Theorem cvgrat 14615

Description: Ratio test for convergence of a complex infinite series. If the ratio A of the absolute values of successive terms in an infinite sequence F is less than 1 for all terms beyond some index B, then the infinite sum of the terms of F converges to a complex number. Equivalent to first part of Exercise 4 of [Gleason] p. 182. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgrat.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
cvgrat.2	|- W = ( ZZ>= ` N )
cvgrat.3	|- ( ph -> A e. RR )
cvgrat.4	|- ( ph -> A < 1 )
cvgrat.5	|- ( ph -> N e. Z )
cvgrat.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
cvgrat.7	|- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cvgrat	|- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, M   k, N   ph, k   k, W   k, Z

Proof of Theorem cvgrat

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgrat.2	. . 3 |- W = ( ZZ>= ` N )
2		cvgrat.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. Z )
3		cvgrat.1	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
4	2, 3	syl6eleq 2711	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5		eluzelz 11697	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ZZ )
7		uzid 11702	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
8	6, 7	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
9	8, 1	syl6eleqr 2712	. . 3 |- ( ph -> N e. W )
10		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( n = k -> ( n - N ) = ( k - N ) )
11	10	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( n = k -> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( n - N ) ) = ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) )
12		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( n e. W |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( n - N ) ) ) = ( n e. W |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( n - N ) ) )
13		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) e. _V
14	11, 12, 13	fvmpt 6282	. . . . 5 |- ( k e. W -> ( ( n e. W |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( n - N ) ) ) ` k ) = ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) )
15	14	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( ( n e. W |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( n - N ) ) ) ` k ) = ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) )
16		0re 10040	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
17		cvgrat.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
18		ifcl 4130	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> if ( A <_ 0 , 0 , A ) e. RR )
19	16, 17, 18	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( A <_ 0 , 0 , A ) e. RR )
20	19	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> if ( A <_ 0 , 0 , A ) e. RR )
21		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> k e. W )
22	21, 1	syl6eleq 2711	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> k e. ( ZZ>= ` N ) )
23		uznn0sub 11719	. . . . . 6 |- ( k e. ( ZZ>= ` N ) -> ( k - N ) e. NN0 )
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( k - N ) e. NN0 )
25	20, 24	reexpcld 13025	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) e. RR )
26	15, 25	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( ( n e. W |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( n - N ) ) ) ` k ) e. RR )
27		uzss 11708	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` N ) C_ ( ZZ>= ` M ) )
28	4, 27	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ZZ>= ` N ) C_ ( ZZ>= ` M ) )
29	28, 1, 3	3sstr4g 3646	. . . . 5 |- ( ph -> W C_ Z )
30	29	sselda 3603	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> k e. Z )
31		cvgrat.6	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
32	30, 31	syldan 487	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( F ` k ) e. CC )
33	23	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( k - N ) e. NN0 )
34		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( k - N ) -> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) = ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) )
35		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN0 |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) ) = ( n e. NN0 |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) )
36	34, 35, 13	fvmpt 6282	. . . . . . . 8 |- ( ( k - N ) e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) ) ` ( k - N ) ) = ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) )
37	33, 36	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) ) ` ( k - N ) ) = ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) )
38	6	zcnd 11483	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. CC )
39		eluzelz 11697	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` N ) -> k e. ZZ )
40	39	zcnd 11483	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ZZ>= ` N ) -> k e. CC )
41		nn0ex 11298	. . . . . . . . . 10 |- NN0 e. _V
42	41	mptex 6486	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN0 |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) ) e. _V
43	42	shftval 13814	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( ( n e. NN0 |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) ) shift N ) ` k ) = ( ( n e. NN0 |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) ) ` ( k - N ) ) )
44	38, 40, 43	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( ( n e. NN0 |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) ) shift N ) ` k ) = ( ( n e. NN0 |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) ) ` ( k - N ) ) )
45		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> k e. ( ZZ>= ` N ) )
46	45, 1	syl6eleqr 2712	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> k e. W )
47	46, 14	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( n e. W |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( n - N ) ) ) ` k ) = ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) )
