120		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 − 1) = (2 − 1))
121		2m1e1 11135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 − 1) = 1
122	120, 121	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 − 1) = 1)
123	122	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 2 → (√‘(𝑘 − 1)) = (√‘1))
124		sqrt1 14012	. . . . . . . 8 ⊢ (√‘1) = 1
125	123, 124	syl6eq 2672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 2 → (√‘(𝑘 − 1)) = 1)
126	125	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 2 → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) = (2 / 1))
127	67	div1i 10753	. . . . . 6 ⊢ (2 / 1) = 2
128	126, 127	syl6eq 2672	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 2 → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) = 2)
129		oveq1 6657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝐴 + 1) → (𝑘 − 1) = ((𝐴 + 1) − 1))
130	129	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝐴 + 1) → (√‘(𝑘 − 1)) = (√‘((𝐴 + 1) − 1)))
131	130	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝐴 + 1) → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) = (2 / (√‘((𝐴 + 1) − 1))))
132		nnz 11399	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
133		eluzp1p1 11713	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
134		nnuz 11723	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
135	133, 134	eleq2s 2719	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
136		df-2 11079	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (1 + 1)
137	136	fveq2i 6194	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(1 + 1))
138	135, 137	syl6eleqr 2712	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
139		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (2...(𝐴 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
140		uz2m1nn 11763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ)
141	139, 140	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (2...(𝐴 + 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ)
142	141	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝐴 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ)
143	142	nnrpd 11870	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝐴 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ+)
144	143	rpsqrtcld 14150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝐴 + 1))) → (√‘(𝑘 − 1)) ∈ ℝ+)
145		rerpdivcl 11861	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘(𝑘 − 1)) ∈ ℝ+) → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) ∈ ℝ)
146	14, 144, 145	sylancr 695	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝐴 + 1))) → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) ∈ ℝ)
147	146	recnd 10068	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝐴 + 1))) → (2 / (√‘(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
148	116, 119, 128, 131, 132, 138, 147	telfsum 14536	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘((𝑛 + 1) − 1)))) = (2 − (2 / (√‘((𝐴 + 1) − 1)))))
149		pncan 10287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
150	31, 32, 149	sylancl 694	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
151	150	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (√‘((𝑛 + 1) − 1)) = (√‘𝑛))
152	151	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → (2 / (√‘((𝑛 + 1) − 1))) = (2 / (√‘𝑛)))
153	152	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (2...𝐴)) → ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘((𝑛 + 1) − 1)))) = ((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))))
154	153	sumeq2dv 14433	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘((𝑛 + 1) − 1)))) = Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))))
155		nncn 11028	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
156		pncan 10287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
157	155, 32, 156	sylancl 694	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
158	157	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (√‘((𝐴 + 1) − 1)) = (√‘𝐴))
159	158	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2 / (√‘((𝐴 + 1) − 1))) = (2 / (√‘𝐴)))
160	159	oveq2d 6666	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2 − (2 / (√‘((𝐴 + 1) − 1)))) = (2 − (2 / (√‘𝐴))))
161	148, 154, 160	3eqtr3d 2664	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) = (2 − (2 / (√‘𝐴))))
162		2rp 11837	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
163		nnrp 11842	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
164	163	rpsqrtcld 14150	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (√‘𝐴) ∈ ℝ+)
165		rpdivcl 11856	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℝ+) → (2 / (√‘𝐴)) ∈ ℝ+)
166	162, 164, 165	sylancr 695	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2 / (√‘𝐴)) ∈ ℝ+)
167	166	rpge0d 11876	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 / (√‘𝐴)))
168	166	rpred 11872	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2 / (√‘𝐴)) ∈ ℝ)
169		subge02 10544	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (2 / (√‘𝐴)) ∈ ℝ) → (0 ≤ (2 / (√‘𝐴)) ↔ (2 − (2 / (√‘𝐴))) ≤ 2))
170	14, 168, 169	sylancr 695	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (0 ≤ (2 / (√‘𝐴)) ↔ (2 − (2 / (√‘𝐴))) ≤ 2))
171	167, 170	mpbid 222	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2 − (2 / (√‘𝐴))) ≤ 2)
172	161, 171	eqbrtrd 4675	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((2 / (√‘(𝑛 − 1))) − (2 / (√‘𝑛))) ≤ 2)
173	13, 23, 24, 113, 172	letrd 10194	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (2...𝐴)((log‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 − 1))) ≤ 2)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266   / cdiv 10684  ℕcn 11020  2c2 11070  ℤ_≥cuz 11687  ℝ⁺crp 11832  ...cfz 12326  ↑cexp 12860  √csqrt 13973  Σcsu 14416  logclog 24301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304

This theorem is referenced by:  rplogsumlem2  25174