48	37, 44, 47	3eqtr4rd 2667	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( n e. W |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( n - N ) ) ) ` k ) = ( ( ( n e. NN0 |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) ) shift N ) ` k ) )
49	6, 48	seqfeq 12826	. . . . 5 |- ( ph -> seq N ( + , ( n e. W |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( n - N ) ) ) ) = seq N ( + , ( ( n e. NN0 |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) ) shift N ) ) )
50	42	seqshft 13825	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> seq N ( + , ( ( n e. NN0 |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) ) shift N ) ) = ( seq ( N - N ) ( + , ( n e. NN0 |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) ) ) shift N ) )
51	6, 6, 50	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> seq N ( + , ( ( n e. NN0 |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) ) shift N ) ) = ( seq ( N - N ) ( + , ( n e. NN0 |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) ) ) shift N ) )
52	38	subidd 10380	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N - N ) = 0 )
53	52	seqeq1d 12807	. . . . . 6 |- ( ph -> seq ( N - N ) ( + , ( n e. NN0 |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) ) ) = seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) ) ) )
54	53	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq ( N - N ) ( + , ( n e. NN0 |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) ) ) shift N ) = ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) ) ) shift N ) )
55	49, 51, 54	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ph -> seq N ( + , ( n e. W |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( n - N ) ) ) ) = ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) ) ) shift N ) )
56	19	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( A <_ 0 , 0 , A ) e. CC )
57		max2 12018	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ 0 e. RR ) -> 0 <_ if ( A <_ 0 , 0 , A ) )
58	17, 16, 57	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ if ( A <_ 0 , 0 , A ) )
59	19, 58	absidd 14161	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` if ( A <_ 0 , 0 , A ) ) = if ( A <_ 0 , 0 , A ) )
60		0lt1 10550	. . . . . . . . 9 |- 0 < 1
61		cvgrat.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A < 1 )
62		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 = if ( A <_ 0 , 0 , A ) -> ( 0 < 1 <-> if ( A <_ 0 , 0 , A ) < 1 ) )
63		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 |- ( A = if ( A <_ 0 , 0 , A ) -> ( A < 1 <-> if ( A <_ 0 , 0 , A ) < 1 ) )
64	62, 63	ifboth 4124	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 < 1 /\ A < 1 ) -> if ( A <_ 0 , 0 , A ) < 1 )
65	60, 61, 64	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( A <_ 0 , 0 , A ) < 1 )
66	59, 65	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` if ( A <_ 0 , 0 , A ) ) < 1 )
67		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) = ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ k ) )
68		ovex 6678	. . . . . . . . 9 |- ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ k ) e. _V
69	67, 35, 68	fvmpt 6282	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) ) ` k ) = ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ k ) )
70	69	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) ) ` k ) = ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ k ) )
71	56, 66, 70	geolim 14601	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) ) ) ~~> ( 1 / ( 1 - if ( A <_ 0 , 0 , A ) ) ) )
72		seqex 12803	. . . . . . 7 |- seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) ) ) e. _V
73		climshft 14307	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) ) ) e. _V ) -> ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) ) ) shift N ) ~~> ( 1 / ( 1 - if ( A <_ 0 , 0 , A ) ) ) <-> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) ) ) ~~> ( 1 / ( 1 - if ( A <_ 0 , 0 , A ) ) ) ) )
74	6, 72, 73	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) ) ) shift N ) ~~> ( 1 / ( 1 - if ( A <_ 0 , 0 , A ) ) ) <-> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) ) ) ~~> ( 1 / ( 1 - if ( A <_ 0 , 0 , A ) ) ) ) )
75	71, 74	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) ) ) shift N ) ~~> ( 1 / ( 1 - if ( A <_ 0 , 0 , A ) ) ) )
76		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) ) ) shift N ) e. _V
77		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( 1 / ( 1 - if ( A <_ 0 , 0 , A ) ) ) e. _V
78	76, 77	breldm 5329	. . . . 5 |- ( ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) ) ) shift N ) ~~> ( 1 / ( 1 - if ( A <_ 0 , 0 , A ) ) ) -> ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) ) ) shift N ) e. dom ~~> )
79	75, 78	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ n ) ) ) shift N ) e. dom ~~> )
80	55, 79	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ph -> seq N ( + , ( n e. W |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( n - N ) ) ) ) e. dom ~~> )
81	31	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. Z ( F ` k ) e. CC )
82		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( k = N -> ( F ` k ) = ( F ` N ) )
83	82	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( k = N -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` N ) e. CC ) )
84	83	rspcv 3305	. . . . 5 |- ( N e. Z -> ( A. k e. Z ( F ` k ) e. CC -> ( F ` N ) e. CC ) )
85	2, 81, 84	sylc 65	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` N ) e. CC )
86	85	abscld 14175	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) e. RR )
87		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( n = N -> ( F ` n ) = ( F ` N ) )
88	87	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( n = N -> ( abs ` ( F ` n ) ) = ( abs ` ( F ` N ) ) )
89		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( n = N -> ( n - N ) = ( N - N ) )
90	89	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( n = N -> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( n - N ) ) = ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( N - N ) ) )
91	90	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( n = N -> ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( n - N ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( N - N ) ) ) )
92	88, 91	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( n = N -> ( ( abs ` ( F ` n ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( n - N ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( N - N ) ) ) ) )
93	92	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( n = N -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` n ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( n - N ) ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( N - N ) ) ) ) ) )
94		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
95	94	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( abs ` ( F ` n ) ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
96	11	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( n - N ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) ) )
97	95, 96	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( n = k -> ( ( abs ` ( F ` n ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( n - N ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) ) ) )
98	97	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( n = k -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` n ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( n - N ) ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) ) ) ) )
99		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( F ` n ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
100	99	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( abs ` ( F ` n ) ) = ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
101		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n - N ) = ( ( k + 1 ) - N ) )
102	101	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( n - N ) ) = ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( ( k + 1 ) - N ) ) )
103	102	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( n - N ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( ( k + 1 ) - N ) ) ) )
104	100, 103	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( ( abs ` ( F ` n ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( n - N ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( ( k + 1 ) - N ) ) ) ) )
105	104	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` n ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( n - N ) ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( ( k + 1 ) - N ) ) ) ) ) )
106	86	leidd 10594	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( abs ` ( F ` N ) ) )
107	52	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( N - N ) ) = ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ 0 ) )
108	56	exp0d 13002	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ 0 ) = 1 )
109	107, 108	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( N - N ) ) = 1 )
110	109	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( N - N ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. 1 ) )
111	86	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) e. CC )
112	111	mulid1d 10057	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. 1 ) = ( abs ` ( F ` N ) ) )
113	110, 112	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( N - N ) ) ) = ( abs ` ( F ` N ) ) )
114	106, 113	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( N - N ) ) ) )
115	114	a1i 11	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( N - N ) ) ) ) )
116	32	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR )
117	86	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( abs ` ( F ` N ) ) e. RR )
118	117, 25	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) ) e. RR )
119	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> 0 <_ if ( A <_ 0 , 0 , A ) )
120		lemul2a 10878	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) ) e. RR /\ ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) e. RR /\ 0 <_ if ( A <_ 0 , 0 , A ) ) ) /\ ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) ) ) -> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) x. ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) ) ) )
121	120	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) ) e. RR /\ ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) e. RR /\ 0 <_ if ( A <_ 0 , 0 , A ) ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) ) -> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) x. ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) ) ) ) )
122	116, 118, 20, 119, 121	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) ) -> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) x. ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) ) ) ) )
123	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> if ( A <_ 0 , 0 , A ) e. CC )
124	111	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( abs ` ( F ` N ) ) e. CC )
125	25	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) e. CC )
126	123, 124, 125	mul12d 10245	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) x. ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) ) ) )
127	123, 24	expp1d 13009	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( ( k - N ) + 1 ) ) = ( ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) x. if ( A <_ 0 , 0 , A ) ) )
128	40, 1	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. W -> k e. CC )
129		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. CC
130		addsub 10292	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. CC /\ 1 e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( k + 1 ) - N ) = ( ( k - N ) + 1 ) )
131	129, 130	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( k + 1 ) - N ) = ( ( k - N ) + 1 ) )
132	128, 38, 131	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( ( k + 1 ) - N ) = ( ( k - N ) + 1 ) )
133	132	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( ( k + 1 ) - N ) ) = ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( ( k - N ) + 1 ) ) )
134	123, 125	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) ) = ( ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) x. if ( A <_ 0 , 0 , A ) ) )
135	127, 133, 134	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) ) = ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( ( k + 1 ) - N ) ) )
136	135	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( ( k + 1 ) - N ) ) ) )
137	126, 136	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) x. ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( ( k + 1 ) - N ) ) ) )
138	137	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) x. ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) ) ) <-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( ( k + 1 ) - N ) ) ) ) )
139	122, 138	sylibd 229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) ) -> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( ( k + 1 ) - N ) ) ) ) )
140	1	peano2uzs 11742	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. W -> ( k + 1 ) e. W )
141	29	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. W ) -> ( k + 1 ) e. Z )
142	140, 141	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( k + 1 ) e. Z )
143		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
144	143	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` n ) e. CC ) )
145	144	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. k e. Z ( F ` k ) e. CC <-> A. n e. Z ( F ` n ) e. CC )
146	81, 145	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. n e. Z ( F ` n ) e. CC )
147	146	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> A. n e. Z ( F ` n ) e. CC )
148	99	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( ( F ` n ) e. CC <-> ( F ` ( k + 1 ) ) e. CC ) )
149	148	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k + 1 ) e. Z -> ( A. n e. Z ( F ` n ) e. CC -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. CC ) )
150	142, 147, 149	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. CC )
151	150	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
152	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> A e. RR )
153	152, 116	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) e. RR )
154	20, 116	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) e. RR )
155		cvgrat.7	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
156	32	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> 0 <_ ( abs ` ( F ` k ) ) )
157		max1 12016	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR /\ 0 e. RR ) -> A <_ if ( A <_ 0 , 0 , A ) )
158	17, 16, 157	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A <_ if ( A <_ 0 , 0 , A ) )
159	158	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> A <_ if ( A <_ 0 , 0 , A ) )
160	152, 20, 116, 156, 159	lemul1ad 10963	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
161	151, 153, 154, 155, 160	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
162		peano2uz 11741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( ZZ>= ` N ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
163	22, 162	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
164		uznn0sub 11719	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ( k + 1 ) - N ) e. NN0 )
165	163, 164	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( ( k + 1 ) - N ) e. NN0 )
166	20, 165	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( ( k + 1 ) - N ) ) e. RR )
167	117, 166	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( ( k + 1 ) - N ) ) ) e. RR )
168		letr 10131	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. RR /\ ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( ( k + 1 ) - N ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) /\ ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( ( k + 1 ) - N ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( ( k + 1 ) - N ) ) ) ) )
169	151, 154, 167, 168	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( ( ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) /\ ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( ( k + 1 ) - N ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( ( k + 1 ) - N ) ) ) ) )
170	161, 169	mpand 711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( ( k + 1 ) - N ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( ( k + 1 ) - N ) ) ) ) )
171	139, 170	syld 47	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( ( k + 1 ) - N ) ) ) ) )
172	46, 171	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( ( k + 1 ) - N ) ) ) ) )
173	172	expcom 451	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ph -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( ( k + 1 ) - N ) ) ) ) ) )
174	173	a2d 29	. . . . . 6 |- ( k e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) ) ) -> ( ph -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( ( k + 1 ) - N ) ) ) ) ) )
175	93, 98, 105, 98, 115, 174	uzind4 11746	. . . . 5 |- ( k e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ph -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) ) ) )
176	175	impcom 446	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) ) )
177	47	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( ( n e. W |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( n - N ) ) ) ` k ) ) = ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( k - N ) ) ) )
178	176, 177	breqtrrd 4681	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` N ) ) x. ( ( n e. W |-> ( if ( A <_ 0 , 0 , A ) ^ ( n - N ) ) ) ` k ) ) )
179	1, 9, 26, 32, 80, 86, 178	cvgcmpce 14550	. 2 |- ( ph -> seq N ( + , F ) e. dom ~~> )
180	3, 2, 31	iserex 14387	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( + , F ) e. dom ~~> <-> seq N ( + , F ) e. dom ~~> ) )
181	179, 180	mpbird 247	1 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   seqcseq 12801   ^cexp 12860   shift cshi 13806   abscabs 13974   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  efcllem  14808  cvgdvgrat  38512